數(shù)感的表現(xiàn)標準、單元核心任務與評分量規(guī)

閆云梅　沈艷春　牛佳

【摘? ?要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》確立了核心素養(yǎng)導向的課程目標。以“數(shù)感”為例，依據(jù)課標要求和教材中承載數(shù)感培養(yǎng)的典型材料，分析了體現(xiàn)數(shù)感進階的重要維度，提出了數(shù)感的表現(xiàn)標準。依據(jù)數(shù)感表現(xiàn)標準，整體設計“萬以內(nèi)數(shù)的認識”單元核心任務序列和評分量規(guī)，實現(xiàn)評—學—教一體化，使核心素養(yǎng)“落地”。

【關鍵詞】數(shù)感；表現(xiàn)標準；單元核心任務；評分量規(guī)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）確立了核心素養(yǎng)導向的課程目標。無論是內(nèi)容要求、學業(yè)要求，還是學業(yè)質量標準，都在提出的知識目標后面加上一句“形成初步的符號意識、數(shù)感、推理意識、模型意識……”這樣的表述表明，核心素養(yǎng)不是孤立存在的，而是以學習內(nèi)容為載體，不同的學習內(nèi)容承載著不同素養(yǎng)的培養(yǎng)任務。

那么，是不是在達成知識目標的同時，核心素養(yǎng)就自然而然地培養(yǎng)起來了？學生能夠完成哪些任務或解決哪些問題就表明他們已經(jīng)具備了相應的核心素養(yǎng)？如何評價學生核心素養(yǎng)達到什么層級？設計哪些活動能更好地發(fā)展學生的核心素養(yǎng)？要回答這些問題，首先需要明確核心素養(yǎng)的表現(xiàn)標準。由于核心素養(yǎng)的表現(xiàn)標準并沒有在《2022年版課標》中明確寫出來，筆者以數(shù)感為例，嘗試進行數(shù)感表現(xiàn)標準的研制，并依據(jù)表現(xiàn)標準對“萬以內(nèi)數(shù)的認識”單元核心任務與評分量規(guī)進行設計，力求通過評—學—教一體化的單元學習設計，使核心素養(yǎng)落實在每個單元的學習中。

一、對照課標與教材，分析進階維度，研制數(shù)感表現(xiàn)標準

研制數(shù)感的表現(xiàn)標準，首先要明確數(shù)感的內(nèi)涵及具體行為表現(xiàn)?！?022年版課標》指出：“數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系及運算結果的直觀感悟?！边@里將數(shù)感定義為直觀感悟。如果僅僅是直觀感悟，數(shù)感是否可培養(yǎng)、可評價？于是，《2022年版課標》從以下三個方面，給出了數(shù)感的具體行為表現(xiàn)。

（1）能夠在真實的情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序。

（2）能在簡單的真實情境中進行合理估算，作出合理判斷。

（3）能初步體會并表達事物蘊含的簡單數(shù)量規(guī)律。

盡管這樣的表述比抽象的數(shù)感定義更為具體，但還有兩方面問題需要討論：一是“理解數(shù)的意義”是數(shù)感嗎？與其相應的數(shù)感的行為表現(xiàn)是什么？二是《2022年版課標》在不同的學段，對學生數(shù)感行為表現(xiàn)的要求有什么不同？

“理解數(shù)的意義”包括理解數(shù)的數(shù)學意義，即“數(shù)的本質結構就是計數(shù)單位與其個數(shù)乘積的累加”［1］；還包括理解數(shù)的現(xiàn)實意義，即對數(shù)量多少的直觀感悟，也就是數(shù)感。因此，用“能夠在真實情境中感知并估計（或直接說出）數(shù)量的多少及進行數(shù)量的比較”作為數(shù)感的行為表現(xiàn)會更清楚、更具體。

《2022年版課標》在學段目標、內(nèi)容要求和學業(yè)要求中，對不同學段學生數(shù)感的發(fā)展提出了不同的要求。第一學段的要求是“形成初步的數(shù)感”，第二學段的要求是“形成數(shù)感”，在第三學段的要求是“進一步發(fā)展數(shù)感”?！俺醪降臄?shù)感”和“數(shù)感”究竟有哪些具體行為表現(xiàn)？這就需要系統(tǒng)梳理教材（可以是多版本教材），找出教材中能夠承載數(shù)感培養(yǎng)的具體材料（例題、習題等），根據(jù)經(jīng)驗，按照不同的行為表現(xiàn)、不同的層級找出一些典型材料，通過自上而下和自下而上相結合的方式，結合實例來分析數(shù)感進階的重要維度和表現(xiàn)標準。因為低、中年級是形成數(shù)感的關鍵期，所以這里只研究整數(shù)學習中數(shù)感的表現(xiàn)標準。

