數(shù)學(xué)試題中的隱含結(jié)論與求解策略

作者簡介：陶兆龍（1964— ），男，正高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育和高考研究.

摘? 要：在數(shù)學(xué)試題中設(shè)置隱含結(jié)論是實(shí)現(xiàn)考查目標(biāo)的一種有效手段. 隱含結(jié)論主要包括知識(shí)結(jié)構(gòu)型與創(chuàng)新應(yīng)用型兩種. 合情推理和綜合分析法是發(fā)現(xiàn)試題中隱含結(jié)論的重要策略，在數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)階段注意突出知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系也是必要之舉.

關(guān)鍵詞：隱含結(jié)論；縱橫聯(lián)系；合情推理；綜合分析法

2020年以來，為發(fā)揮高考的核心功能（立德樹人、服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué)），遵循“四層”（核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)）的考查內(nèi)容，落實(shí)“四翼”（基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性）的考查要求，在試題的設(shè)計(jì)方面全國新高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了許多有益的探索，較好地實(shí)現(xiàn)了考查要求.

新穎、復(fù)雜的問題情境是實(shí)現(xiàn)高考考查目標(biāo)的有效載體. 在試題中設(shè)置隱含結(jié)論或在解決問題的過程中運(yùn)用隱含結(jié)論，是體現(xiàn)新穎與復(fù)雜性的較好方式，在新高考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常被采用. 這里的隱含結(jié)論不是指通常意義上的二級(jí)結(jié)論（讓學(xué)生機(jī)械地去記憶大量的二級(jí)結(jié)論不是一種科學(xué)的復(fù)習(xí)方法），而是由試題所給的條件可以推導(dǎo)出的一些結(jié)論，或是由學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)可以推導(dǎo)出的結(jié)論. 這些結(jié)論的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用，有的會(huì)簡化問題的解決過程，有的則是實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的必經(jīng)之路.

下面結(jié)合近幾年高考數(shù)學(xué)全國卷中的試題，對(duì)隱含結(jié)論的類型、考查功能和求解策略進(jìn)行簡單剖析.

一、隱含結(jié)論的兩種類型

1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)型隱含結(jié)論

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)生進(jìn)入高等學(xué)校進(jìn)行專業(yè)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展所需要的必備知識(shí)，新高考提出考查必備知識(shí)，同時(shí)提出基礎(chǔ)性和綜合性的考查要求，就是要深入考查數(shù)學(xué)基本概念、定理、公理、公式和法則等.

知識(shí)結(jié)構(gòu)型隱含結(jié)論是指由試題涉及的不同知識(shí)點(diǎn)推出的一些結(jié)論，用這些結(jié)論可以順利地實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo). 這些結(jié)論反映了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系是數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的體現(xiàn)，注重對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的考查無疑是體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性考查要求的有效之舉.

例1 （2022年全國新高考Ⅰ卷·12）已知函數(shù)[fx]及其導(dǎo)函數(shù)[fx]的定義域均為[R，] 記[gx=][fx.] 若[f32-2x，g2+x]均為偶函數(shù)，則（? ? ）.

（A）[f0=0] （B）[g-12=0]

（C）[f-1=f4] （D）[g-1=g2]

答案：[BC].

解：由[f32-2x]為偶函數(shù)，可知[fx]關(guān)于直線[x=32]對(duì)稱.

由[g2+x]為偶函數(shù)，可知[gx]關(guān)于直線[x=2]對(duì)稱.

結(jié)合[gx=fx]，根據(jù)[gx]關(guān)于直線[x=2]對(duì)稱，可知[fx]關(guān)于點(diǎn)[2，t]對(duì)稱.

根據(jù)[fx]關(guān)于直線[x=32]對(duì)稱，可知[gx]關(guān)于點(diǎn)[32，0]對(duì)稱.

綜上所述，函數(shù)[fx]與[gx]均是周期為[2]的周期函數(shù).

所以[f0=f2=t]，選項(xiàng)[A]不正確.

因?yàn)閇f-1=f1]，[f4=f2]，[f1=f2]，

所以[f-1=f4]，選項(xiàng)C正確.

