走向“一般”意義上的代數(shù)

張偉明　鐘立

【摘? ?要】小學(xué)階段，“字母表示數(shù)”是促進(jìn)學(xué)生符號意識發(fā)展的重要教學(xué)內(nèi)容之一?；谇皽y確定教學(xué)目標(biāo)后，圍繞“隨機(jī)‘紅包，感知字母可以表示可變數(shù)；比較‘思辨，體會含有字母的式子可以表示數(shù)量關(guān)系；內(nèi)化‘結(jié)構(gòu)，豐富字母表示數(shù)的代數(shù)意義；回顧‘過程，順應(yīng)字母表示數(shù)的歷史發(fā)展”展開“字母表示數(shù)”的教學(xué)實(shí)踐。通過教學(xué)，學(xué)生的理解逐步從“特殊”走向了“一般”。

【關(guān)鍵詞】前測；字母表示數(shù)；符號意識；代數(shù)思維

一、問題緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）加強(qiáng)了對“字母表示數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的要求，其明確指出：“在具體情境中，探索用字母表示事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性?！痹谛W(xué)階段，“字母表示數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容，是幫助學(xué)生體會如何運(yùn)用符號表示數(shù)量關(guān)系和一般規(guī)律，理解運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性的重要渠道，對學(xué)生提升抽象概括能力、發(fā)展數(shù)學(xué)符號意識和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力有著重要的意義。

在現(xiàn)行人教版教材中，“字母表示數(shù)”的起始例題先用對話的形式呈現(xiàn)“爸爸的年齡比小紅大30歲”，再用表格整理出小紅不同年齡時爸爸的對應(yīng)年齡，并用算式進(jìn)行表征，接著提出問題“怎樣才能用一個式子表示出任何一年爸爸的歲數(shù)”，借此引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生有尋求、探討、交流的欲望，并在交流中形成對用字母表示數(shù)的共識。教材的編排，呈現(xiàn)了一條可以讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般再回到特殊的學(xué)習(xí)路徑。從“一個式子表示一個年齡”到“一個式子表示任何年齡”的突破，是學(xué)生認(rèn)知上的一次飛躍，也是本內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)。

學(xué)生對字母或含有字母的式子可以表示數(shù)的理解究竟有多深？字母與含有字母的式子的表征應(yīng)如何建立？怎樣引導(dǎo)學(xué)生理解用字母表示數(shù)具有一般意義？筆者帶著這些問題，設(shè)計(jì)了問卷，于2022年5月對X校五年級45名學(xué)生進(jìn)行了前測，并基于前測確定教學(xué)目標(biāo)，展開教學(xué)實(shí)踐。

二、前測及結(jié)果分析

前測的主要目的是了解學(xué)生對字母表示數(shù)的理解情況，了解學(xué)生對用字母或含有字母的式子進(jìn)行表征的水平。

（一）學(xué)生對字母表示數(shù)的理解程度

通過測試題①“△+△+△+△=16，△表示的是? ?；我的想法是? ?”，對學(xué)生是否能解決用字母表示特定數(shù)的問題，以及用怎樣的思路解決問題進(jìn)行檢測。具體解題情況如表1所示。

測試表明，解題時學(xué)生的想法大致有兩種：一種是用除法計(jì)算，思維過程主要是4個△是16，1個△就是16÷4=4；另一種是用乘法計(jì)算，思維過程主要是4個4相乘的結(jié)果為16，所以△代表的數(shù)是4。有90%的學(xué)生能正確表達(dá)出本題代表的數(shù)量關(guān)系是4個△之和為16，這說明學(xué)生能夠理解用字母表示特定數(shù)的意義。

通過測試題②“2、4、6、□、10、12…… □表示的是? ? ? ? ? ?”、測試題③“2、4、6、8、10、12……□，□表示的是? ? ? ? ? ”，對學(xué)生是否能夠用字母表示一類數(shù)進(jìn)行檢測。其中學(xué)生解決測試題②的正確率為100%，解決測試題③的情況如表2所示。

