談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教學(xué)立意的層次和提升

顧昀 王志成

[摘要]教學(xué)立意決定了一堂課的教學(xué)境界.以“一元二次不等式的解法”為課題的同課異構(gòu)的教研活動，充分體現(xiàn)了三種層次的教學(xué)立意，即知識立意、能力立意、生本立意.三者呈現(xiàn)出一種遞進的關(guān)系.作為教育工作者，我們應(yīng)學(xué)會提升教學(xué)立意.

[關(guān)鍵詞]教學(xué)立意知識立意能力立意生本立意遞進

[中圖分類號]G633.6[文獻標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）020017

王國維在《人間詞話》中指出：“詞以境界為最上.有境界則自成高格，自有名句.”同樣，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以立意為最上，立意高遠(yuǎn)則自會育人，自成經(jīng)典.最近，筆者參加了一次以“一元二次不等式的解法”為課題的同課異構(gòu)教研活動，聽了三節(jié)研討課并參與評議，引發(fā)許多對教學(xué)立意的思考.

一、教學(xué)立意的三種層次

（一）“授之以魚”——知識立意

【教學(xué)流程】甲教師“一元二次不等式的解法”一課的教學(xué)流程如下.

1.探索活動

（1）解一元二次方程：①x2-2x-3=0；②x2-2x+1=0；③x2+x+1=0.

（2）作上述方程對應(yīng)的二次函數(shù)圖像，標(biāo)出與x軸的交點.

（3）你從中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

2.數(shù)學(xué)建構(gòu)

（1）指出y=x2-2x-3的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生回答對應(yīng)方程的根是什么；指出x2-2x-3=0（>0，<0）時對應(yīng)的取值（范圍）是什么.

（2）明確一元二次不等式的概念，并說明什么是不等式的解集.

3.例題分析

【例1】解不等式x2-5x+6<0.并把“<”改成“≤”“>”“≥”后，再要求學(xué)生口答結(jié)果.

【例2】解不等式x2+x+1>0.并把“>”改成“≤”“<”“≥”后，再要求學(xué)生口答結(jié)果.

總結(jié)首項系數(shù)為正時，一元二次不等式的求解步驟.

4.鞏固練習(xí).與例題類似的模仿性練習(xí).

5.課堂小結(jié).總結(jié)一元二次不等式的解法.

甲教師在教學(xué)時考慮到解不等式的關(guān)鍵是畫圖像和求方程，所以幫助學(xué)生鞏固畫圖像和求方程的基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上安排探究活動.一開始學(xué)生會有疑問：為什么要解方程？為什么要畫圖像？甲教師的目的就是通過圖像最后得到“大于在兩邊，小于在中間”的解一元二次不等式的記憶口訣.但這樣的探究只是名義上的探究，學(xué)生沒有豐富的探究空間，而是一步一步鉆進教師預(yù)設(shè)的“圈套”，被教師牽著鼻子去快速發(fā)現(xiàn)“新知識”，其實是一種“假探究”.教學(xué)中不等式的解法按題型分類，及時鞏固反饋，有利于學(xué)生模仿并熟練掌握一元二次不等式的解法，形成相應(yīng)的解題技能.通過以上分析，筆者認(rèn)為甲教師的課堂中，學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能掌握得較好，達(dá)到了“授之以魚”的教學(xué)效果，課堂教學(xué)立意是知識立意的層次.

（二）“授之以漁”——能力立意

【教學(xué)流程】乙教師“一元二次不等式的解法”一課的教學(xué)流程如下.

1.檢查預(yù)習(xí)

①作出函數(shù)y=2x-7的圖像，說出y=0，y>0，y<0時對應(yīng)的x值，并與3.5比較大小；②復(fù)習(xí)二次函數(shù)圖像的特征；③對兩個二次三項因式分解；④作二次函數(shù)y=x2-x-6的圖像.

2.創(chuàng)設(shè)情境

由一個情境實例引出概念，并判斷所給的幾個不等式是不是一元二次不等式.

3.問題探究

根據(jù)圖像回答：與x軸的交點坐標(biāo)；當(dāng)y=0（y>0，y<0）時，x的取值（范圍）分別是什么.

