指向深度教學(xué)的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課例研析

梁穎志 龐新軍

基金項(xiàng)目：廣州市荔灣區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度重點(diǎn)課題——基于深度教學(xué)的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課微專題教學(xué)案例研究（ZD2022-6）.

作者簡(jiǎn)介：梁穎志（1989— ），男，一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

龐新軍（1971— ），男，正高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

摘? 要：在高三復(fù)習(xí)課中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人、提升教學(xué)質(zhì)量是值得探討的問(wèn)題. 以小組合作探究的形式開(kāi)展深度教學(xué)，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系. U型模式包括下沉、潛行、上浮3個(gè)環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程的完整性和學(xué)習(xí)方式的多樣性. 以“數(shù)列的通項(xiàng)公式”為例，對(duì)一類已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的問(wèn)題進(jìn)行題源深挖、變式探究、回歸本質(zhì)，并通過(guò)對(duì)教材例題、習(xí)題及高考試題的變式、類比、推廣，闡述高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的實(shí)踐與反思.

關(guān)鍵詞：深度教學(xué)；U型模式；高三數(shù)學(xué)；通項(xiàng)公式

一、對(duì)深度教學(xué)的理解

深度教學(xué)是指學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，積極參與、體驗(yàn)成功并實(shí)現(xiàn)發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)逐層深化，深度投入和參與，激發(fā)和維持高階思維. 深度教學(xué)以思維為核心，以自主為特征，通過(guò)問(wèn)題意識(shí)，融入思維方法，體現(xiàn)思維品質(zhì). 教師給予學(xué)生充足的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的廣度、深度和關(guān)聯(lián)度，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

隨著新教材的使用、新高考的改革與實(shí)施和“雙減”政策的全面落地，如何在高三復(fù)習(xí)課上實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的教育價(jià)值、提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量是值得我們探討的問(wèn)題. 筆者認(rèn)為，深度教學(xué)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效途徑. 深度教學(xué)將認(rèn)知、技能和情感與學(xué)生高階思維和關(guān)鍵能力的發(fā)展相結(jié)合，是讓學(xué)生進(jìn)行深度思考的教學(xué). 在教學(xué)方式上，可以通過(guò)U型教學(xué)模式來(lái)實(shí)現(xiàn). U型教學(xué)模式是以核心素養(yǎng)為本的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程的完整性和學(xué)習(xí)方式的多樣性，包括下沉、潛行、上浮3個(gè)環(huán)節(jié)（如圖1），符合知識(shí)產(chǎn)生和學(xué)生認(rèn)知的基本規(guī)律. 下沉指學(xué)生通過(guò)問(wèn)題情境激發(fā)，進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)；潛行指學(xué)生參與知識(shí)的探究過(guò)程，體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的學(xué)科方法，經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)過(guò)程；上浮指學(xué)生通過(guò)表達(dá)與運(yùn)用知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義與價(jià)值.

[下沉與還原][激活舊知][還原本質(zhì)] [引發(fā)思考] [上浮與應(yīng)用][反思評(píng)價(jià)][問(wèn)題解決] [問(wèn)題分析] [潛行與探究][深層理解→思維激發(fā)][圖1? U型模式]

深度教學(xué)，是在教學(xué)過(guò)程中把主干知識(shí)靈活化、透徹化、深度化，將教材例題、習(xí)題及高考試題有機(jī)結(jié)合，通過(guò)變式、類比、改編、推廣等方式激活這些經(jīng)典題源，以激發(fā)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的興趣. 一方面，可以讓教材例題、習(xí)題更好地發(fā)揮其內(nèi)在引導(dǎo)教學(xué)的作用，促使學(xué)生把握課程知識(shí)背后的多維屬性，豐富教學(xué)資源；另一方面，對(duì)學(xué)生知識(shí)體系的建構(gòu)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的提升等有一定的促進(jìn)作用.

二、課例描述

本節(jié)課是一節(jié)“數(shù)列的通項(xiàng)公式”復(fù)習(xí)課，旨在引導(dǎo)學(xué)生回顧求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法，提高學(xué)生解決遞推數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的能力，探討如何對(duì)教材例題、習(xí)題及新高考試題進(jìn)行挖掘，開(kāi)展深度教學(xué)活動(dòng).

