追求“原理一致性”的乘法分配律教學(xué)思考與實(shí)踐

楊海榮

【摘? ?要】在“運(yùn)算定律”教學(xué)中存在“學(xué)生簡算技能熟練而簡算意識淡薄”的問題。以“乘法分配律”的教學(xué)為例，通過“對過往教學(xué)的反思”和“對數(shù)學(xué)原理一致性的分析”，構(gòu)建乘法分配律“原理一致性”的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)路線，將乘法分配律置于“數(shù)與運(yùn)算”主題的大結(jié)構(gòu)中進(jìn)行整體考量、整體設(shè)計(jì)與推進(jìn)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中體驗(yàn)與感悟乘法分配律的本質(zhì)，從而達(dá)成對“數(shù)與運(yùn)算”主題原理一致性的深刻理解。

【關(guān)鍵詞】原理一致性；乘法分配律；結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標(biāo)》）注重內(nèi)容主題的結(jié)構(gòu)化整合，倡導(dǎo)在“把握學(xué)習(xí)內(nèi)容整體性”的前提下，引導(dǎo)學(xué)生理解“數(shù)學(xué)原理的一致性”，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的落地?！?022年版課標(biāo)》對“運(yùn)算能力”作了明確的內(nèi)涵界定：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。主要表現(xiàn)為：（1）能夠明晰運(yùn)算的對象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；（2）能夠理解運(yùn)算的問題，選擇合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題；（3）能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。

就學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，“數(shù)與運(yùn)算”主題的基本原理及其結(jié)構(gòu)，亦規(guī)定了算理的剛性（即原理一致性），且允許算法有彈性（即算法多樣化與合理簡潔）。算理剛性與算法彈性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)，也符合人類追求簡潔的天性。如果不能深刻地理解原理的一致性，那么算法多樣化的追求就會失去依托，靈活、合理、簡潔的運(yùn)算追求也會缺少邏輯前提。

長期以來，“數(shù)與運(yùn)算”主題的教學(xué)雖然強(qiáng)調(diào)“在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法”，但各內(nèi)容板塊間的算理解釋始終處于各自為政的孤立狀態(tài)，缺乏原理一致性的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。特別是運(yùn)算定律，教師通常將其作為獨(dú)立的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，缺少與其他運(yùn)算內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，造成普遍的“學(xué)生簡便計(jì)算的技能熟練，而主動(dòng)應(yīng)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算的意識淡薄”的現(xiàn)狀。筆者自2016年開始專注于單元整體教學(xué)的實(shí)踐與研究，試圖以“原理一致性的追求”對現(xiàn)狀作出改變。本文以“乘法分配律”的教學(xué)為例，簡要介紹相關(guān)思考與做法。

一、對過往教學(xué)的反思

伴隨課程改革的進(jìn)程，乘法分配律的教學(xué)也經(jīng)歷了不斷變化與發(fā)展的過程。該過程基本呈現(xiàn)了兩種主要的教學(xué)事實(shí)：一是指向知識與技能的落實(shí)；二是側(cè)重于概念的理解。具體流程大致如下。

教學(xué)事實(shí)一：指向知識與技能的落實(shí)

