知識三重意蘊視域下的數(shù)學教學設(shè)計

作者簡介：何睦（1988— ），男，博士研究生，中小學一級教師，主要從事數(shù)學教育教學研究.

摘? 要：知識是教育的載體，教育是借助知識進行的. 學科知識包括知識內(nèi)容、知識形式和知識旨趣三重意蘊. 基于知識三重意蘊視域的教學設(shè)計首先需要厘清知識的三重意蘊，并明確設(shè)計思路. 以“三角函數(shù)的誘導公式”一課的教學為例，具體闡明在教學實踐過程中通過“提出核心問題，開門見山揭示知識旨趣”“借助問題鏈，引導學生經(jīng)歷由知識形式到知識內(nèi)容的創(chuàng)生”“遷移運用，以知識內(nèi)容和知識形式進一步強化知識旨趣”等教學環(huán)節(jié)加以實施. 知識三重意蘊視域下的數(shù)學教學還應該注重核心問題的提出與解決，以及方法教學的范式引領(lǐng).

關(guān)鍵詞：三重意蘊；誘導公式；核心問題；數(shù)學思想方法；數(shù)學科學精神

一、引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出：數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用. 數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每個人應該具備的基本素養(yǎng). 作為高中數(shù)學教育教學的指導性文件，《標準》提出了普通高中學生在學習數(shù)學的過程中需要著力發(fā)展的六種核心素養(yǎng). 可見，數(shù)學核心素養(yǎng)的培育已然成為當前數(shù)學教育的目標和教學實踐的方向.

知識是教育的載體，教育是通過知識進行的. 數(shù)學知識雖然不等同于數(shù)學核心素養(yǎng)，但核心素養(yǎng)的培育必須依托數(shù)學知識才能落實與達成. 教育心理學家布盧姆將目標認知領(lǐng)域的目標按知識目標與認知過程兩個維度進行了分類. 在知識維度，知識被分為事實性知識、概念性知識、程序性知識和元認知知識. 我國學者李潤洲聚焦學科知識，提出了學科知識的三重意蘊——知識內(nèi)容、知識形式和知識旨趣. 知識內(nèi)容包括概念、命題與理論；知識形式包括方法、思想與思維；知識旨趣包括人文情懷和科學精神. 就數(shù)學核心素養(yǎng)的培育而言，數(shù)學學科中的概念、定理、公式及基本事實等知識內(nèi)容是培育數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)；知識形式則包含獲得這些數(shù)學概念、定理、公式及基本事實的方法及思維方式，這些是數(shù)學核心素養(yǎng)培育的關(guān)鍵. 同時，在創(chuàng)生這些概念、定理、公式及基本事實的過程中，學生體驗到的人文精神與數(shù)學科學精神屬于知識旨趣層次，這是數(shù)學核心素養(yǎng)培育的核心. 由此可見，學科知識的三重意蘊與學科核心素養(yǎng)的培育有著緊密的聯(lián)系. 數(shù)學教師只有洞察學科知識的三重意蘊，形成包含知識內(nèi)容、知識形式與知識旨趣的三重知識觀，才能為學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育奠定扎實的知識基礎(chǔ).

教學理論研究是為了更好地開展教學實踐. 下面筆者以“三角函數(shù)的誘導公式”（第1課時）為例，具體探討如何在“三角函數(shù)的誘導公式”課例中洞察知識的三重意蘊及開展數(shù)學教學實踐等問題，以期為基于知識三重意蘊視域開展數(shù)學教學設(shè)計和實踐提供一些有益的思考與建議.

