基于運(yùn)算主線的數(shù)學(xué)單元教學(xué)案例設(shè)計(jì)與思考

基金項(xiàng)目：安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目——“結(jié)構(gòu)化”統(tǒng)領(lǐng)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)案例研究（JK23084）.

作者簡(jiǎn)介：劉守文（1983— ），男，中小學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

摘? 要：基于“用教材教”的理念，以“點(diǎn)到直線的距離公式”為例，嘗試創(chuàng)造性使用教材，跨越單元知識(shí)設(shè)計(jì)教學(xué)，突出運(yùn)算主線，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想方法的引領(lǐng)作用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)連續(xù)性發(fā)展.

關(guān)鍵詞：運(yùn)算主線；單元教學(xué)；課例設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，平面解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形，研究方法主要是代數(shù)方法. 其基本特征是以坐標(biāo)系為研究工具，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)研究幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，這是研究平面解析幾何的一般方法，具有方法論指導(dǎo)意義. 一方面，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是研究平面解析幾何的主線，貫穿于點(diǎn)、直線、圓、圓錐曲線等知識(shí)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，是聯(lián)結(jié)平面解析幾何各單元知識(shí)的紐帶，是推動(dòng)平面解析幾何單元知識(shí)發(fā)生發(fā)展的重要推手；另一方面，平面解析幾何單元教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有重要意義，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的載體. 因此，基于運(yùn)算主線的平面解析幾何單元教學(xué)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界都起到了重要作用.

基于單元教學(xué)的整體性原則，“點(diǎn)到直線的距離公式”一課內(nèi)容的設(shè)計(jì)應(yīng)該置于整個(gè)平面解析幾何知識(shí)發(fā)展的背景和邏輯體系中考慮，關(guān)注單元知識(shí)結(jié)構(gòu)和邏輯關(guān)聯(lián)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法對(duì)知識(shí)的統(tǒng)領(lǐng)作用，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，突出運(yùn)算主線在本節(jié)課乃至本單元內(nèi)容學(xué)習(xí)中的串聯(lián)作用.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

點(diǎn)到直線的距離公式.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課的內(nèi)容是在學(xué)習(xí)直線的方程和位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式之后探究的又一種距離問(wèn)題. 距離問(wèn)題是平面解析幾何中的基本問(wèn)題之一. 本節(jié)課的研究方法延續(xù)了平面解析幾何研究的一般方法，即用代數(shù)方法（坐標(biāo)系）研究幾何問(wèn)題. 本節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系前面所學(xué)知識(shí)思考公式的推導(dǎo)方法，并動(dòng)手推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo).

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）了解點(diǎn)到直線的距離的定義，經(jīng)歷用坐標(biāo)法和向量法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離的過(guò)程，思考坐標(biāo)法引起復(fù)雜運(yùn)算的原因并改進(jìn)，從向量投影的視角再次認(rèn)識(shí)點(diǎn)到直線的距離公式.

（2）會(huì)用結(jié)合圖形特征進(jìn)行運(yùn)算推導(dǎo)的基本套路探索點(diǎn)到直線的距離公式的其他推導(dǎo)方法.

（3）在公式推導(dǎo)過(guò)程中感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志如下.

（1）學(xué)生會(huì)自然聯(lián)想到用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，能夠認(rèn)識(shí)到圖形幾何特征對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的輔助作用，能夠在教師的指導(dǎo)下用“設(shè)而不求”的方法簡(jiǎn)化運(yùn)算. 學(xué)生能夠聯(lián)系空間中的向量的距離公式推導(dǎo)平面上點(diǎn)到直線的距離，實(shí)現(xiàn)方法上的遷移，并能夠在計(jì)算復(fù)雜的情況下探索優(yōu)化運(yùn)算的方法.

（2）學(xué)生能夠借助圖形特征，從面積、斜率等視角認(rèn)識(shí)點(diǎn)到直線的距離，并通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算推導(dǎo)公式.