1.初步感知：通過計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

教師呈現(xiàn)算式：5×（4+3）、5×4+5×3。

發(fā)現(xiàn)：兩式結(jié)果相等，可用等號連接。5×（4+3）=5×4+5×3。

文字表述：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加。

2.舉例并驗(yàn)證：學(xué)生舉例后，發(fā)現(xiàn)同類例子有無數(shù)個(gè)。

3.歸納模型：請學(xué)生用一個(gè)式子表示所有例子。

字母表達(dá)式：（a+b）c=a×c+b×c

4.結(jié)論：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加。這叫作乘法分配律。

5.練習(xí)：匹配相應(yīng)的技能訓(xùn)練。

教學(xué)事實(shí)二：側(cè)重于概念的理解

1.解決問題：要求用不同的方法解決。

教師出示情境，如購物：鉛筆每支5元，小明買4支，小紅買3支。兩人一共花了多少元？

學(xué)生給出2種方法：

方法1：5×（4+3）=5×7=35（元）。方法2：5×4+5×3=20+15=35（元）。

發(fā)現(xiàn)：結(jié)果相等，可用等號連接。5×（4+3）=5×4+5×3。

文字表述：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相加。

2.理解內(nèi)涵：為什么結(jié)果相等？

結(jié)合情境解釋：可以先算鉛筆支數(shù)，再算錢數(shù)；也可以先分別算小明和小紅的錢數(shù)，再相加。算的都是7支鉛筆的錢數(shù)，所以結(jié)果相等。

用乘法意義解釋：5×（4+3）表示7個(gè)5是多少；5×4+5×3表示4個(gè)5加3個(gè)5，也是7個(gè)5。意義相同，所以結(jié)果相等。

結(jié)合圖式輔助理解。

3.結(jié)論：因?yàn)橐饬x相同，所以結(jié)果相等。

4.練習(xí)與應(yīng)用：匹配相應(yīng)的技能訓(xùn)練和解決簡單實(shí)際問題。

顯然，兩者相比較，“教學(xué)事實(shí)二”中的教學(xué)更符合乘法分配律的本質(zhì)，但因區(qū)域和教師個(gè)人差異等事實(shí)，這兩種方式目前還普遍并存于課堂教學(xué)之中。

針對這種教學(xué)事實(shí)，筆者對采用“教學(xué)事實(shí)二”進(jìn)行教學(xué)的班級，在學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)月后進(jìn)行后測。基本情況如下。

后測試題：請計(jì)算下列各題。

36×34＋36×66? ?（4＋8）×25

學(xué)生解答典型作品：如36×34＋36×66=1224＋2376=3600；（4＋8）×25=12×25=300。

全班43人，僅1人主動(dòng)運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算，占比2.3%。

教師訪談：“此題你會用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算嗎？”

生：用是會用的，只是、只是……（支吾不作答）

教師追問：既然會用，那為什么不用呢？

生：沒想到。

生：題目中沒有要求。

生：老師也沒有要求。

生：如果有要求，我肯定就用了。

從對學(xué)生的后測與分析中得出，即使是使用“教學(xué)事實(shí)二”的教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果也并不理想。主要表現(xiàn)為：學(xué)生簡便運(yùn)算的技能并不生疏，但主動(dòng)應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算的意識淡薄。有相當(dāng)部分的學(xué)生運(yùn)算結(jié)果正確，但沒有運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行合理靈活的運(yùn)算。對他們的訪談更能說明問題。

學(xué)生的問題來源于教學(xué)失當(dāng)?！笆聦?shí)一”的教學(xué)忽視了概念內(nèi)涵的理解，將乘法分配律的學(xué)習(xí)視為“公式記憶”及“技能操練”；“事實(shí)二”雖然重視概念本質(zhì)的理解，但缺少與其相關(guān)聯(lián)的上位概念的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，以致學(xué)習(xí)陷于孤立狀態(tài)。

這表明教師對乘法分配律的認(rèn)識及教學(xué)呈現(xiàn)表層化、碎片化的特點(diǎn)。具體原因有三方面。

第一，就知識屬性而言，教師將乘法分配律理解為“規(guī)則”，而非“法則”。規(guī)則屬于人為的規(guī)定，具有主觀性。法則屬于自然規(guī)律，具有客觀性，必須明理。很明顯，乘法分配律是“法則”，如若將其視作規(guī)則，則教學(xué)實(shí)施必然以記憶與操練為主導(dǎo)。