1. 下沉——課前引入，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

下沉是U型模式進(jìn)入深度教學(xué)的切入點(diǎn)，是指教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，觸發(fā)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)的過(guò)程.下沉的起點(diǎn)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，結(jié)合學(xué)生已有的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，吸引學(xué)生的注意力. 因此，課前先讓學(xué)生重做人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）中與數(shù)列通項(xiàng)公式有關(guān)的例題，溫故知新，引起學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)注. 創(chuàng)造認(rèn)知沖突是下沉的關(guān)鍵點(diǎn)，教師讓學(xué)生以小組合作的方式挖掘例題的條件，以激發(fā)學(xué)生的求知欲望.

人教A版教材“4.3.2 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式”中的例12：某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1 200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且在每年年底賣出100頭牛. 設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為[c1]，[c2]，[c3]，….

（1）寫出一個(gè)遞推公式，表示[cn+1]與[cn]之間的關(guān)系；

（2）將（1）中的遞推公式表示成[cn+1-k=rcn-k]的形式，其中[k，r]為常數(shù)；

（3）求[S10=c1+c2+c3+…+c10]的值（精確到1）.

分析：對(duì)于第（1）小題，可以利用“每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立[cn+1]與[cn]的關(guān)系. 第（2）小題是待定系數(shù)法的應(yīng)用，可以將它還原為第（1）小題中的遞推公式的形式，通過(guò)比較系數(shù)得到方程組. 第（3）小題利用第（2）小題的結(jié)論可以得到答案.

解：（1）由題意，得[c1=1 200]，并且[cn+1=1.08cn-]

[100]. ①

（2）將[cn+1-k=rcn-k]化成[cn+1=rcn-rk+k]. ②

比較①②的系數(shù)，可得[r=1.08，k-rk=-100.]

解方程組，得[r=1.08，k=1 250.]

所以第（1）小題中的遞推公式可以化為[cn+1-1 250=]

[1.08cn-1 250].

（3）由（2）可知，[cn-1 250]是以-50為首項(xiàng)、1.08為公比的等比數(shù)列，則[c1-1250+c2-1 250+]

[c3-1 250+…+c10-1 250=-50×1-1.08101-1.08≈ -724.3.]

所以[S10=c1 + c2 + c3+…+c10 ≈ 1 250×10-724.3=][11 775.7≈11 776].

該題實(shí)質(zhì)上是一類形如[an+1=kan+b]（[k，b]為常數(shù)）的遞推數(shù)列問(wèn)題，求解這類問(wèn)題時(shí)可以用待定系數(shù)法將[an+1=kan+b]轉(zhuǎn)化為公比為[k]的等比數(shù)列后再求[an].

2. 潛行——變式改編，體驗(yàn)探究樂(lè)趣

潛行發(fā)生在U型模式的底部，是學(xué)生經(jīng)歷完整的探究歷程，逐步追尋對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)龍去脈的認(rèn)知過(guò)程. 潛行需要厘清思路，分層深入，對(duì)原題進(jìn)行不同條件的改編與變式，讓學(xué)生參與基本活動(dòng)體驗(yàn)，獲得探究的樂(lè)趣. 在這一過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷多種復(fù)雜的學(xué)習(xí)活動(dòng)，師生間互動(dòng)討論，生生間相互挑戰(zhàn)，獲得高階思維能力和探究能力的發(fā)展. 下面，筆者用課堂實(shí)錄的方式對(duì)課堂上進(jìn)行深度教學(xué)的過(guò)程進(jìn)行記錄.

（1）追根溯源，回歸本質(zhì).

教師先帶領(lǐng)學(xué)生回顧數(shù)列中的兩個(gè)基本工具——等差數(shù)列和等比數(shù)列，復(fù)習(xí)它們的定義和通項(xiàng)公式. 等差數(shù)列的定義是[an+1-an=d n≥1]，其通項(xiàng)公式是[an=a1+n-1d]；等比數(shù)列的定義是[an+1an=q n≥1]，其通項(xiàng)公式是[an=a1qn-1].

教師指出，定義式可以轉(zhuǎn)化為[an+1=an+d n≥1]及[an+1=qan n≥1]，進(jìn)而統(tǒng)一為一個(gè)式子[an+1=qan+][d n≥1]，上述例題即為這種類型. 特別地，當(dāng)[q=1，d]為常數(shù)時(shí)，[an]為等差數(shù)列；當(dāng)[d=0，q]為非零常數(shù)時(shí)，[an]為等比數(shù)列.

（2）公式變形，分層探究.