從表2可以看到，只有6.67%的學(xué)生能夠正確地用字母表示出這一組數(shù)的特征。以14、20、26等具體數(shù)來描述數(shù)據(jù)特征的占77.78%。有15.56%的學(xué)生采用了ɑ、12+ɑ、x等表征方式，這部分學(xué)生已經(jīng)具備了偶數(shù)的概念，也試圖在符號和偶數(shù)之間建立關(guān)聯(lián)，但在具體的表征方式上遇到了困難。訪談中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生知道測試題③中“□”表示的意思是偶數(shù)，但學(xué)生無法用字母進(jìn)行表征，很多不能正確表征的學(xué)生給出的理由是“我不知道，感覺應(yīng)該是這樣的”。

（二）學(xué)生用字母或含有字母的式子進(jìn)行表征的水平分析

通過測試題④“鄭老師的年齡比張老師大20歲，你能簡明地表示出鄭老師有幾歲嗎？我的表示方法? ? ，我的想法是? ? ”，對學(xué)生用字母或含有字母的式子進(jìn)行表征的水平進(jìn)行分析。學(xué)生的表征水平劃分為水平0到水平5共6個層次，具體情況如表3所示。

從表3可以看到，有53.33%的學(xué)生能用文字表征、圖形符號表征、字母等式表征、字母式表征等刻畫鄭老師的年齡。其中，48.89%的學(xué)生用含有符號的等式（如ɑ+20=鄭老師年齡）表征鄭老師的年齡，僅約4.44%的學(xué)生直接用含有字母的式子（如ɑ+20）表征鄭老師的年齡。結(jié)合訪談發(fā)現(xiàn)，這兩類表征的差別在于，他們都知道可以用符號來表示數(shù)，也知道可以借助符號進(jìn)行運(yùn)算，但前者不理解代數(shù)式也能表示數(shù)。也就是說，對學(xué)生群體來講，理解同一個式子中同一符號可以表示相同的數(shù)，以及用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系是有難度，但比較而言，理解含有符號的式子可以表示結(jié)果的難度更大。

綜上所述，學(xué)生在前測中體現(xiàn)出的符號表征能力差異性比較大。前期用字母表示“固定數(shù)”（如撲克牌中A、J、Q、K分別表示1、11、12、13）的生活經(jīng)驗(yàn)，對學(xué)生真正提升用字母表示數(shù)的意識作用有限。學(xué)生對用字母表達(dá)一般性的關(guān)系的理解有所欠缺。因此確定“引導(dǎo)學(xué)生理解符號（字母）可以表示一個數(shù)，也可以像數(shù)一樣參與四則運(yùn)算”為本課的教學(xué)目標(biāo)。

三、課堂教學(xué)實(shí)踐

（一）引入：隨機(jī)“紅包”，感知字母可以表示可變數(shù)

“搶紅包”是學(xué)生熟知且樂在其中的游戲。隨機(jī)金額的紅包在拆開前存在著多種可能，搶紅包游戲素材為學(xué)生理解可變數(shù)提供了保證。本課圍繞“核桃一家人玩微信搶紅包游戲，核桃爸爸、核桃媽媽、核桃三人搶隨機(jī)紅包，三個紅包的總金額為100元”展開教學(xué)。教學(xué)中的所有環(huán)節(jié)均圍繞“紅包情境”展開，隨機(jī)紅包成了有效串聯(lián)知識點(diǎn)、破解學(xué)生疑惑的媒介。

第一環(huán)節(jié)從核桃爸爸搶到已知錢數(shù)引入（如圖1）。教師提問：“核桃爸爸搶了第一個紅包，記錄一下，得了多少錢?！睂W(xué)生很快寫下“20”，為體會確定數(shù)的記錄方式做鋪墊。

第二環(huán)節(jié)從核桃媽媽沒有拆開的紅包引入（如圖2），教師提問：“猜猜核桃媽媽的紅包里有多少錢?！睂W(xué)生有說10元的，有說15元的，也有說23元的……教師進(jìn)一步追問：“具體錢數(shù)是多少似乎無法確定，但若一定要把核桃媽媽紅包里的錢表示出來，可以用什么辦法？”引導(dǎo)學(xué)生在隨機(jī)紅包金額不確定和教師要求一定要表示出錢數(shù)的兩難選擇中，逐步將思路聚焦到具有一般性且能表示可變數(shù)的字母上來。