第二，就學(xué)習(xí)方式而言，教師將乘法分配律定位為“上位學(xué)習(xí)”，而非“下位學(xué)習(xí)”。上位學(xué)習(xí)是指在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)形成幾個(gè)觀念的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)一個(gè)更概括的、包攝性更高的命題時(shí)所發(fā)生的學(xué)習(xí)。下位學(xué)習(xí)是指當(dāng)原有的觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的命題（即新舊知識構(gòu)成類屬關(guān)系）時(shí)所發(fā)生的學(xué)習(xí)。因此，應(yīng)將乘法分配律定位成“下位學(xué)習(xí)”，若反之，就可能將乘法分配律作為獨(dú)立的內(nèi)容展開教學(xué)，割斷其與原有知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系。

第三，就教學(xué)目標(biāo)定位而言，教師缺少整體把握。課時(shí)目標(biāo)的定位必須置于目標(biāo)結(jié)構(gòu)（課程目標(biāo)—主題目標(biāo)—單元目標(biāo)—課時(shí)目標(biāo)）中整體考量，才能確保乘法分配律在“數(shù)與運(yùn)算”主題中的地位，明確其承擔(dān)的義務(wù)和責(zé)任，進(jìn)而明晰其教學(xué)價(jià)值。

綜上所述，教師的這些認(rèn)知偏差，必然造成對課時(shí)目標(biāo)定位的模糊不清，進(jìn)而導(dǎo)致教學(xué)實(shí)施的失利。

二、對數(shù)學(xué)原理一致性的分析

教師對教學(xué)的追求往往“求于術(shù)而止于道”，表現(xiàn)為教學(xué)中忽視課程目標(biāo)的長期滲透與落實(shí)，對學(xué)科的教育、教學(xué)的價(jià)值缺少最一般的理解和更上位的追求，對學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)缺少整體的把握。顯然，乘法分配律學(xué)習(xí)的首要目標(biāo)是理解定律內(nèi)涵、靈活選擇合理的算法，掌握運(yùn)算技能次之。乘法分配律教學(xué)要依托學(xué)科知識結(jié)構(gòu)，整體建構(gòu)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感悟內(nèi)容的整體關(guān)聯(lián)和方法的持續(xù)遷移，理解運(yùn)算原理一致性。

為體現(xiàn)“數(shù)學(xué)原理一致性”，教師需要在大尺度結(jié)構(gòu)中整體考量，從不同教學(xué)內(nèi)容中提煉核心概念、核心問題，確立教學(xué)目標(biāo)（如表1）。

“核心概念”統(tǒng)攝主題內(nèi)容，體現(xiàn)運(yùn)算原理的一致性，即算法剛性。教師要引導(dǎo)學(xué)生明白所有內(nèi)容的算理是一致的，即本質(zhì)相同。“核心問題”驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)方式遷移，體現(xiàn)運(yùn)算意義與價(jià)值。教師要引導(dǎo)學(xué)生明白運(yùn)算背景變化后，算法需要作出相應(yīng)改變，算法是一個(gè)不斷優(yōu)化計(jì)數(shù)方法的過程。在大尺度結(jié)構(gòu)中整體定位目標(biāo)，形成目標(biāo)進(jìn)階序列。在把握“內(nèi)容整體性”的基礎(chǔ)上，理解“原理一致性”，構(gòu)建起學(xué)科基本原理間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生良好思維結(jié)構(gòu)的形成。

由表1的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)路線分析可見：“一位數(shù)的意義”是原理起點(diǎn)；“加法運(yùn)算意義”是“數(shù)的意義”和“數(shù)的運(yùn)算”原理一致性的連接點(diǎn)；“運(yùn)算定律”是運(yùn)算的特殊狀態(tài)，是原理的階段性終點(diǎn)?！斑\(yùn)算定律”中“乘法分配律”的學(xué)習(xí)必定基于源頭“數(shù)的意義”及整體結(jié)構(gòu)的理解與把握。