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組討論，對(duì)統(tǒng)一式[an+1=][qan+d n≥1]進(jìn)行變形處理，學(xué)生分組展示如下.

小組展示1：當(dāng)[q=1，d]變形為函數(shù)[fn]時(shí)，即[an+1=an+fn n≥ 1]，用累加法求[an]，可得[an=a1+]

[a2-a1+a3-a2+…+an-an-1][n≥ 2].

小組展示2：當(dāng)[d=0，q]變形為函數(shù)[fn]時(shí)，即[an+1an=fn n≥1]，可用累乘法求[an]，得到[an=a1 ? a2a1 ?]

[a3a2 ? … ? anan-1][n≥ 2].

教師對(duì)兩個(gè)小組的展示表示肯定和鼓勵(lì)，并提出：當(dāng)[q≠1且q≠ 0，d]為常數(shù)時(shí)，通過(guò)剛才的例題可以知道，可用待定系數(shù)法求解；如果把[d]變形為函數(shù)[fn]，當(dāng)[fn]是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)（型）函數(shù)等時(shí)，該如何處理？

教師讓學(xué)生以四人為一個(gè)小組，再次討論.

小組展示3：如果[fn]是一次函數(shù)，可以利用待定函數(shù)法求解. 設(shè)[an+1+kn+1+b=qan+kn+b]，通過(guò)比較系數(shù)求出系數(shù)[k，b]，構(gòu)造新的等比數(shù)列，由定義求出通項(xiàng)公式.

小組展示4：如果[fn]是二次函數(shù)，可以利用待定函數(shù)法求解. 設(shè)[an+1+an+12+bn+1+c=qan+an2+]

[bn+c]，通過(guò)比較系數(shù)求出系數(shù)[a，b，c]，構(gòu)造新的等比數(shù)列，由定義求出通項(xiàng)公式.

小組展示5：如果[fn]是指數(shù)（型）函數(shù)，即[an+1=qan+dn n≥ 1]，可以利用相除法求解，兩邊同時(shí)除以[qn+1]，可得[an+1qn+1=anqn+dnqn+1]. 當(dāng)[dnqn+1]為常數(shù)時(shí)，構(gòu)造新的等差數(shù)列，由定義求出通項(xiàng)公式；當(dāng)[dnqn+1]為函數(shù)時(shí)，利用累加法可以求出通項(xiàng)公式.

（3）回歸教材，深挖題源.

教師對(duì)小組展示進(jìn)行及時(shí)評(píng)價(jià)和表?yè)P(yáng)，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的探究熱情. 隨后，教師給出一道人教A版教材中的習(xí)題，讓學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)完成，并請(qǐng)學(xué)生充當(dāng)命題者，以四人為一個(gè)小組探討如何改編原題.

教材習(xí)題節(jié)選：設(shè)數(shù)列[an]滿足[a1=1，an+1=][2an+1]，求[an]的通項(xiàng)公式.

該題可以用待定系數(shù)法求解. 由[an+1=2an+1]，設(shè)[an+1+λ=2an+λ]，即[an+1=2an+λ]. 對(duì)比系數(shù)，可得[λ=1]. 所以[an+1+1=2an+1]. 故[an+1]是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列. 所以[an+1=2×2n-1]，即[an=2n-1].

小組展示6：原題改為“設(shè)數(shù)列[an]滿足[a1=1，][an+1=2an+n-1]，求[an]的通項(xiàng)公式”. 由[an+1=2an+][n-1]，設(shè)[an+1+kn+1+b=2an+kn+b]，即[an+1=2an+]

[kn+b-k]. 對(duì)比系數(shù)，可得[k=1，b=0]. 所以[an+1+][n+1=2an+n]. 故[an+n]是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列. 所以[an+n=2×2n-1=2n]，即[an=2n-n].

小組展示7：原題改為“設(shè)數(shù)列[an]滿足[a1=1，][an+1=2an-2n2]，求[an]的通項(xiàng)公式”. 由[an+1=2an-][2n2]，設(shè)[an+1-an+12-bn+1-c=2an-an2-bn-c]，

即[an+1=2an-an2+2a-bn+a+b-c]. 對(duì)比系數(shù)，可得[a=2，b=4，c=6]. 所以[an+1-2n+12-4n+1-6=]

[2an-2n2-4n-6]. 故[an-2n2-4n-6]是首項(xiàng)為-11、公比為2的等比數(shù)列. 所以[an-2n2-4n-6=-11×2n-1，]即[an=-11×2n-1+2n2+4n+6].

