追本溯源：2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷第12題的解法研究

黃國(guó)強(qiáng) 秦 君

?四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校

1 試題再現(xiàn)

若x，y為實(shí)數(shù)，滿足x2+y2-xy=1，則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2

2 試題分析

全國(guó)新高考Ⅱ卷第12題，利用已知代數(shù)關(guān)系考查不等關(guān)系.該試題可參考人教A版數(shù)學(xué)必修一(2019版)第二章復(fù)習(xí)參考題綜合應(yīng)用第5題，因此我們很容易想到利用不等式相關(guān)知識(shí)尋找突破口，同時(shí)還可以利用方程思想、換元思想等通法和賦值法(秒殺)進(jìn)行判斷.

3 思維導(dǎo)圖

本題目具體解題思路見(jiàn)圖1.

圖1

4 具體解法

方法1:不等式法.

由(x+y)2≤4，得-2≤x+y≤2.故排除選項(xiàng)A.

所以選擇：BD.

方法2：方程思想.

于是(k-1)t2-(k+2)t+(k-1)=0(k≠1)，則Δ=(k+2)2-4(k-1)2≥0，得k≤4，即-2≤x+y≤2，當(dāng)x=0或k=1時(shí)符合條件.

方法總結(jié)：該方法采用方程思想，利用方程有解，建立判別式的不等關(guān)系.

方法3：換元法一.

解：由x2+y2-xy=1，得

方法總結(jié)：該方法對(duì)綜合能力的要求較高，學(xué)生不易想到.此解法可參考人教版教材2019選擇性必修-第89頁(yè)中第10題圓的參數(shù)方程.

方法4：換元法二.

方法總結(jié)：該方法參考了文衛(wèi)星編著的《挑戰(zhàn)壓軸題——高考數(shù)學(xué)》2020版第15頁(yè)考點(diǎn)延伸第3題的解法.此方法的核心之處在于將代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為橢圓方程，巧妙換元轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的知識(shí).該解法是數(shù)轉(zhuǎn)形，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心素養(yǎng)提出了較高要求.

方法5：賦值法(秒殺).

方法總結(jié)：利用等式結(jié)構(gòu)特征適當(dāng)賦值，巧妙地排除不符合的選項(xiàng).

5 拓展延伸

對(duì)于上述解法4，實(shí)際是將代數(shù)問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)換成幾何問(wèn)題，人教A版(2019版)數(shù)學(xué)選擇性必修一第143頁(yè)的回顧與思考中提出方程與曲線的關(guān)系“方程f(x,y)=0是曲線的方程”.

故令f(x,y)=x2+y2-xy-1=0，能否判斷點(diǎn)(x,y)的運(yùn)動(dòng)軌跡(區(qū)域)呢？

答案是肯定的.下面我們介紹繪圖方法，大致判斷點(diǎn)(x,y)的軌跡區(qū)域.

不難發(fā)現(xiàn)f(x,y)=f(-x,-y)，f(-x,y)=f(x,-y).

接下來(lái)只討論兩種情況：

在第一象限作出圖2，由f(x,y)=f(-x,-y)在第三象限作出圖3.

圖2 圖3

圖4 圖5

選項(xiàng)分析：圖5為點(diǎn)(x,y)的軌跡區(qū)域，是人教版必修五(2008版)第三章簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃知識(shí)，選項(xiàng)A，B表示點(diǎn)(x,y)與直線x+y=1，x+y=-2的位置關(guān)系，選項(xiàng)C，D表示點(diǎn)(x,y)與圓x2+y2=1，x2+y2=2的位置關(guān)系.

6 試題鏈接

給兩個(gè)試題供讀者練習(xí).

鏈接1若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是.

鏈接2已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則xy+yz的最大值為.