（3）學(xué)生能夠通過(guò)參與公式推導(dǎo)的過(guò)程，進(jìn)一步理解知識(shí)的本質(zhì)，形成關(guān)鍵能力和必備品格.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

數(shù)學(xué)運(yùn)算是本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容發(fā)生發(fā)展的推手，知識(shí)間的邏輯聯(lián)系是本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容合理呈現(xiàn)的依據(jù). 學(xué)生容易想到兩點(diǎn)間的距離公式這種比較自然的推導(dǎo)思路，但是計(jì)算過(guò)程復(fù)雜. 因此，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是優(yōu)化運(yùn)算（包括向量法的應(yīng)用與優(yōu)化），認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì).

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 整體把握，引入新知

本單元的研究對(duì)象是平面解析幾何，研究的一般套路是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題. 師生一起總結(jié)研究過(guò)的幾何對(duì)象，以及它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)表示，如表1所示.

表1

[類(lèi)型 幾何元素的代數(shù)表達(dá) 幾何 代數(shù) 點(diǎn) [x0，y0] 直線 [Ax+By+C=0] 位置

關(guān)系 點(diǎn)在直線上 [P] 若點(diǎn)[Px0，y0]在直線[Ax+By+][C=0]上， 則有[Ax0+By0+C=0] 兩直線平行直線[A1x+B1y+C1=0]與直線[A2x+B2y+C2=0]平行，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，有[-A1B1=A2-B2] 兩直線相交直線[A1x+B1y+C1=0]與直線[A2x+B2y+C2=0]垂直時(shí)，有[A1A2+B1B2=0] 距離 兩點(diǎn)間的距離[A][B] 點(diǎn)[Ax1，y1]與點(diǎn)[Bx2，y2]，則[AB=x1-x22+y1-y22] 還可以研究什么距離？ ]

【設(shè)計(jì)意圖】基于單元教學(xué)發(fā)展核心素養(yǎng)的整體性要求，本節(jié)課選取熟悉的、相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境引入，通過(guò)回顧前面所學(xué)習(xí)的幾何對(duì)象及其關(guān)系的代數(shù)表示，引導(dǎo)學(xué)生基于知識(shí)發(fā)展的邏輯結(jié)構(gòu)思考后續(xù)還可以研究什么內(nèi)容，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力具有重要意義. 這樣的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生整體地認(rèn)識(shí)、構(gòu)建本單元知識(shí)的宏觀結(jié)構(gòu)，探究本單元知識(shí)學(xué)習(xí)的一般套路. 這種引入方式相比于以解決具體問(wèn)題為背景的現(xiàn)實(shí)情境引入在思維層次上更有深度，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象讓學(xué)生經(jīng)歷點(diǎn)和直線的位置關(guān)系與度量模型化的過(guò)程，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)研究對(duì)象的要素和內(nèi)涵，揭示解析幾何的本質(zhì)和研究套路，強(qiáng)化對(duì)研究對(duì)象的理解.

2. 建系分析，探究新知

（1）把握定義，推導(dǎo)公式.

定義：點(diǎn)[P]到直線[l]的距離是指從點(diǎn)[P]到直線[l]的垂線段[PQ]的長(zhǎng)度，其中點(diǎn)[Q]是垂足．

思路1：用兩點(diǎn)間的距離公式求點(diǎn)到直線的距離.

如圖1，對(duì)于點(diǎn)[Px0，y0]和直線l：[Ax+By+C=0]，

[O][x][y][圖1]

設(shè)[A≠ 0]，[B≠ 0]，則[kl=-AB]，[kPQ=BA].

所以[PQ：y-y0=BAx-x0]，

即[Bx-Ay=Bx0-Ay0].

聯(lián)立方程，得[Ax+By+C=0，Bx-Ay=Bx0-Ay0.]

解得[x=B2x0-ABy0-ACA2+B2，y=-ABx0+A2y0-BCA2+B2.]

即得點(diǎn)Q[B2x0-ABy0-ACA2+B2， -ABx0+A2y0-BCA2+B2]．

故[PQ=B2x0-ABy0-ACA2+B2-x02+-ABx0+A2y0-BCA2+B2-y02]

[=-ABy0-AC-A2x0A2+B22+-ABx0-BC-B2y0A2+B22]

[=A2Ax0+By0+C2+B2Ax0+By0+C2A2+B22]

[=Ax0+By0+C2A2+B2]

[=Ax0+By0+CA2+B2].

可以驗(yàn)證，當(dāng)[A=0]或[B=0]時(shí)，上式仍然成立.