4.例題分析

【例1】解不等式x2-x-6>0.總結(jié)解一元二次不等式的步驟后，完成練習(xí)：解不等式2x2-3x-2≤0，并對Δ>0時的情形進行表格總結(jié)，得出口訣“大于在兩邊，小于在中間，等于在兩點”，并運用口訣重解例1.

【例2】解不等式-x2+x+6<0.講評例題，進行變式練習(xí)，講練結(jié)合.

【例3】解不等式-3x2-6x>2，并完成練習(xí)：解不等式x（x-2）≥1.

5.小結(jié)引申

教師幫助學(xué)生小結(jié)解一元二次不等式的一般步驟，并提出運用符號法則的解法.最后，引導(dǎo)學(xué)生思考Δ<0，Δ=0時不等式的解法.

乙教師將知識鋪墊放在課前，新課則從一個情境實例切入，引出概念，讓學(xué)生通過觀察圖像，重點研究Δ>0時一元二次不等式的解法，特別是不同變式的解法，對易錯點進行剖析，將圖像解法同符號法則、口訣應(yīng)用相結(jié)合，層層鋪墊，較好地滲透了數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生在新情境下應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力.乙教師重視在學(xué)生掌握雙基的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，達(dá)到了“授之以漁”的教學(xué)效果，課堂教學(xué)立意是能力立意的層次.

（三）“授之以育”——生本立意

【教學(xué)流程】丙教師“一元二次不等式的解法”一課的教學(xué)流程如下.

1.探索活動

（1）嘗試畫出y=2x-7的圖像，填寫x與y的對應(yīng)值表.觀察：①當(dāng)x時，y=0，即2x-7=0；②當(dāng)x∈時，y<0，即2x-7<0；③當(dāng)x∈時，y>0，即2x-7>0.

（2）歸納反思.一般的，如果直線y=ax+b與x軸的交點是（x0，0），那么有如下結(jié)果：①當(dāng)a>0時，一元一次不等式ax+b>0的解集是；一元一次不等式ax+b<0的解集是.②當(dāng)a<0時，一元一次不等式ax+b>0的解集是；一元一次不等式ax+b<0的解集是.

2.類比研究

嘗試畫出y=x2-2x-3的圖像，填寫對應(yīng)值表；觀察y=x2-2x-3的圖像與x軸交點的坐標(biāo)，當(dāng)y=0（y>0，y<0）時，x的取值范圍；歸納：當(dāng)y=0（y>0，y<0，y≥0，y≤0）時，得到二次函數(shù)對應(yīng)的方程和不等式.指出形如ax2+bx+c>0（≥0，<0，≤0）的不等式（其中a≠0），叫做一元二次不等式.

3.意義建構(gòu)

①聚焦問題.如何解一元二次不等式x2-2x-3<0？②嘗試交流.根據(jù)二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像，回答x取什么值時，y=0；x取什么值時，y<0.③觀察比較.具體分析二次函數(shù)的圖像被x軸分成三個部分，x軸上方、x軸上、x軸下方分別對應(yīng)y>0、y=0、y<0，從而找到滿足一元二次不等式的x的取值范圍，明確一元二次不等式的解集的概念.④歸納提升.確定一元二次不等式的解集的關(guān)鍵是二次函數(shù)圖像的形狀及其與x軸的交點坐標(biāo).

4.實例剖析

【例1】解不等式3x2+5x-2>0，并交流3x2+5x-2≤0的解法.

①引導(dǎo)質(zhì)疑.如果首項系數(shù)為負(fù)，怎么處理？②反思探究.不等式的解集的區(qū)間端點與對應(yīng)方程根的關(guān)系是什么？由根如何定解集？③變式練習(xí).有根時幾種形式的一元二次不等式求解.④拓展提升.不等式a（x-1）·（x-2）<0的解集為{x|x<1或x>2}，則a與0的關(guān)系為；不等式ax2+bx-1>0的解集為{x|3

5.聚焦問題

如果y=ax2+bx+c的圖像與x軸只有一個公共點呢？沒有公共點呢？具體研究下面兩個不等式的解法：（1）9x2-6x+1>0；（2）x2-4x+5>0.