下面是人教版教材中幾個承載數(shù)感培養(yǎng)的典型素材，如圖1～圖5。

圖1中的點子個數(shù)看一下就可以直接說出來，圖2就要數(shù)一數(shù)、估一估，圖5則更復雜。顯而易見，體現(xiàn)數(shù)感進階的一個重要維度就是研究對象的數(shù)域，數(shù)的大小不同，使用的計數(shù)單位也不同。20以內(nèi)數(shù)的學習，大多是以“一”為單位，感知更容易；而1億有多大，需要以萬、十萬、百萬等為單位進行估數(shù)和估算。因此，用計數(shù)單位作為數(shù)感表現(xiàn)標準的重要維度，可劃分為以下四個不同的層級：“一”是一級，“十”為二級，“百、千”為三級，“萬、十萬、百萬、千萬、億、十億等”為四級。

數(shù)感的具體行為表現(xiàn)中兩次提到“真實的情境”，因為“學生核心素養(yǎng)的表現(xiàn)程度需要通過在真實情境中運用所學的知識并能完成某種任務來衡量”［2］?；粲昙选⒐?、楊新榮認為：“數(shù)感是由數(shù)、運算、估計和情境所組成的一個四面體形狀的結構模型，數(shù)感的大小由四面體體積的大小所決定?！保?］四面體數(shù)感結構模型（如圖6）形象地表達了情境對發(fā)展數(shù)感的重要作用。受此啟發(fā)，筆者對這個四面體結構圖進行改造（如圖7），以便更清楚地表明情境與數(shù)感行為表現(xiàn)的關系。

蔡金法教授指出，根據(jù)問題情境是否包含現(xiàn)實生活背景，可以將其劃分為現(xiàn)實情境和數(shù)學情境，其中現(xiàn)實情境是指生活中的數(shù)學現(xiàn)象，而數(shù)學情境則豐富地涵蓋了數(shù)學的表達式、圖表、模式等方方面面。無論是數(shù)學情境，還是現(xiàn)實情境，只要不超出學生的理解，都是真實情境。［4］PISA 2022測試依然延續(xù)情境的四種類型——個人情境、職業(yè)情境、社會情境、科學情境。［5］按照距離學生生活的遠近，可將情境分為四個層次：首先是最貼近學生的個人情境（如圖2），其次是學生即將面對的職業(yè)情境（如圖3），然后是學生日常生活中遇到的社會情境，最后是距離學生最遠的科學情境（如圖5）。如此看來，“情境的復雜度”也是劃定數(shù)感表現(xiàn)標準的重要維度。

對比圖1到圖5這五個素材，之所以有難、易的感覺，主要在于問題的呈現(xiàn)方式是不同的，有直觀呈現(xiàn)的，有半直觀半抽象的，還有抽象的。同時，學生的“認知抽象度或思維卷入度”也不同。圖1以直觀圖的形式呈現(xiàn)，學生通過觀察就能直接感知有6個點。圖2則需要通過觀察、數(shù)數(shù)或簡單推理得出結果。圖3還涉及估算策略的選擇、數(shù)量關系的分析及判斷。圖5需要學生將抽象的科學情境轉化成熟悉的個人情境，將一個大數(shù)通過單位換算轉換成容易感知的數(shù)量。因此，用“思維的卷入度”作為數(shù)感表現(xiàn)標準的重要維度，可劃分為以下四個不同的層級：“觀察、直觀感知”是一級，“數(shù)數(shù)、計算、簡單應用”為二級，“分析、比較、推理、判斷”為三級，“抽象、綜合、評價”為四級。

綜上所述，體現(xiàn)數(shù)感的進階維度主要有四個，分別是：計數(shù)單位、真實的情境、問題呈現(xiàn)方式和思維的卷入度。圍繞這四個進階維度，從整體對學生整數(shù)學習過程中的數(shù)感表現(xiàn)標準進行劃分，具體如表1。

有了數(shù)感的表現(xiàn)標準，可以知道第一學段“初步的數(shù)感”對應的是層級1到層級3的行為表現(xiàn)，第二學段“形成數(shù)感”對應的是層級4的行為表現(xiàn)。

二、依據(jù)數(shù)感表現(xiàn)標準，設計素養(yǎng)導向的單元核心任務序列

單元教學是實現(xiàn)學科核心素養(yǎng)目標的必由之路。［6］實施單元教學首先要明確單元學習的預期結果。以人教版教材二年級下冊“萬以內(nèi)數(shù)的認識”單元為例，對教材中承載數(shù)感培養(yǎng)任務的例題和習題進行梳理，具體情況如表2。

通過整理發(fā)現(xiàn)，對照整數(shù)學習過程中“數(shù)感”的表現(xiàn)標準，學生在完成本單元學習后，數(shù)感的發(fā)展應達到層級3。由此，本單元學習目標制訂如下。

（1）借助直觀模型，認識計數(shù)單位千、萬，對單位之間的關系有系統(tǒng)的認識。

（2）能運用計數(shù)單位進行數(shù)數(shù)、數(shù)的分解和組成（含算盤）、數(shù)的讀寫、數(shù)的大小比較等。

（3）理解相同計數(shù)單位的數(shù)可以直接相加減，能對整百、整千數(shù)的加減進行口算。

（4）在現(xiàn)實情境中感受大數(shù)的意義，能用“百”或“千”作單位，感知并估計萬以內(nèi)的數(shù)量，能用“多得多”“有幾個這么多”等描述數(shù)量間的關系。