（2）反思過(guò)程，優(yōu)化運(yùn)算.

問(wèn)題1：上述解法思路自然，但是運(yùn)算復(fù)雜，引起運(yùn)算復(fù)雜的原因是什么？結(jié)合圖形特征，可否優(yōu)化求解過(guò)程？

運(yùn)算優(yōu)化：如圖2，結(jié)合圖形特征，可知要求點(diǎn)P到直線l的距離，關(guān)鍵是求[PR]，[QR].

[O][x][y][圖2][R]

所以可以整體求[x-x0，] [y-y0].

聯(lián)立方程，得[Ax+By+C=0，y-y0=BAx-x0 .]

變形，得[Ax-x0+By-y0=-Ax0-By0-C，Bx-x0=Ay-y0.]

解得[x-x0=-AAx0+By0+CA2+B2，y-y0=-BAx0+By0+CA2+B2.]

進(jìn)而求得結(jié)果，以下過(guò)程略.

追問(wèn)：該解法用“設(shè)而不求”的方法整體代換求解[x-x0，] [y-y0]，體現(xiàn)了整體代換的思想，能否進(jìn)一步優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程？

運(yùn)算再優(yōu)化：整體求[x-x02+y-y02].

因?yàn)閇Ax-x0+By-y0=-Ax0-By0-C，Bx-x0=Ay-y0，]

兩式平方、相加，得[x-x02+y-y02=Ax0+By0+C2A2+B2].

進(jìn)而求得結(jié)果，以下過(guò)程略.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生參與課堂活動(dòng)，思考公式的推導(dǎo)過(guò)程，突出教學(xué)重點(diǎn). 重視計(jì)算過(guò)程，探索優(yōu)化運(yùn)算的方法，突破教學(xué)難點(diǎn).

從單元教學(xué)發(fā)展核心素養(yǎng)的整體性視角來(lái)看，兩點(diǎn)間的距離是平面解析幾何中一切距離問(wèn)題的起始點(diǎn)，如點(diǎn)到直線的距離、圓錐曲線的弦長(zhǎng)、焦半徑等公式的推導(dǎo)，其出發(fā)點(diǎn)都是兩點(diǎn)間的距離公式. 對(duì)于公式推導(dǎo)思路的理解，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由直接數(shù)學(xué)運(yùn)算到結(jié)合圖形的幾何特征進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是通過(guò)數(shù)形結(jié)合的過(guò)程優(yōu)化運(yùn)算，在具體問(wèn)題情境中感悟和習(xí)得數(shù)學(xué)基本思想，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

從單元教學(xué)發(fā)展核心素養(yǎng)的連續(xù)性視角來(lái)看，平面解析幾何是發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體. 人教A版新、舊兩版教材對(duì)公式推導(dǎo)的處理有所差異：人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》先給出了用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離的探究思路，隨后指出“上述方法思路自然，但運(yùn)算較繁”，進(jìn)而轉(zhuǎn)到用“面積法”推導(dǎo)公式；人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“新教材”）沒(méi)有回避“運(yùn)算較繁”這個(gè)問(wèn)題，而是引導(dǎo)學(xué)生參與這個(gè)問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程，重視學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考引起運(yùn)算量大的原因，啟發(fā)學(xué)生嘗試改進(jìn)運(yùn)算方法，其根本意圖是引導(dǎo)學(xué)生理解高中解析幾何的知識(shí)本質(zhì)——利用幾何圖形建立直觀，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法. 新教材的處理關(guān)注了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展具有連續(xù)性和一致性，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)貫穿整個(gè)平面解析幾何學(xué)習(xí)的全過(guò)程.

（3）借助向量，揭示本質(zhì).

問(wèn)題2：在上一章知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們?cè)孟蛄糠ㄇ罂臻g中點(diǎn)到直線的距離. 類(lèi)似地，能否用向量法求平面中點(diǎn)到直線的距離呢？

思路2：借助向量，類(lèi)比空間中求點(diǎn)到直線的距離的方法求平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離.

如圖3，設(shè)點(diǎn)[Mx，y]是直線[l]上的任意一點(diǎn)，u是直線[l]的一個(gè)單位方向向量，則[PQ=PM2-QM2=][PM2-PM ? u2]（勾股定理）.