二、基于知識三重意蘊視域的“三角函數(shù)的誘導公式”教學設(shè)計

“三角函數(shù)的誘導公式”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章第三節(jié)的內(nèi)容. 學生在學習這部分內(nèi)容之前已經(jīng)借助單位圓得出了任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，也獲得了“三角函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)的直接反映”這一基本觀念. 三角函數(shù)的性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)化. 我們知道，圓有著豐富的性質(zhì)，對稱性是其最重要的性質(zhì)之一. 因此，用三角函數(shù)表示單位圓上的點的坐標，就可以將對稱性（幾何特征）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系（代數(shù)特征）.教學中可以體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等數(shù)學思想方法，能有效發(fā)展學生運用數(shù)學思想方法開展數(shù)學研究的能力，也能有效幫助學生積累豐富的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，為學生后續(xù)進一步研究相關(guān)問題奠定經(jīng)驗基礎(chǔ)，有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育.

1. 厘清知識的三重意蘊，明確設(shè)計思路

厘清三角函數(shù)的誘導公式知識的三重意蘊是基于知識三重意蘊視域開展教學設(shè)計的前提與基礎(chǔ). 因此，需要在研讀《標準》與教材的基礎(chǔ)上，明確本節(jié)課知識的三重意蘊.

從知識內(nèi)容上看，在定義了一個數(shù)學對象（三角函數(shù)）、給出了三角函數(shù)的符號表示后，緊接著就要開展對數(shù)學對象性質(zhì)的研究. 三角函數(shù)的周期性使得三角函數(shù)的取值具有一定的規(guī)律，這就是同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)的誘導公式所反映出來的性質(zhì). 因此，教材中“5.3 誘導公式”的內(nèi)容對應《標準》三角函數(shù)部分“借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式（[α±π2]，[α±π]的正弦、余弦、正切）”的要求. 雖然[α±π2]與[α±π]對應的誘導公式采用的研究方法一樣，但不同之處在于前者的對稱軸并不是坐標軸與坐標原點，推導難度較大. 因此，教材在處理上前置了[α±π]的誘導公式的推導與研究，這就構(gòu)成了“誘導公式”（第1課時）的教學內(nèi)容. 綜上分析，本節(jié)課主要借助圓的對稱性聯(lián)想單位圓上的點關(guān)于原點、坐標軸的對稱性，進而探究誘導公式二 ～ 四，并能運用誘導公式二 ～ 四進行簡單的三角函數(shù)式的求值、化簡與證明.

從知識形式上看，本節(jié)課讓學生發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與三角函數(shù)取值之間的關(guān)系較為抽象，是學生認知上的難點，因此需要教師從學生已有的經(jīng)驗出發(fā)（三角函數(shù)周期性的基礎(chǔ)知識；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導公式一研究方法的認識），不斷引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并能利用數(shù)形結(jié)合等思想方法開展有效探究. 探究過程中教師應該及時給予學生積極、適當?shù)难芯糠妒降囊I(lǐng)和指導. 因此，本節(jié)課由教師提供研究范式，并引導學生利用類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，通過歸納概括、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象等思維活動自主獲得相關(guān)知識，這些過程都構(gòu)成了本節(jié)課的知識形式.

從知識旨趣上看，本節(jié)課主要借助單位圓的對稱性將角的終邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值的關(guān)系，本質(zhì)上是對幾何特征的代數(shù)翻譯. 誘導公式的推導與研究具有生長性，這不僅體現(xiàn)在公式結(jié)構(gòu)上，還體現(xiàn)在公式推導的過程之中. 因此，在教學過程中，教師借助問題鏈示范誘導公式二的推導，并在此基礎(chǔ)上與學生共同歸納誘導公式推導的一般思路與方法. 學生在深刻理解研究方法的基礎(chǔ)上，便可以將一般方法遷移到其他研究內(nèi)容中去，進而實現(xiàn)知識的生長與遷移. 在遷移的過程中，還有助于學生進一步深刻理解知識的價值，提高在新情境中運用所學知識解決問題的能力. 更為重要的是，通過學生的自主探究與合作交流，還能進一步培養(yǎng)學生勤于思考、勇于實踐、大膽猜想、小心求證等數(shù)學科學精神與合作交流的團隊意識. 這些都構(gòu)成了本節(jié)課的知識旨趣.

