數(shù)形結合變視角 合理分類定乾坤
——2022年全國高考乙卷導數(shù)壓軸題解法研究

易明交 陳曉寧 劉香杰

?杭州師大附屬阿克蘇市高級中學

1 試題呈現(xiàn)

(2022年全國高考乙卷第21題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

本題第(1)問考查函數(shù)在某點處的切線問題，利用導數(shù)的幾何意義就可以解決.第(2)問考查的是函數(shù)在兩個區(qū)間上的零點問題，解決函數(shù)零點問題的一種方法就是通過研究函數(shù)的單調性觀察圖象與x軸交點的個數(shù)，另一種是通過分離參數(shù)后探究兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù).

分析：(1)先求f′(x)，f′(0)即為曲線在點(0,f(0))處切線的斜率，進而求出切線方程.

(2)求導,對a進行分類討論,并對x∈(-1,0),x∈(0,+∞)分別研究.

2 試題解析

2.1 第(1)問詳解

2.2 第(2)問詳解

思路一：對參數(shù)合理分類，分步研究函數(shù)的零點情況.

解法1：因為f(x)=ln(1+x)+axe-x，所以

設g(x)=ex+a(1-x2)，則g(0)=a+1.

①若a>0,當x∈(-1,0)時,g(x)=ex+a(1-x2)>0，即f′(x)>0,所以f(x)在(-1,0)上單調遞增,f(x)

②若-1≤a≤0,當x∈(0,+∞)時,g′(x)=ex-2ax>0,則g(x)在(0,+∞)上單調遞增，從而g(x)>g(0)=a+1≥0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增,f(x)>f(0)=0.故f(x)在(0,+∞)上沒有零點,與題意矛盾.

③若a<-1,當x∈(0,+∞),g′(x)=ex-2ax>0,則g(x)在(0,+∞)上單調遞增；又因為g(0)=a+1<0,g(1)=e>0，所以存在x0∈(0,1),使g(x0)=0,即f′(x0)=0.當x∈(0,x0)時，f′(x)<0，則f(x)單調遞減；當x∈(x0,+∞)時，f′(x)>0,則f(x)單調遞增.所以，當x∈(0,x0)時，f(x)1>x0，f(e-a)=ln(1+e-a)+ae-ae-e-a>0.所以f(x)在(x0,+∞)上有唯一零點，在(0,x0)上沒有零點,從而f(x)在(0,+∞)上有唯一零點.

若a<-1,當x∈(-1,0)時，g(x)=ex+a(1-x2)，g′(x)=ex-2ax.

圖2

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

思路二：利用參變半分離，研究圖象的切線與直線之間的位置關系，確定零點個數(shù).

解法2：由f(x)=ln(1+x)+axe-x=0，得-ax=exln(1+x)(x>-1).

令h′(x)=0,得x=0.當x∈(-1,0)時，h′(x)<0；當x∈(0,+∞)時，h′(x)>0.

所以h(x)min=h(0)=1，從而h(x)≥1在區(qū)間(-1，+∞)上恒成立.

所以g(x)在(-1，+∞)上單調遞增.又g(0)=0，且g′(0)=1，則g(x)在x=0處的切線方程為y=x.

因為f(x)在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個零點，也就是說g(x)與y=-ax在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個交點，所以只需要-a>1，即a<-1.(如a=-1或-2時，如圖3，4所示).

所以，a的取值范圍為(-∞，-1).

圖3

圖4

點評：解法2的關鍵是分離參數(shù)構造出兩個函數(shù)，分析g(x)的單調性，找出g(x)在點(0,0)處的切線，從而只需直線y=-ax的斜率大于1才能使直線與函數(shù)g(x)圖象有兩個交點.

思路三：利用參變全分離，準確作出函數(shù)的圖象,然后上下移動直線,觀察直線與函數(shù)交點個數(shù)即可.

令h(x)=(x2-1)ln(x+1)+x，則h′(x)=x[2ln(x+1)+1].

當x>0時,h′(x)>0，則h(x)在(0，+∞)單調遞增，所以h(x)>h(0)=0，從而g′(x)<0，故g(x)在(0，+∞)單調遞減.

所以a<-1時，在(0，+∞)上y=a與y=g(x)的圖象只有一個交點，因此f(x)在區(qū)間(0，+∞)恰有一個零點.

所以g(x)在(-1，x1)單調遞增，在(x1，0)單調遞減，從而g(x)max=g(x1).

又x→-1時，g(x)→-∞,且有

所以只有a<-1時，在(-1,0)上y=a與y=g(x)的圖象只有一個交點，因此f(x)在區(qū)間(-1,0)恰有一個零點.(如a=-1或-2時，如圖5，6所示).

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

圖5

思路四：對函數(shù)解析式合理變形，零點不發(fā)生變化.

解法4：對f(x)=ln(1+x)+axe-x兩邊同乘ex,得exf(x)=exln(x+1)+ax.令g(x)=exf(x),即g(x)=exln(x+1)+ax(x>-1),則g(0)=0，且

又x→-1時,g′(x)→+∞，所以存在x1∈(-1,x0),x2∈(0,-a)，使g′(x1)=g′(x2)=0，且g(x)在(-1，x1)上單調遞增，在(x1，x2)上單調遞減，在(x2，+∞)上單調遞增.又因為g(0)=0,所以g(x1)>0,g(x2)<0,于是存在x3∈(-1,0),x4∈(0,+∞),使g(x3)=g(x4)=0.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞，-1).

解法5：設y=xe-x,則y′=e-x(1-x).所以，當-11時，y=xe-x單調遞減.

當a≥0時,f(x)在(-1,1)上單調遞增，且f(0)=0，所以f(x)在(-1,0)上無零點，這與題意矛盾.

故a的取值范圍為(-∞，-1).

圖7

圖8

當a≥0時，x∈(-1,1)時，f′(x)>0，則f(x)在(-1,1)上單調遞增.又f(0)=0,則當x∈(-1,0)時f(x)<0，所以f(x)在(-1,0)上不存在零點.

圖9

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

3 鏈接高考

鏈接1(2022年浙江溫嶺中學模擬題)已知函數(shù)f(x)=alnx+e-x(x-1).

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)證明：當a≥0時，f(x)有且只有一個零點；

(3)若f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

鏈接2(2018年全國高考理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a的值.

2022年全國高考乙卷第21題在考查導數(shù)的基本運算法則、基本性質等知識點的同時，考查學生的運算求解、數(shù)學分析等關鍵能力以及轉化與化歸、數(shù)形結合等思想方法，較好地考查學生學科核心素養(yǎng).題目的求解，需要學生有較強的邏輯思維轉換能力與代數(shù)計算能力.不難發(fā)現(xiàn)，上述解法2和解法3的解答過程都圍繞“分參”展開，歸納起來無外乎兩類：一類是等式關系轉化為參數(shù)與函數(shù)圖象的交點問題；另一類就是函數(shù)的切線與函數(shù)圖象的交點問題.通過對分離參數(shù)法的再思考，在解決可分參的問題時，指導學生抓住問題的本質，掌握通性、通法，讓學生可以觸類旁通、事半功倍，達成練一題、學一法、會一類、通一片的效果.在解題教學中，教師要有意識地引導學生探究問題的本質，注重解題過程，從繁雜的試題以及多變的解法中，追根溯源，探尋不變的本質，從而真正達到事半功倍的效果.