6.歸納總結(jié)

總結(jié)解法步驟，并用表格總結(jié)Δ>0，Δ=0，Δ<0的三種情形.

這些教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置很好地向?qū)W生滲透了從一般到特殊以及歸納的思想，教給學(xué)生研究不等式解法的一個重要的“基本套路”——考查函數(shù)零點.區(qū)別于聚焦研究不等式解法的甲課和聚焦研究Δ>0情形的乙課，丙課聚焦函數(shù)特征，將不等式的解法放在知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，突出尋求圖像特征與不等式、方程的關(guān)系.學(xué)生能夠自主探究不同情形下不等式的解法，而不是一題一技，使得課堂教學(xué)獲得最大效益，具有很好的延展性.通過以上分析，筆者認(rèn)為丙課充分挖掘了知識內(nèi)容所蘊含的發(fā)展價值，成功實現(xiàn)了課堂教學(xué)的育人價值，充分體現(xiàn)了以生為本的教學(xué)理念，達(dá)到了“授之以育”的教學(xué)效果，課堂教學(xué)立意是生本立意的層次.

二、教學(xué)立意的提升

從知識立意到能力立意，再到生本立意，教學(xué)立意的層次越來越高，呈現(xiàn)出一個遞進的關(guān)系.教學(xué)立意由低到高，對應(yīng)著課堂教學(xué)的思想性由膚淺到深刻，課堂教學(xué)的關(guān)注點由關(guān)注學(xué)生的眼前利益到關(guān)注學(xué)生的長遠(yuǎn)利益.但知識立意、能力立意和生本立意并不是對立排斥的關(guān)系，知識立意著眼于知識學(xué)習(xí)與技能訓(xùn)練，能力立意重點關(guān)注學(xué)生思維能力的提高，在知識學(xué)習(xí)與能力培養(yǎng)的過程中注重啟發(fā)學(xué)生逐步揭示問題的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，獲得長遠(yuǎn)發(fā)展，由此上升到生本立意.那么，如何提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的教學(xué)立意呢？

（一）關(guān)鍵是要理解數(shù)學(xué).教師要站在系統(tǒng)的高度，以結(jié)構(gòu)化的觀點看待數(shù)學(xué)，善于將當(dāng)堂內(nèi)容放在過去或?qū)碚n時的背景下，利用學(xué)生已有的生活閱歷和知識經(jīng)驗組織教學(xué).要將數(shù)學(xué)教學(xué)看做是數(shù)學(xué)思想的傳遞和領(lǐng)悟過程，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等的邏輯意義，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊含的思想方法，善于區(qū)分核心知識和非核心知識.可以說，教師對數(shù)學(xué)的理解能力決定了其是否具有提升教學(xué)立意的意識和能力.

（二）切實聚焦目標(biāo).教師在教學(xué)中要思考學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會形成什么樣的知識結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷什么樣的情感體驗，獲得什么樣的活動經(jīng)驗，留存什么樣的直觀感受；要在了解、尊重學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，明確教學(xué)目標(biāo)，突出核心概念和思想方法，組織開展操作、探究、思考等活動，引導(dǎo)學(xué)生在形成數(shù)學(xué)知識、技能和能力的過程中學(xué)會總結(jié)、思考、反思，發(fā)展思維品質(zhì)，完善個性素養(yǎng).

（三）要聚焦核心問題.問題是推動思維的動力，選取聚焦問題時，一般要考慮以下幾點：第一，是本課的核心問題，是在已有的經(jīng)驗上展開生成的新概念或方法，具有概括性；第二，是知識結(jié)構(gòu)建立的結(jié)點，是知識鏈條上的一個環(huán)節(jié)，具有聯(lián)系性；第三，是站在系統(tǒng)的高度，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗的依靠點，具有遷移性.例如本節(jié)課的聚焦問題是：“二次函數(shù)圖像被x軸分成幾個部分時的分界點及不同值所對應(yīng)的x的取值范圍”的研究.

[基金項目]江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃2013年度重點研究課題：中職數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗及教學(xué)實踐研究（課題編號：B-a/2013/03/009）研究成果之一，主持人：王志成.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）