基于對本節(jié)課知識三重意蘊的分析與思考，筆者進行了如下教學設(shè)計.

2. 教學過程設(shè)計

（1）提出核心問題，開門見山揭示知識旨趣.

教師首先提出回顧性問題：誘導公式一的內(nèi)容是什么？誘導公式一是如何開展研究的？誘導公式一有什么價值和意義？

教師進一步提出核心問題：周期性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，由三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)的直接反映，我們利用單位圓定義了任意角的三角函數(shù)，而圓具有很好的對稱性，能否利用圓的對稱性進一步研究三角函數(shù)的其他性質(zhì)？兩個角的終邊除了重合關(guān)系外，還具有其他特殊的關(guān)系嗎？

【設(shè)計說明】課題的導入必須表明課題引入的理由，如此才能使新知的探究更具指向性. 弄清楚課題的來源，并且從理論認識的角度指出研究的必要性. 在課題導入階段，筆者組織了一個回顧性問題和一個核心問題，回顧性問題引導學生在鞏固原有知識結(jié)構(gòu)的同時喚醒已有的研究經(jīng)驗，以學生已有的認知結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗作為探究新知的重要生長點. 學生通過回顧性問題明晰誘導公式一的研究線路，即“角的終邊關(guān)系（終邊相同）—角間關(guān)系（[α]與[α+2kπ]）—坐標關(guān)系（兩角的終邊與單位圓的交點坐標相同）—三角函數(shù)值的關(guān)系[sinα+2kπ=sinα]，[cosα+2kπ=cosα]，[tanα+2kπ=tanα]，[k∈Z]”，并明確誘導公式一的價值在于可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為在[0，2π]內(nèi)的角的三角函數(shù)值. 核心問題的提出開門見山地表明本節(jié)課將要解決的本質(zhì)問題，為學生制造新的認知沖突，激發(fā)學生的探究欲望，在揭示本節(jié)課知識旨趣的同時進一步增強學生的學習動機.

（2）借助問題鏈，引導學生經(jīng)歷由知識形式到知識內(nèi)容的創(chuàng)生.

環(huán)節(jié)1：搭建腳手架，示范誘導公式二的探究過程.

教師搭建腳手架，圍繞誘導公式二的探究，按誘導公式的研究思路設(shè)置問題鏈.

在平面直角坐標系中，設(shè)任意角[α]的終邊與單位圓交于點[P1]. 作[P1]關(guān)于原點的對稱點[P2]，以[OP2]為終邊的角記為[β].

問題1：角[α]與角[β]的終邊有怎樣的對稱關(guān)系？

問題2：能否寫出角[β]與角[α]之間滿足的等量關(guān)系？

問題3：能否寫出角[α]的終邊與角[β]的終邊與單位圓的交點坐標，并說明坐標之間的關(guān)系？

問題4：根據(jù)點坐標的關(guān)系，能否得出角[β]與角[α]的三角函數(shù)值之間的關(guān)系？

問題5：這組公式有何價值與意義？

【設(shè)計說明】環(huán)節(jié)1具有示范性，承載著建立研究方法、培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題的習慣與方式的作用. 因此，可以適當放慢教學節(jié)奏，引導學生在問題鏈和教師的示范引領(lǐng)下，在逐步領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想方法的同時，讓學生進一步感悟誘導公式研究遵循的一般套路：角的特殊終邊關(guān)系—角間關(guān)系—坐標關(guān)系—三角函數(shù)值的關(guān)系. 這對學生后續(xù)類比研究方法獨立開展誘導公式三和誘導公式四的研究，為知識形式到知識內(nèi)容的創(chuàng)生奠定了方法論的基礎(chǔ). 問題5進一步闡述該公式研究的意義與價值在于可以將第三象限內(nèi)的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)加以解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，目的在于加強學生對研究問題的理解與認識，進一步認同知識旨趣.