小組展示8：原題改為“設(shè)數(shù)列[an]滿足[a1=1，][an+1=2an+2n]，求[an]的通項(xiàng)公式”. 經(jīng)驗(yàn)算，該題不能沿用待定函數(shù)的思想進(jìn)行求解. 但是可以將等式兩邊同時(shí)除以[2n+1]，得到[an+12n+1=2an2n+1+2n2n+1]，即[an+12n+1=an2n+]

[12]. 故[an2n]是首項(xiàng)為[12]、公差[12]為的等差數(shù)列. 所以[an2n=12+12n-1=n2]，即[an=n ? 2n-1].

小組展示9：原題改為“設(shè)數(shù)列[an]滿足[a1=1，][an+1=2an+2n+1]，求[an]的通項(xiàng)公式”. 該題也可以通過(guò)相除法求解. 等式兩邊同時(shí)除以[2n+1]，得到[an+12n+1=2an2n+1+2n+12n+1]，即[an+12n+1-an2n=12n+1+12]. 將[an+12n+1-an2n]看作一個(gè)函數(shù)，可以用累加法求通項(xiàng). 所以當(dāng)[n≥ 2]時(shí)，

[an2n = a121 + a222-a121 + a323-a222+…+an2n-an-12n-1 = 12+]

[12+122+12+123+…+12+12n=n-12+121-12n1-12=]

[n+12-12n，當(dāng)n=1時(shí)， a121=12 也滿足上式.] 綜上所述，[an=n+12n-1-1].

在高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、類比、歸納、發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 下一步，將引導(dǎo)學(xué)生反思和小結(jié)本節(jié)課的知識(shí)和方法.

3. 上浮——鞏固與提升，對(duì)標(biāo)高考導(dǎo)向

上浮是U型模式的出口，指知識(shí)的表達(dá)與運(yùn)用，是知識(shí)外顯，以及對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)和反思的過(guò)程. 高三的復(fù)習(xí)離不開(kāi)對(duì)高考試題、模擬題的研究. 只有運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，并進(jìn)行表達(dá)與交流，才能發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題，進(jìn)而查漏補(bǔ)缺，提升復(fù)習(xí)的效果. 下面提供四道題目，分別來(lái)源于高考試題、模擬題和人教A版教材課后練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固與應(yīng)用，從而訓(xùn)練和提升解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

練習(xí)1：設(shè)數(shù)列[an]滿足[a1=3，an+1=3an-4n.] 計(jì)算[a2，a3]，猜想[an]的通項(xiàng)公式并加以證明.

練習(xí)2：已知數(shù)列[an]滿足[a1=1，an+1=3an+1]. 證明[an+12]是等比數(shù)列，并求[an]的通項(xiàng)公式.

練習(xí)3：已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列[an]滿足[an+2=][2an+1+3an]．

（1）證明：數(shù)列[an+an+1]為等比數(shù)列；

（2）若[a1=12，a2=32]，求[an]的通項(xiàng)公式．

練習(xí)4：已知數(shù)列[an]的首項(xiàng)[a1=35]，且滿足[an+1=3an2an+1].

（1）求證：數(shù)列[1an-1]為等比數(shù)列；

（2）若[1a1+1a2+1a3+ … +1an<100]，求滿足條件的最大整數(shù)[n].

分析發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn). 這些知識(shí)點(diǎn)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)數(shù)列這部分內(nèi)容的基本要求. 練習(xí)中均涉及證明新數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，考查學(xué)生從已知條件中提取數(shù)列公差或公比的關(guān)鍵信息的能力. 只要學(xué)生邏輯清晰就能證明，沒(méi)有設(shè)置思維上的障礙，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，難度恰當(dāng)，有利于增強(qiáng)學(xué)生的信心，突出對(duì)通性通法的考查. 對(duì)比教材習(xí)題可以發(fā)現(xiàn)，高考試題源于教材又高于教材，以考查通性通法為主. 因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師要重視對(duì)教材例題和習(xí)題的研究，進(jìn)而開(kāi)展深度教學(xué).