教師提問：“字母能表示出你們說的那些紅包金額（10元、15元、23元等）嗎？能表示出這個隨機(jī)紅包里的所有可能金額嗎？它能表示哪些數(shù)？”通過一系列問題，學(xué)生將思路從具體錢數(shù)的有限可能（10元、15元、23元等）拓展到隨機(jī)紅包的“無限”可能，再逐步發(fā)現(xiàn)“無限”可能中隱含的限制條件。在交流討論中，學(xué)生的思維層層推進(jìn)，不斷深化對用字母表示可變數(shù)的認(rèn)識。學(xué)生在對比確定紅包和隨機(jī)紅包的過程中，初步理解字母可以表示未知的可變數(shù)。

（二）探究：比較“思辨”，體會含有字母的式子可以表示數(shù)量關(guān)系

第三個環(huán)節(jié)繼續(xù)從核桃未拆開的紅包引入（如圖3）。教師出示活動要求：想一想，媽媽的紅包金額與核桃的紅包金額之間有什么聯(lián)系？寫一寫，核桃的紅包金額應(yīng)該怎么表示？議一議，你寫的式子能合理表示核桃紅包里的金額嗎？通過小組合作，學(xué)生提出四種不同的方式表示核桃紅包里的金額：ɑ、b、80-ɑ、100-20-ɑ。教師提問：“有沒有哪種表示方式是不可行的？”“哪種表征方式更簡潔、更合理？”引發(fā)學(xué)生思辨：媽媽的紅包金額已經(jīng)用字母ɑ表示了，核桃的紅包金額如果再用ɑ表示就很難區(qū)分；如果用b表示則不能說明兩個紅包之間的關(guān)系，而100-20-ɑ和80-ɑ能合理表示二者關(guān)系，且80-ɑ更簡潔。教師適時將具體金額代入，并配合板書引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步理解80-ɑ的意義。這樣的學(xué)習(xí)過程有助于學(xué)生理解含有字母的代數(shù)式能表示數(shù)量關(guān)系。

（三）延伸：內(nèi)化“結(jié)構(gòu)”，豐富字母表示的數(shù)的代數(shù)意義

教師通過提問：“你覺得生活中有哪些量能用4ɑ來表示？”將學(xué)生的視野從紅包情境拉回到更為豐富的現(xiàn)實(shí)世界。學(xué)生從“4ɑ”這個結(jié)構(gòu)出發(fā)，將其表示的意義向生活中拓展。在交流過程中，教師順勢啟發(fā)學(xué)生討論：數(shù)量關(guān)系（如單價、數(shù)量、總價之間的關(guān)系，速度、時間、路程之間的關(guān)系）、唱不完的兒歌（青蛙問題）、長方形的面積、正方形的周長等問題（如圖4）。讓學(xué)生結(jié)合情境說明，不同情境中4、ɑ、4ɑ分別表示什么，進(jìn)一步理解含有字母的式子表示的實(shí)際意義。這幾個例子自成結(jié)構(gòu)，又各有用意。在小結(jié)階段，學(xué)生自然而然地提出：“用字母或含有字母的式子，可以表示確定的數(shù)，也可以表示不確定的未知數(shù)，而數(shù)只表示確定的已知量?！?/p>

（四）總結(jié)：“過程”回顧，順應(yīng)字母表示數(shù)的歷史發(fā)展

課的最后，教師帶著學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程：從在紅包游戲中體會用字母表示的必要性，到思辨字母及含有字母的式子可以表示不確定的數(shù)，再到有結(jié)構(gòu)的延伸拓展。從而幫助學(xué)生拾級而上，“重現(xiàn)”丟番圖用縮略音節(jié)首字母代表未知數(shù)到韋達(dá)用符號代數(shù)的進(jìn)程，跨越式地感悟數(shù)學(xué)家們數(shù)千年的探索。

本課的研究過程，緊扣兒童的認(rèn)知心理特點(diǎn)，在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)，打破了學(xué)生原來的散點(diǎn)式認(rèn)知結(jié)構(gòu)，重構(gòu)了用字母表示數(shù)的多元內(nèi)涵。

參考文獻(xiàn)：

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