環(huán)節(jié)2：類比探究，學生在建構(gòu)的方法體系中持續(xù)攀升.

問題1：我們是如何開展誘導公式二的研究的？在研究過程中，你還有哪些體會？

問題2：兩個角的終邊除了關(guān)于原點對稱之外，還有其他特殊的對稱關(guān)系嗎？在單位圓中作出這些終邊具有特殊關(guān)系的角.

問題3：類比剛才研究誘導公式二的過程與方法，借助前面問題鏈中五個問題的引導，先自主研究，再通過小組合作的方式研究終邊關(guān)于[x]軸或[y]軸對稱的角[α]與[β]的三角函數(shù)值滿足的關(guān)系.

【設(shè)計說明】根據(jù)環(huán)節(jié)1的示范，問題1試圖引導學生將研究過程中形成的研究套路用線路圖的形式表示出來，這樣的追問有利于知識與方法的進一步生長. 環(huán)節(jié)2的設(shè)置要給足學生充分的自主探究的空間，從兩個角的終邊關(guān)于原點對稱的情況進行自然過渡，引導學生再次經(jīng)歷公式的研究過程，自主建構(gòu)誘導公式三和誘導公式四，加深學生對研究方法的再認識. 教師要將課堂還給學生，利用環(huán)節(jié)1總結(jié)歸納的研究線路圖，組織學生以個人與小組相結(jié)合的方式開展數(shù)學探究. 教師在其間不斷巡視研究進展，不過分干預學生的自主建構(gòu)與合作學習，要將精力放在引起、維持和促進學生的學習活動之中，積極引導學生暴露自己的思維，挖掘公式產(chǎn)生背后完整的思維過程.

（3）遷移應用，以知識內(nèi)容與知識形式進一步強化知識旨趣.

環(huán)節(jié)1：例題剖析，以知識內(nèi)容強化知識旨趣.

教師給出圍繞知識內(nèi)容的兩個例題.

例1? 化簡下列各式.

（1）[sinπ+αcos-α+sin2π-αcosπ-α]；

（2）[cosπ+αcosαtanπ-αtan-αcos2π+α].

例2? 求下列各三角函數(shù)值.

（1）[cos225°]；

（2）[sin83π]；

（3）[sin-163π]；

（4）[tan-2 040°].

【設(shè)計說明】通過兩道例題，讓學生初步熟悉誘導公式的應用，感悟在具體問題中如何合理選擇誘導公式，引導學生體會解法的多樣性，啟發(fā)學生關(guān)注誘導公式間的內(nèi)在聯(lián)系. 在學生完成例2后，教師進一步追問：通過例2的研究，能否歸納利用誘導公式一 ～ 四求任意角三角函數(shù)的步驟. 師生共同歸納概括求值的一般步驟，進一步明確本節(jié)課知識內(nèi)容的價值在于通過誘導公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)這一基本觀念，進一步以知識內(nèi)容強化知識旨趣.

環(huán)節(jié)2：反思與小結(jié)，以知識形式強化知識旨趣.

在教學過程的最后，以反思性問題的提出代替常態(tài)的公式規(guī)律的總結(jié)和記憶，教師拋出如下反思性問題.