因?yàn)閇g-12=g32=0，] [g-1=g1]，

所以選項(xiàng)B正確.

由[g1+g2=0]，得[g-1+g2=0].

所以選項(xiàng)[D]不正確.

解決這道試題需要利用以下幾個(gè)有關(guān)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的奇偶性與圖象對(duì)稱性的隱含結(jié)論. 設(shè)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)[fx]為奇函數(shù)，則有[f-x=-fx]. 等式兩邊求導(dǎo)，可得[-f-x=-fx]，所以[f-x=fx]，即[fx]為偶函數(shù). 這樣，由函數(shù)奇偶性定義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以推出“可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)”.同理可證，“可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)”.

更一般地，關(guān)于原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的對(duì)稱性，若定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于直線x = a對(duì)稱，則函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于[a，0]對(duì)稱. 由[fx=][f2a-x]，對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得[fx=-f2a-x]，即[fx+f2a-x=0]. 所以函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于點(diǎn)[a，0]對(duì)稱. 若定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于[a，0]對(duì)稱，則函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于直線x = a對(duì)稱.

更一般地，若定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于[a，b]對(duì)稱，則函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于直線x = a對(duì)稱. 因?yàn)閇fx]的圖象關(guān)于[a，b]對(duì)稱，所以[fx+][f2a-x]= 2b. 對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得[fx-f2a-x=0]. 所以函數(shù)[fx]的圖象關(guān)于直線x = a對(duì)稱.

原函數(shù)的對(duì)稱性與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性的關(guān)系是解析幾何和函數(shù)與導(dǎo)數(shù)兩個(gè)單元知識(shí)點(diǎn)之間的一種聯(lián)結(jié)，是知識(shí)點(diǎn)之間的橫向聯(lián)系. 在平時(shí)的教學(xué)中，如果能引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)這種隱含結(jié)論，對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)會(huì)起很大的促進(jìn)作用.

例2 （2021年全國新高考Ⅰ卷·21）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)[F1-17，0，F(xiàn)217，0，] 點(diǎn)M滿足[MF1-MF2=2]. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線[x=12]上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且[TA][TB]=[TP][TQ]，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解：（1）因?yàn)閇MF1-MF2=2]，

所以軌跡C為雙曲線的右半支，c2 = 17，2a = 2.

所以a2 = 1，b2 = 16.

所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2 -[y216]= 1[x>0].

（2）（方法1）設(shè)[T12，n]，由題意可知直線AB，PQ的斜率均存在且不為0.

設(shè)直線AB：y - n = k1[x-12][k1≠0]，

聯(lián)立方程，得[y-n=k1x-12，x2-y216=1，]

所以[16-k12]x2 +[k12-2k1n]x -[14]k12 - n2 + k1n - 16 = 0.

設(shè)[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，易知16 - k12 ≠ 0.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1 + x2 =[k12-2k1nk12-16]，x1x2 =

[14k12+n2-k1n+16k12-16].

所以[TA]=[1+k12x1-12]，[TB]=[1+k12][x2-12].

所以[TATB=1+k12x1-12x2-12=n2+121+k12k12-16].

設(shè)直線PQ：y - n = k2[x-12][k2≠0]，

同理，可得[TPTQ]=[n2+121+k22k22-16].

因?yàn)閇TATB]=[TPTQ]，

所以[1+k12k12-16=1+k22k22-16]，即[1+17k12-16=1+17k22-16].

所以k12 - 16 = k22 - 16，即k12 = k22.

因?yàn)閗1 ≠? k2，

所以k1 + k2 = 0.

（方法2）設(shè)[T12，n]，由題意可知直線AB，PQ的斜率均存在且不為0.

設(shè)直線AB：y - n = k1[x-12][k1≠0]，[Ax1，y1]，

[Bx2，y2]，

聯(lián)立方程，得[y-n=k1x-12，x2-y216=1，]

所以[16-k12]x2 +[k12-2k1n]x -[14]k12 - n2 + k1n - 16 = 0.

由[16-k12]x2 +[k12-2k1n]x -[14]k12 - n2 + k1n - 16 =[16-k12x-x1x-x2]，

令x =[12]，得[16-k12][x1-12x2-12]=[14][16-k12]+ [12k12-2k1n] -[14]k12 - n2 + k1n - 16 = -12 - n2.