三、教學(xué)對策討論

（一）基本教學(xué)思路

根據(jù)乘法分配律在大結(jié)構(gòu)中的地位與價(jià)值，在整體結(jié)構(gòu)中準(zhǔn)確定位其目標(biāo)后，可確立教學(xué)的基本思路：引導(dǎo)學(xué)生在整體結(jié)構(gòu)中體驗(yàn)乘法分配律，建立概念間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)（如圖1）。

（二）教學(xué)需要思考的基本問題

1.乘法分配律是什么？

所謂“運(yùn)算順序”是一種混合運(yùn)算的法則，可分為兩個(gè)維度：一般法則與特殊法則。一般法則即同級運(yùn)算與兩級運(yùn)算的順序。特殊法則即運(yùn)算定律。乘法分配律的表象是改變了一般法則（四則混合運(yùn)算的順序），但本質(zhì)與運(yùn)算的意義、數(shù)的意義相同。教學(xué)的關(guān)鍵在于構(gòu)建與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，搭建特殊法則與一般法則間的通道。

2.為什么可以改變運(yùn)算順序？

改變運(yùn)算順序的前提是保證運(yùn)算意義不變。教師需要讓學(xué)生認(rèn)識到：意義不變，則結(jié)果必然相等；意義變化，則結(jié)果必然不等。

3.乘法分配律有什么用？

運(yùn)用乘法分配律一定能讓運(yùn)算簡便嗎？在具體的運(yùn)算背景（運(yùn)算數(shù)據(jù)）下，討論三種狀態(tài)：用與不用無所謂、用了能簡便、用了反而麻煩。教師引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分乘法分配律的運(yùn)用背景，體驗(yàn)并辯證認(rèn)知乘法分配律的價(jià)值，養(yǎng)成主動(dòng)運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行合理運(yùn)算的習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

（三）整體教學(xué)推進(jìn)過程

教師要整體設(shè)計(jì)系列體驗(yàn)活動(dòng)。具體課時(shí)的劃分，視學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)與達(dá)成情況而定。

【教學(xué)活動(dòng)1】再現(xiàn)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，給出一般法則。

1.給出結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)材料。

①25×3+25×17? ②25×3+22×17

③25×4+25×10? ④25×（20+2）? ⑤25×（3+7）

2.請學(xué)生口述運(yùn)算的順序，教師直接呈現(xiàn)運(yùn)算過程。

3.小結(jié)：根據(jù)一般法則，兩級運(yùn)算中，①②③先算乘法，④⑤先算括號內(nèi)的。

【教學(xué)活動(dòng)2】理解乘法分配律的內(nèi)涵，建立一般法則與特殊法則間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。

1.設(shè)置挑戰(zhàn)性大任務(wù)。能否在保證運(yùn)算結(jié)果不變的前提下，改變上述①②③④⑤各題的運(yùn)算順序？并說明理由。

2.學(xué)生自主嘗試計(jì)算。發(fā)現(xiàn)：①③④⑤改變運(yùn)算順序后，結(jié)果不變，②無法實(shí)現(xiàn)。整體呈現(xiàn)運(yùn)算過程如下：

3.思辨明理。以④25×（20+2）為例，交流學(xué)生作品（如圖2）。

學(xué)生作品表征形式不同，但本質(zhì)相同，即都用乘法的意義解釋了特殊法則與一般法則的本質(zhì)關(guān)聯(lián)。先乘再加：20個(gè)25與2個(gè)25的和是22個(gè)25；先加再乘：（20+2）個(gè)25，也就是22個(gè)25。意義相同，改變運(yùn)算順序后結(jié)果一定相同。

4.第①③⑤題同上。同桌之間說明理由。

5.揭示概念。給出乘法分配律的名稱、文字描述及字母表達(dá)式。引導(dǎo)學(xué)生理解兩種不同的運(yùn)算順序，只要保證運(yùn)算意義相同，結(jié)果必然相等。