[O][x][y][圖3][u]

設(shè)直線[l：Ax+By+C=0]，則其斜率為[k=-AB]，一個(gè)方向向量為[1，k=1，-AB].

則[u=BA2+B2， -AA2+B2].

由[PM=x-x0，y-y0]，得[PM2=x-x02+y-y02].

則[PM ? u2=Bx-x0A2+B2-Ay-y0A2+B22].

故[PM2-PM ? u2]

[=A2x-x02+B2y-y02+2ABx-x0y-y0A2+B2]

[=Ax-x0+By-y02A2+B2]

[=Ax+By-Ax0-By02A2+B2]

[=-C-Ax0-By02A2+B2]

[=Ax0+By0+C2A2+B2].

所以[PQ=Ax0+By0+C2A2+B2][=Ax0+By0+CA2+B2].

運(yùn)算優(yōu)化：巧妙引入向量[n].

由題意，可以得到[PQ=PM2-PM ? u2]

[=PM21-cos2PM ? u=PMsin2PM ? u=PMsinPM ? u .]

如圖4，結(jié)合圖形特征，設(shè)[n]是與[u]垂直的一個(gè)單位向量，

[O][x][y][圖4][u] [n]

則有[PQ][=PMcosPM ? n][=PM ? n].

因?yàn)閇n]是與[u]垂直的一個(gè)單位向量，

取[n=AA2+B2， BA2+B2]，

所以[PQ=PM ? n]

[=Ax-x0+By-y0A2+B2]

[=Ax0+By0+CA2+B2].

運(yùn)算再優(yōu)化：向量視角揭示知識(shí)本質(zhì).

問(wèn)題3：如圖5，因?yàn)辄c(diǎn)[M]是直線[l]上的任意一點(diǎn)，線段[PM]在變化，但點(diǎn)[P]到直線[l]的距離[PQ]不變，即與[PM]無(wú)關(guān)，從向量的視角思考，[PQ]與向量[PM]具有怎樣的關(guān)系？

[O][x][y][圖5][u] [n]

向量視角下對(duì)定義的再認(rèn)識(shí)：點(diǎn)[P]到直線[l]的距離[PQ]即向量[PM]在向量[n]方向上的投影向量的模.

追問(wèn)1：向量[PM]在向量[n]方向上的投影向量是什么？

答案：[PMcosPM ? ne]，其中[e]是與[n]方向相同的單位向量.

追問(wèn)2：向量[PM]在向量[n]方向上的投影向量的模怎么計(jì)算？

答案： [PMcosPM ? n e=PM ? n=Ax0+By0+CA2+B2].

【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比空間中點(diǎn)到直線的距離公式的探究過(guò)程自然引出向量法. 結(jié)合圖形的幾何特征巧妙引出向量[n]，借助向量工具重新審視點(diǎn)到直線的距離的知識(shí)本質(zhì).

課改強(qiáng)調(diào)“既要重視教，更要重視學(xué)”，意指教學(xué)要厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，關(guān)注學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，尋找學(xué)生學(xué)習(xí)思維的起點(diǎn). 單元教學(xué)需要“瞻前顧后”，建立知識(shí)間的整體聯(lián)系.

從問(wèn)題情境的視角來(lái)看，情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 此處創(chuàng)設(shè)空間中點(diǎn)到直線的距離公式這個(gè)熟悉的、關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境，提出平面中點(diǎn)到直線的距離的求法這一問(wèn)題，問(wèn)題提出自然、切合實(shí)際. 由空間類(lèi)比平面，為我們提供了解決問(wèn)題的思路和方法，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問(wèn)題的有效互動(dòng)中得到提升. 促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).

（4）數(shù)形結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化.

問(wèn)題4：除了上述兩種思路外，你還有其他推導(dǎo)思路嗎？結(jié)合圖形的幾何特征分組討論.

【設(shè)計(jì)意圖】突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、合作交流，真正落實(shí)“重視學(xué)生學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”這一新課程理念. 教師在教學(xué)中要發(fā)揮主導(dǎo)作用，重視學(xué)法指導(dǎo)，對(duì)學(xué)生探究過(guò)程中遇到的困惑要及時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生從面積、傾斜角等不同的視角認(rèn)識(shí)、轉(zhuǎn)化問(wèn)題. 學(xué)生在自主探索的過(guò)程中會(huì)有各種新發(fā)現(xiàn)，能夠促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和思維品質(zhì)的發(fā)展. 學(xué)生通過(guò)自主探索進(jìn)一步理解結(jié)合圖形的幾何特征進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算這一研究平面解析幾何知識(shí)的基本套路.