所以[x1-12x2-12]=[12+n2k12-16].

因?yàn)閇TA]=[1+k12][x1-12]，[TB]=[1+k12][x2-12]，

所以[TATB=1+k12x1-12x2-12=n2+121+k12k12-16].

設(shè)直線PQ：y - n =k2[x-12]，

同理，可得[TPTQ]=[n2+121+k22k22-16].

因?yàn)閇TATB]=[TPTQ]，

所以[1+k12k12-16=1+k22k22-16]，

即[1+17k12-16=1+17k22-16].

所以k12 - 16 = k22 - 16，即k12 = k22.

因?yàn)閗1 ≠? k2，

所以k1 + k2 = 0.

該題第（2）小題的第一種解法運(yùn)算量非常大，高考中順利解出的學(xué)生很少；而第二種解法的運(yùn)算量要小得多，學(xué)生較容易求解出答案. 第二種解法主要采用算兩次的方法，利用二次函數(shù)一般式與兩個(gè)根式之間存在的顯而易見的關(guān)系將復(fù)雜的展開計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡單的代入. 即設(shè)函數(shù)[fx]= ax2 + bx + c，x1，x2是方程[fx=0]的兩個(gè)根，則有[fx=]ax2 + bx + c = a[x-x1][x-x2]，要求[x1-12x2-12]關(guān)于參數(shù)k的表達(dá)式，只要代入一般式求[f12]即可.

這里利用隱含結(jié)論極大地簡化了運(yùn)算，順利地實(shí)現(xiàn)了解題目標(biāo). 師生對(duì)二次函數(shù)的兩種表達(dá)式都很熟悉，但卻往往忽略它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，很少能聯(lián)合使用這兩種形式解決問題. 這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在同一個(gè)教學(xué)小單元，如果在平時(shí)的教學(xué)中教師注意引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用這種內(nèi)在聯(lián)系去尋找問題的不同解決方法，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)形成關(guān)鍵能力，深度理解概念形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)都會(huì)起到促進(jìn)作用.

2. 創(chuàng)新應(yīng)用型隱含結(jié)論

創(chuàng)新應(yīng)用型隱含結(jié)論是指依據(jù)試題的題設(shè)條件可以推導(dǎo)出的結(jié)論. 這些隱含結(jié)論有的可以簡化運(yùn)算過程，有的則是解決問題的必要步驟.

例3 （2022年全國新高考Ⅰ卷·16）已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，[C]的上頂點(diǎn)為[A]，兩個(gè)焦點(diǎn)為[F1]，[F2]，離心率為[12]. 過[F1]且垂直于[AF2]的直線與[C]交于[D]，[E]兩點(diǎn)，[DE=6]，則[△ADE]的周長是? ? ? ? ? ? ?.

簡解：由橢圓[C]的離心率為[12]，可知a = 2c，所以F1F2 = AF1. 因?yàn)镈F1⊥AF2，所以直線[DE]垂直平分[AF2]，故△ADE的周長等于△DEF2的周長. 再由橢圓定義，可知△ADE的周長等于4a，直線AF2的斜率為[-bc=-3]，所以直線DF1的斜率為[33]. 由此直線DE的方程可以確定. 再由DE = 6可求出a，得到△ADE的周長.

這一解法通過圖形直觀（圖1），運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到直線DE垂直平分AF2及直線DE的方程這兩個(gè)隱含結(jié)論，避開了一般解法中求點(diǎn)D，E，M的坐標(biāo)這些煩瑣運(yùn)算，體現(xiàn)出較高的思維層次與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 利用這些隱含結(jié)論提高了試題的區(qū)分度，有利于選拔出有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生.

[圖1][F2][F1][M][D][A][E][O][x][y]

創(chuàng)新應(yīng)用型隱含結(jié)論的發(fā)現(xiàn)需要有較好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與較強(qiáng)的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力. 這類試題具有良好的區(qū)分度，有利于落實(shí)創(chuàng)新性、應(yīng)用性的考查要求.