（5）在簡單的個人情境中認識近似數(shù)，能用“十”“百”為單位，運用加、減法估算解決問題，作出合理的判斷。

（6）初步體會并表達萬以內(nèi)數(shù)的等差數(shù)列的規(guī)律。

在上述單元學習目標中，前三條指向的是知識目標，后三條指向的是數(shù)感目標，只有這樣才能將素養(yǎng)導向的課程目標落實在每個單元的學習中。

依據(jù)單元學習目標，采用逆向設計的方式，對本單元核心任務序列及數(shù)感培養(yǎng)點進行設計，具體情況如表3。

另外，在本單元的學習中，結合整百、整千數(shù)加減法的學習，以及運算能力和推理意識的培養(yǎng)，同樣可以制定出相應的表現(xiàn)標準，這里不再贅述。

三、依據(jù)核心任務設計評分量規(guī)，組織與調(diào)控課堂教學

要保證核心任務的有效實施，教師在設計任務時要做到以下幾點。

（1）基于真實的情境。

（2）任務的解決蘊含了知識的學習與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（3）任務表述要清晰，具有一定開放度，讓每個學生都能完成，只是方法或水平不同。

（4）在任務中要嵌入評價時的“要求”，使學生能依據(jù)“要求”進行自評和互評。

有了好的學習任務，還需要針對每個核心任務設計相應的評分量規(guī)，用以判斷學生在完成任務時所達到的水平，并通過不同水平作品的展示及交流，組織與調(diào)控課堂教學。

以任務7為例，為了降低計算難度的影響，教師將原教材中的兩個數(shù)據(jù)“358元”和“218元”調(diào)整為“324元”和“212元”。同時，為了促進學生數(shù)感的發(fā)展，突出“對計數(shù)單位進行合理選擇”“作出合理判斷”的行為表現(xiàn)，教師將“用簡便的方法”“說清自己的想法”兩項要求嵌入任務中，這既是學生完成任務時努力的方向，也是他們自評與互評時的依據(jù)。

通過對學生的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，由于學生第一次遇到用估算解決的問題，很多學生還沒有估算的意識和方法。在完成任務時，不少學生都想到用“324+212”，但他們此時還沒有正式學習三位數(shù)加法，有的學生不會計算或算錯，也有的學生能根據(jù)自己的經(jīng)驗得出正確的結果。雖然這兩類學生的運算能力不同，但從數(shù)感的表現(xiàn)看，他們都不能根據(jù)情境對給出的數(shù)據(jù)進行處理，沒有估算意識，因此都屬于水平1的情況。同理，用“320＋210”解決問題的都屬于水平2的情況。由此，形成該任務的評分量規(guī)，如表4。

有了評分量規(guī)，教師在教學中可以及時對學生的作答情況進行水平劃分，并收集不同水平的典型作品。在學生獨立探究的基礎上，教師組織學生進行交流，并按照從低水平到高水平的順序，逐級反饋學生的作品。通過不同水平作品的展示與交流，學生“內(nèi)隱”的思維開始“外顯”，對水平1到水平4的作答情況也有了直觀的認識（如圖8～圖11）。

在此基礎上，組織學生用“☆”“☆☆”“☆☆☆”“☆☆☆☆”對不同的作品進行評價并說明理由。學生可圍繞“能否正確解決問題”“方法是否簡便”和“能否說清想法”展開討論和評價。在這樣的過程中，學生成為評價的主體，通過基于證據(jù)的表現(xiàn)性評價，自我監(jiān)控學習的過程和結果。由于對高水平作品有了清晰的認識，學生可以及時調(diào)整自己的估算方法，學習如何作出合理的判斷，從而達到發(fā)展數(shù)感的目的。

經(jīng)過對任務7的交流、反饋與評價，再解決下面的練習題，學生的表現(xiàn)有了明顯的變化，如表5。

練習題：學校組織一、二年級學生去看電影。一年級有426人，二年級有311人。影院有700個座位，你覺得這些座位夠坐嗎？請你用簡潔的方式說明理由。

通過兩次數(shù)據(jù)的對比看出，學生在完成練習題時，達到水平3和水平4的人數(shù)有了明顯增加。運用評分量規(guī)組織學生進行自評和互評，有效提高了學生自我總結、反思、改進的意識和能力，達到了以評助學、以評促教的目的。

總之，依據(jù)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)標準，采用評—學—教一體化的單元整體學習設計，可以將抽象的核心素養(yǎng)與具體的學習內(nèi)容建立關聯(lián)，讓素養(yǎng)可視化、可操作、可評價，真正落實核心素養(yǎng)導向的課程目標。

參考文獻：

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［6］盧明，崔允漷.學科核心素養(yǎng)呼喚單元教學［J］.課程教材教學研究（教育研究），2020（5）：58.

*本文系北京市教育學會“十四五”教育科研2022年度課題“小學數(shù)學‘評—學—教一體化單元整體設計與實踐研究”（課題編號：SJS2022-004）的階段成果。