問題1：本節(jié)課你學會了哪些基礎(chǔ)知識？

問題2：本節(jié)課你掌握了什么樣的基本技能？

問題3：我們是怎樣開展對誘導公式的研究的？

問題4：本節(jié)課使用了哪些數(shù)學思想方法？

問題5：你還想繼續(xù)研究哪些問題？

【設(shè)計說明】問題1和問題2是對本節(jié)課知識內(nèi)容的回顧，側(cè)重于公式規(guī)律的總結(jié)和記憶；問題3和問題4則是學生對誘導公式研究方法的回顧與反思，側(cè)重于學生個體情感、態(tài)度和價值觀的分享與表達；問題5的設(shè)置可以實現(xiàn)知識的進一步生長. 研究思想與方法的追問，不僅有利于學生進一步理解“為何創(chuàng)生這樣的知識內(nèi)容”“如何創(chuàng)生這樣的知識內(nèi)容（即知識形式）”，也有利于學生領(lǐng)悟數(shù)學思想方法和生長數(shù)學基本活動經(jīng)驗. 更為重要的是，學生在整個探究過程中的探究體驗及表現(xiàn)出來的勤于思考、勇于實踐、大膽猜想、小心求證、合作交流等理性的科學探究精神一定會在很長一段時間內(nèi)影響著學生，進一步強化了知識旨趣.

三、知識三重意蘊視域下數(shù)學教學設(shè)計的思考與建議

基于以上對“三角函數(shù)誘導公式”的教學設(shè)計的實踐，筆者認為基于知識三重意蘊視域開展數(shù)學教學設(shè)計應該關(guān)注以下兩個關(guān)鍵行為.

1. 知識三重意蘊視域下的數(shù)學教學需要注重核心問題的提出與解決

《現(xiàn)代漢語詞典》中關(guān)于“核心”的解釋為：核心即中心，它是就各個問題之間的關(guān)系而言的. 因此，核心問題就是能啟發(fā)學生思維的關(guān)鍵問題. 就數(shù)學學科的核心問題而言，它至少應該具有以下三個特征：首先，數(shù)學核心問題具有指向性，它是貫穿整節(jié)課的“主線”，推動著整節(jié)課的“劇情發(fā)展”，它直接指向知識的本質(zhì)；其次，數(shù)學核心問題具有思維性，核心問題的設(shè)置必須按“最近發(fā)展區(qū)”的要求進行設(shè)計，是學生在教師的指引下通過思維活動才能建構(gòu)出來的，具有挑戰(zhàn)性；最后，數(shù)學核心問題有關(guān)聯(lián)性，它應該能整合整節(jié)課教學的重點與難點，其他各個教學環(huán)節(jié)中的問題鏈都應該是它的衍生物，與它有著內(nèi)在的緊密的邏輯關(guān)系，學生可以通過它來整體建構(gòu)知識. 數(shù)學教學的每個活動的設(shè)計都應該緊緊圍繞核心問題展開，每個問題的設(shè)計都應該是核心問題的子問題. 在核心問題提出與解決的過程中，學生將會利用適當?shù)难芯糠椒ǎㄖR形式）圍繞核心問題進行探究與建構(gòu)，進而得出知識內(nèi)容. 在此過程中，知識旨趣也會不斷得到強化與鞏固.

2. 知識三重意蘊視域下的數(shù)學教學需要有方法教學的范式引領(lǐng)

數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，是數(shù)學的靈魂. 數(shù)學離不開數(shù)學思想方法，數(shù)學教學離不開數(shù)學思想方法的教學. 讓學生在課堂上像數(shù)學家那樣發(fā)現(xiàn)定理，這當然是好的學習方式. 但是這種課不能上太多，因為學生的學習時間是有限的，所以從實際出發(fā)，方法上的“模仿”仍然是數(shù)學學習的一種主要方式. 著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾也曾提出“行動的范例”的概念，他指出一種行動作為另一種行動的范例，它可能會引起類似的行動. 作為知識三重意蘊的重要組成部分，知識形式是聯(lián)系知識內(nèi)容與知識旨趣的關(guān)鍵要素. 知識形式勢必會影響知識內(nèi)容與知識旨趣的達成與強化. 因此，教師在開展方法教學時要進行教學示范，學生通過教師的教學示范可以不斷建構(gòu)對研究方法的理解，積累應用研究方法解決問題的基本活動經(jīng)驗. 方法的理解與經(jīng)驗的積累都有利于學生后續(xù)的知識遷移與生長. 在達成知識內(nèi)容與知識形式的同時，進一步強化知識旨趣，真正發(fā)揮知識的教育價值.

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