二、應(yīng)對(duì)策略

設(shè)置隱含結(jié)論是新高考命題的一種有效方式，高三復(fù)習(xí)階段應(yīng)該有針對(duì)性的應(yīng)對(duì)策略. 總體上看，教師要注重學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的訓(xùn)練與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 具體地，教師要針對(duì)兩種類型的隱含結(jié)論，訓(xùn)練學(xué)生掌握一些發(fā)現(xiàn)隱含結(jié)論的有效途徑與方法.

1. 拓展知識(shí)點(diǎn)之間的縱橫聯(lián)系

在高三復(fù)習(xí)階段復(fù)習(xí)各單元基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，比較常見的做法是簡單地羅列知識(shí)點(diǎn)，再強(qiáng)調(diào)一些注意事項(xiàng). 但是這樣的復(fù)習(xí)方式難以加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，不利于優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也難以引導(dǎo)學(xué)生從容應(yīng)對(duì)設(shè)置有知識(shí)結(jié)構(gòu)型隱含結(jié)論的高考試題. 鑒于此，在各單元基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)階段，應(yīng)該強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)之間的縱橫聯(lián)系，這樣不僅可以增強(qiáng)學(xué)生復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的興趣，還可以使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解，促進(jìn)學(xué)生關(guān)鍵能力的提升.

結(jié)合教材中的例題、習(xí)題或主干知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生展開探究，是復(fù)習(xí)課中拓寬學(xué)生視野，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)型隱含結(jié)論的重要途徑. 例如，可以由平面向量單元的定比分點(diǎn)公式自然地提出一些問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，得到若干有意義的結(jié)論.

向量形式的定比分點(diǎn)公式：設(shè)平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，[AP=λPB]，則有[OP=11+λOA+λ1+λOB].

平面上三點(diǎn)共線的結(jié)論：設(shè)平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，則平面上的點(diǎn)P與A，B共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得[OP=λOA+μOB]，且λ + μ = 1.

在這一基礎(chǔ)上又提出問題：點(diǎn)P不在直線AB上與λ + μ ≠ 1是否等價(jià)？λ + μ何時(shí)大于1，何時(shí)小于1？點(diǎn)P在直線AB上方（直線AB在點(diǎn)O，P之間）時(shí)，λ + μ > 1嗎？點(diǎn)P在直線AB下方（點(diǎn)P在點(diǎn)O和直線AB之間）時(shí)，λ + μ < 1嗎？

更具體地還可以得到：（1）設(shè)平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，[OP=λOA+μOB]（λ + μ = 1），若[OQ=][mOA+nOB]，m + n = k，則[OQOP]= k.（2）平面內(nèi)一組基底[OA]，[OB]，向量[OP=λOA+μOB]，若點(diǎn)P在直線AB上或在平行于直線AB的直線上，則λ + μ = k為定值，反之亦然；當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，k = 1，反之亦然；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O和直線AB之間時(shí)，0 < k < 1，反之亦然；當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和平行線之間時(shí)，k > 1，反之亦然.

經(jīng)過這樣的探究，學(xué)生得到了強(qiáng)烈的成功體驗(yàn)，對(duì)問題的認(rèn)識(shí)也愈發(fā)清晰. 而這一問題也正是本單元的基本問題——向量的線性表示的典型代表，有很多較難問題都是由這一基本圖形演變而來.

這種探究貼近教材，貼近學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還貼近單元的基本問題，不僅可以激發(fā)學(xué)生濃厚的復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，還能有效促進(jìn)學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為學(xué)生關(guān)鍵能力的提升奠定良好的基礎(chǔ).

實(shí)際上，每個(gè)單元都可以設(shè)計(jì)出類似的問題供學(xué)生自主探究，這種做法可以明顯提升高三學(xué)生復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的興趣，使他們不僅可以發(fā)現(xiàn)一些重要結(jié)論，還能掌握探索有關(guān)結(jié)論的方法.

2. 運(yùn)用合情推理等數(shù)學(xué)思想方法猜想

合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等采用觀察、比較、歸納、類比、猜想等方法推測某些結(jié)果的推理過程. 合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要工具，也是探索隱含結(jié)論的重要手段.