3. 例題講解，鞏固新知

例1? 求點(diǎn)[P1，2]到直線[l：3x=2]的距離.

例2? 已知[△ABC]的三個(gè)頂點(diǎn)分別是[A1，3]，[B3，1]，[C-1，0]，求[△ABC]的面積.

【設(shè)計(jì)意圖】例1引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范運(yùn)算步驟（化一般式，確定[A]，[B]，[C]，代入公式求值），意在幫助學(xué)生鞏固所學(xué)公式，明晰運(yùn)算對(duì)象，合理運(yùn)用法則，確定運(yùn)算思路，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；例2訓(xùn)練學(xué)生解決平面解析幾何問(wèn)題的基本套路（結(jié)合圖形特征進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算），學(xué)生能切實(shí)感受到無(wú)論采用哪種方法，都是建立在對(duì)幾何圖形理解的基礎(chǔ)上.

4. 構(gòu)建結(jié)構(gòu)，歸納新知

基于運(yùn)算主線單元視角，整體構(gòu)建本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，如圖6所示.

[幾何問(wèn)題][代數(shù)表征][圖形特征][坐標(biāo)系][O][x][y] [坐標(biāo)法][向量法][兩點(diǎn)間距離][整體代換][其他方法][勾股定理][投影向量][數(shù)形結(jié)合（思想方法）][數(shù)學(xué)運(yùn)算（核心素養(yǎng)）][圖6]

五、基于運(yùn)算主線的單元教學(xué)課例設(shè)計(jì)思考

課程改革倡導(dǎo)“用教材教”，其實(shí)質(zhì)是對(duì)教材進(jìn)行優(yōu)化處理，創(chuàng)造性地使用教材.“用教材教”是以尊重教材、走進(jìn)教材、吃透教材為前提，是建立在深入鉆研教材基礎(chǔ)上的“教教材”，而不是信馬由韁，無(wú)主旨地處理教材.“用教材教”需要落實(shí)新課程理念，突出單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，關(guān)注學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，圍繞教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué).

1. 突出單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，活用教材

《標(biāo)準(zhǔn)》是教學(xué)的依據(jù)，教師在教學(xué)中要落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念. 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)為主旨，突出運(yùn)算主線在平面解析幾何單元教學(xué)中的一線貫穿作用，圍繞運(yùn)算主線，自然回歸結(jié)合圖形特征進(jìn)行運(yùn)算推導(dǎo)這一知識(shí)本質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法.

站在單元教學(xué)聯(lián)系地、整體地研究問(wèn)題的高度，可以更加清晰地捋清本節(jié)課的研究思路，即按知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯順序恰當(dāng)?shù)卣辖滩膬?nèi)容. 整合的原則是削枝強(qiáng)干，突出單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，突出數(shù)學(xué)思想方法，突出運(yùn)算主線，合理呈現(xiàn)教材內(nèi)容，活用教材.

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)中思路1的運(yùn)算優(yōu)化是建立在落實(shí)新課程理念基礎(chǔ)上的單元結(jié)構(gòu)教學(xué)的實(shí)踐和嘗試. 針對(duì)教材提出的思考，教師用書(shū)給出的方法是整體求[x-x02][+y-y02]. 此處思維跨度較大，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)（這種方法是如何想到的？依據(jù)是什么？），無(wú)法“感同身受”. 這正是引導(dǎo)學(xué)生探索點(diǎn)到直線的距離知識(shí)本質(zhì)的契機(jī)，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形理解[x-x0，][y-y0]. 此處教學(xué)內(nèi)容的細(xì)化與完善，充實(shí)了學(xué)生的思維活動(dòng)過(guò)程，在思維上起到了過(guò)渡作用.