三、課例分析

該課例是“數(shù)列的通項(xiàng)公式”高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課深度教學(xué)示范課，采用U型教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷下沉、潛行、上浮三個(gè)基本環(huán)節(jié). 在下沉環(huán)節(jié)，課前先讓學(xué)生重做人教A版教材上的例題，創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新，注重建立新知識(shí)與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī). 在潛行環(huán)節(jié)，通過(guò)變式探究、動(dòng)手操作、小組合作、師生討論、生生挑戰(zhàn)等有效手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 學(xué)生在課堂上分享探究成果，教師在疑難處進(jìn)行有效點(diǎn)撥，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性. 在上浮環(huán)節(jié)，通過(guò)高考試題、模擬題、教材課后練習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的表達(dá)與遷移運(yùn)用的能力，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義增值. 整節(jié)課以學(xué)生為主體、以教師為主導(dǎo)，讓學(xué)生充分積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 該課例對(duì)深度教學(xué)的有效嘗試主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面.

1. 深度挖掘教材和高考試題，讓教師教研有深度

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，有必要緊扣教材和高考試題，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與心理規(guī)律、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與解題能力，綜合研究高考試題，以及教材上的例題和習(xí)題. 有機(jī)整合教材上的例題和習(xí)題，并進(jìn)行變式、類比、改編和推廣，由此激活經(jīng)典題源，整合復(fù)習(xí)材料. 由最初的知識(shí)立意，改編成突出能力立意和數(shù)學(xué)思想方法的研討，讓教師教研有深度.

2. 善用“引導(dǎo)式”提問(wèn)，讓學(xué)生思維有深度

波利亞曾說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì). 數(shù)學(xué)是思維的體操，而思考始于問(wèn)題，教師在教學(xué)中發(fā)揮著主導(dǎo)作用. 當(dāng)學(xué)生在課堂活動(dòng)的思維碰撞中遇到難題或困惑時(shí)，教師拋出的“引導(dǎo)式”提問(wèn)舉足輕重.

良好的“引導(dǎo)式”提問(wèn)，可以啟發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)課堂深度探究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 研究高考試題可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列內(nèi)容在高考數(shù)學(xué)解答題中主要以基礎(chǔ)題或中檔題的形式出現(xiàn)，通常第（1）小題會(huì)出現(xiàn)“引導(dǎo)式”提問(wèn)（如先證明新數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，或者先觀察數(shù)列求出前幾項(xiàng)然后猜想并證明通項(xiàng)公式等），讓問(wèn)題有一定的梯度，也相當(dāng)于給了提示，讓學(xué)生能快速找到解題的突破口. 該課例中，教師通過(guò)小組合作探究的方式引導(dǎo)學(xué)生自己改編題目，并引導(dǎo)學(xué)生提出學(xué)習(xí)的困惑點(diǎn)或疑難點(diǎn)，帶動(dòng)學(xué)生深度思考.

3. 發(fā)散性多維度改編題目，讓教學(xué)過(guò)程有深度

教師不僅是知識(shí)的傳授者，還是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者. 該課例采用“基礎(chǔ)回顧—例題重現(xiàn)—求解—改編—鞏固”的教學(xué)模式，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深度探究.

近幾年出現(xiàn)了一種新題型——結(jié)構(gòu)不良試題，我們可以把該課例的變式探究改編為這種題型. 例如，設(shè)數(shù)列[an]滿足[a1=1]，? ? ? ? ? ? ，求[an]的通項(xiàng)公式. 橫線上給出多個(gè)條件選項(xiàng)（如①[an+1=2an+1]，②[an+1=2an+n-1]，③[an+1=2an-2n2]，④[an+1=2an+2n]，⑤[an+1=][2an+2n+1]），讓學(xué)生選一個(gè)條件作答，目的是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，不同的條件難度級(jí)別不一樣，讓學(xué)生收獲的不僅是知識(shí)，更是掌握獲取更多知識(shí)的方法，讓教學(xué)過(guò)程有深度.

仔細(xì)研究近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)，其對(duì)知識(shí)的考查更傾向于理解和應(yīng)用. 在加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)考查的同時(shí)，更突出能力立意. 因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該打破數(shù)學(xué)內(nèi)部的學(xué)科界限，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生綜合解題能力的訓(xùn)練. 例如，該課例的“上浮”部分就是結(jié)合學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能遇到的難點(diǎn)和困惑設(shè)計(jì)典型數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量進(jìn)行過(guò)程性監(jiān)測(cè)，讓學(xué)生深度參與課堂活動(dòng)，獲取成功的體驗(yàn).

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