例4 （2022年全國新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)[fx=][ex-ax]和[gx=ax-lnx]有相同的最小值.

（1）求[a]；

（2）證明：存在直線[y=b，] 其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，畫出函數(shù)[fx]和[gx]的圖象，如圖2所示. 可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)函數(shù)圖象有唯一公共點(diǎn)[x0，b]，因此應(yīng)該有[ex0-]x0 = x0 - ln x0 = b這一結(jié)論成立.

[圖2]

進(jìn)一步可得[ex0+]ln x0 = 2x0. 根據(jù)這一式子的結(jié)構(gòu)，可以猜想ln x0，x0，[ex0]是三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以下只要論證這一猜想即可.

該題的解決，首先要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象有唯一公共點(diǎn)[x0，b]，有[ex0-]x0 = x0 - ln x0 = b這一隱含結(jié)論，再由此結(jié)論進(jìn)行合理猜想，進(jìn)一步明確探索的方向.

3. 運(yùn)用綜合分析法推測

綜合法是由因?qū)Ч?，分析法是?zhí)果索因，綜合分析法是指從問題的條件和結(jié)論兩個(gè)方向出發(fā)進(jìn)行推理，把問題的結(jié)論當(dāng)作條件與題設(shè)條件一起進(jìn)行推導(dǎo)，即在問題結(jié)論成立的情況下，我們可以推出什么結(jié)論，而這樣的結(jié)論往往就是試題的隱含結(jié)論.

例5 （2023年全國甲卷·理11）已知四棱錐[P-ABCD]的底面是邊長為4的正方形，[PC=PD=3，][∠PCA=45°]，則△PBC的面積為（? ? ）.

（A）[22] （B）[32]

（C）[42] （D）[62]

答案：C.

如圖3，從結(jié)論來看，由于要求△PBC的面積，而PC = 3，BC = 4，所以△PBC可解，PB應(yīng)該可以求出；再由條件來看，在△PAC中可以求出PA，由PC = PD知點(diǎn)P在線段CD的垂直平分面上. 由于四邊形ABCD為正方形，所以點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分面上，從而PA = PB. 這樣就得到了PA = PB這一隱含結(jié)論，由此，先解 △PAC 求出PA，再解 △PBC 即可.

[圖3][B][A][O][O][C][D][P]

綜合分析法實(shí)際上也是一種合情推理.

三、結(jié)語

試題結(jié)論作為解題目標(biāo)對(duì)解題過程起著定向和調(diào)控的作用. 當(dāng)解題過程的思維鏈較長時(shí)，這種調(diào)控作用就會(huì)減弱，為了確定合理的探索方向就需要尋找一個(gè)小目標(biāo)，也就是中途點(diǎn)，隱含結(jié)論實(shí)際上是解題過程的一個(gè)中途點(diǎn).

從以上例子可以看出，有的隱含結(jié)論是解題過程中的必經(jīng)之路，有的則是實(shí)現(xiàn)解題最終目標(biāo)的一條“近道”. 常規(guī)解法容易確定方向，但運(yùn)算量會(huì)很大，難以順利算出；而利用隱含結(jié)論的“近道”則會(huì)簡潔得多，省時(shí)省力.

發(fā)現(xiàn)并利用設(shè)置在試題中的隱含結(jié)論需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵能力、較高的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，所以從命題角度來看，這樣的試題既有利于高校選拔人才，又有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

讓學(xué)生機(jī)械地記憶大量的所謂二級(jí)結(jié)論是難以應(yīng)對(duì)這樣的考查方式的. 在數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)階段，選擇一些課題引導(dǎo)學(xué)生去自主探索，獲得一些有意義的結(jié)論，使學(xué)生不僅了解到相關(guān)的結(jié)論，還能掌握發(fā)現(xiàn)結(jié)論的數(shù)學(xué)思想方法，在這一過程中學(xué)生的收獲要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出結(jié)論本身. 在解決復(fù)雜問題時(shí)，要注意訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用合情推理等方法探尋隱含結(jié)論，簡化解題過程. 堅(jiān)持這樣的做法，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力得到提升，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)為國家培養(yǎng)優(yōu)秀人才的教育目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

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