2. 關(guān)注學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，善用教材

教學(xué)是教師的教和學(xué)生的學(xué)共同作用的結(jié)果，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)需要關(guān)注學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)儲(chǔ)備，教師在教學(xué)中起主導(dǎo)作用. 囿于編寫(xiě)體例、版頁(yè)等因素，教材對(duì)知識(shí)的敘述無(wú)法做到細(xì)致入微、面面俱到. 這就需要教師在研究《標(biāo)準(zhǔn)》的基礎(chǔ)上善用教材，遵循學(xué)生認(rèn)知的客觀規(guī)律，重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知和推導(dǎo)過(guò)程，遵循知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯順序.

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)中思路2的運(yùn)算優(yōu)化是建立在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的，充分考慮到學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn). 教師應(yīng)該善于利用教材，整合教材知識(shí). 在空間向量中，學(xué)生學(xué)習(xí)了利用直線的方向向量[u]推導(dǎo)空間中點(diǎn)到直線的距離公式（勾股定理），且在平解析幾何中剛學(xué)習(xí)過(guò)直線的方向向量[1，k]，一個(gè)自然的想法是：平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離是否也可以用方向向量推導(dǎo)呢？考慮單元教學(xué)知識(shí)發(fā)展的整體性和邏輯關(guān)聯(lián)性，此處可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試推導(dǎo). 一方面，“呼應(yīng)”前面所學(xué)知識(shí)，突出解析幾何的運(yùn)算主線，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了新知識(shí)產(chǎn)生的起點(diǎn)，完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建了更加完備的知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 另一方面，此處的推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜，運(yùn)算量較大，為后面引導(dǎo)學(xué)生思考優(yōu)化運(yùn)算作好鋪墊，使得向量“投影法”的呈現(xiàn)“合乎其理”，知識(shí)發(fā)生發(fā)展的整體邏輯順序合理自然. 同時(shí)，學(xué)生會(huì)思考為什么沒(méi)有直接用直線的“法向量”[n]簡(jiǎn)化空間中點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)算推導(dǎo). 事實(shí)上，限于自身的知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)生無(wú)法求出空間直線的“法向量”[n]，只能退而求其次用直線的方向向量[u]推導(dǎo)空間中點(diǎn)到直線的距離公式. 這樣一來(lái)，學(xué)生建構(gòu)了平面、空間中點(diǎn)到直線的距離公式的統(tǒng)一關(guān)系，其本質(zhì)都是“距離”，推導(dǎo)方法一脈相承，學(xué)生跨單元完善了“距離”的知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了由“知其然”到“知其所以然”的跨越. 由此可見(jiàn)，關(guān)注學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，挖掘教材、善用教材，舉一隅而反三隅，在教學(xué)中能起到事半功倍的作用.

3. 圍繞教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，巧用教材

教學(xué)活動(dòng)是圍繞教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)的，是為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)而設(shè)計(jì)的，教學(xué)過(guò)程應(yīng)該能突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn). 基于上述要求，教師在教學(xué)過(guò)程中需要巧妙地運(yùn)用教材，引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng). 在教學(xué)目標(biāo)的指引下，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞公式推導(dǎo)這一教學(xué)重點(diǎn)，綜合運(yùn)用了多種看似無(wú)關(guān)聯(lián)的方法推導(dǎo)公式，實(shí)則這些方法又緊密統(tǒng)一于優(yōu)化運(yùn)算、認(rèn)識(shí)知識(shí)本質(zhì)這一教學(xué)難點(diǎn)突破的整體考慮之中.

學(xué)生在經(jīng)歷思路1和思路2的推導(dǎo)過(guò)程中積累了公式推導(dǎo)的基本經(jīng)驗(yàn)——結(jié)合圖形特征進(jìn)行運(yùn)算推導(dǎo)，后面筆者巧妙利用教材進(jìn)一步放手讓學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng)，分組合作交流，主動(dòng)探究、建構(gòu)知識(shí). 學(xué)生的探究活動(dòng)有章可循、張弛有度，其探究問(wèn)題的一般套路是明確的，探究方法可能不同但指向一致，無(wú)論是“面積法”還是“斜率法”或者其他方法，都是對(duì)教學(xué)重點(diǎn)的強(qiáng)調(diào)，是突破教學(xué)難點(diǎn)的延伸.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 利用幾何圖形建立直觀通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律：解析幾何內(nèi)容分析與教學(xué)思考（之一）［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（7）：7-14.

［2］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.