【教學(xué)活動(dòng)3】區(qū)分運(yùn)算對象（數(shù)據(jù)背景），體驗(yàn)乘法分配律的適用性與價(jià)值

1.對比反思，感受適用性。

師：為什么②25×3+22×17不能改變運(yùn)算順序？

生：這里一個(gè)是25×3，一個(gè)是22×17，沒有共同的因數(shù)。

生：一個(gè)是3個(gè)25，一個(gè)是17個(gè)22，不能像前面一樣加起來。

生：肯定要有一個(gè)相同的因數(shù)。

學(xué)生感受到，乘法分配律并不能適用于所有的運(yùn)算背景，只有在特定的數(shù)據(jù)場景下才能運(yùn)用，即有相同的因數(shù)，才符合乘法意義。

2.對比反思，體驗(yàn)價(jià)值。

教師提問：“既然用一般規(guī)則即能計(jì)算出結(jié)果，為什么還要學(xué)乘法分配律？”

學(xué)生對比后認(rèn)為，應(yīng)用乘法分配律可使計(jì)算更加簡單。如25×3+25×17，先算加法，可使3和17湊整。25×（20+2）先算乘法，25×20=500，25×2=50，可2次分別湊整。

教師進(jìn)一步追問：“運(yùn)用乘法分配律一定能使計(jì)算簡便嗎？”

學(xué)生對比后認(rèn)為，不一定。如25×4+25×10、25×（3+7）按一般法則計(jì)算更簡便。

3.歸納提煉，養(yǎng)成意識。

教師提問：“你覺得乘法分配律的使用，需要滿足什么條件？”

學(xué)生達(dá)成共識：先觀察數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，判斷是否符合乘法意義，看能否運(yùn)用分配律；再根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，看是否能使計(jì)算簡便；最后決定采用怎樣的運(yùn)算策略，逐步養(yǎng)成簡便運(yùn)算的意識（如圖3）。

【教學(xué)活動(dòng)4】建構(gòu)與解構(gòu)，熟練簡便運(yùn)算技能。

學(xué)生通過對運(yùn)算對象的自主變換，進(jìn)一步深入理解乘法分配律的內(nèi)涵，厘清外延；把握概念的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，在整體認(rèn)知中逐步養(yǎng)成簡便運(yùn)算的意識，并形成相關(guān)技能。

教師可設(shè)計(jì)如下建構(gòu)與解構(gòu)的系列活動(dòng)。

（1）建構(gòu)1：創(chuàng)造1道應(yīng)用乘法分配律后能簡便計(jì)算的題目。

（2）建構(gòu)2：創(chuàng)造1道應(yīng)用乘法分配律后“看似能簡便計(jì)算，實(shí)際不能”的題目。

（3）解構(gòu)1：將不能簡便計(jì)算的題目，改為能簡便的。

（4）解構(gòu)2：將能簡便計(jì)算的題目，改為不能簡便的。

【教學(xué)活動(dòng)5】結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，把握內(nèi)容的整體性，理解數(shù)學(xué)原理一致性。

學(xué)生回顧已學(xué)知識，進(jìn)行縱向關(guān)聯(lián)，整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容（如圖4）。

通過對比，學(xué)生明白了乘法分配律的內(nèi)涵。事實(shí)上，前面學(xué)習(xí)中已經(jīng)大量應(yīng)用了乘法分配律，只是沒有給出名稱而已，其原理是一致的。

運(yùn)算能力的提升是一個(gè)長期累積的過程，不是一蹴而就的。特別是合理、靈活的運(yùn)算意識，需要學(xué)生不斷的體驗(yàn)與感悟，由內(nèi)部生發(fā)而成，不能依賴外部強(qiáng)制輸入。利用原理一致性，結(jié)構(gòu)化的遞進(jìn)體驗(yàn)，是一種比較有效的解決策略。這種原理一致性由此及彼，可推及其他運(yùn)算內(nèi)容的教學(xué)。