探尋運算定律背后的意蘊

陳泰昌

[摘 要]對于運算定律的教學(xué)，其中的乘法分配律是學(xué)生最難理解和掌握的，因為學(xué)生常常將乘法分配律與乘法結(jié)合律混為一談，導(dǎo)致錯誤百出。分析發(fā)現(xiàn)，主要有兩個方面的原因：一是對運算定律的結(jié)構(gòu)特征認識模糊；二是對運算定律的數(shù)據(jù)特征缺乏關(guān)注。因此，教師在教學(xué)中要積極探尋運算定律背后的意蘊，引導(dǎo)學(xué)生準確把握乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵。

[關(guān)鍵詞]運算定律 乘法分配律 結(jié)構(gòu)特征 數(shù)據(jù)特征 意蘊 乘法結(jié)合律 本質(zhì)內(nèi)涵

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）11-017

四年級下冊第三單元是運算定律的教學(xué)，在這一單元中重點學(xué)習(xí)加法的交換律、結(jié)合律和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律這五條運算定律。在小學(xué)階段，這五條運算定律不僅適用于整數(shù)的加法和乘法，而且適用于小數(shù)、分數(shù)的加法和乘法，所以在整個小學(xué)階段占有重要的地位和作用。當然，隨著數(shù)的范圍的進一步擴展，這幾條運算定律在有理數(shù)、實數(shù)甚至復(fù)數(shù)中仍然成立。所以，它們被譽為“數(shù)學(xué)大廈的基石”，對數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的意義和作用。

錯 題 羅 列

這么重要的運算定律，學(xué)生掌握與運用起來卻不是那么容易的事，尤其是乘法分配律。教學(xué)實踐中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律后，腦子就亂成一鍋粥，如遇“括號”就“分配”、遇“分配”就“相加”等，已經(jīng)分不清什么是乘法交換律、什么是乘法結(jié)合律了。學(xué)生的錯題猶如“忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開”，讓我們飽受煎熬。下面，讓我們來看看學(xué)生千奇百怪的錯題。

透過學(xué)生的錯題，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生錯題的最大特點就是將乘法分配律與乘法結(jié)合律混為一談。當然，相對于其他幾條運算定律，乘法分配律較乘法交換律和乘法結(jié)合律的組成要素多，展開算式的步驟要多，還出現(xiàn)加法和乘法兩三步混合運算。這種分分合合、合合分分的變式，學(xué)生最容易混淆運算定律。

教 學(xué) 嘗 試

為什么學(xué)生應(yīng)用運算定律進行計算會感到如此困難？究其原因，主要有以下兩個方面：一是對運算定律的結(jié)構(gòu)特征認識模糊；二是對運算定律的數(shù)據(jù)特征缺乏關(guān)注。那么，如何在教學(xué)中讓學(xué)生對運算定律有清晰的整理和有條理的厘清呢？筆者經(jīng)過一段時間的思考后，對“乘法分配律”一課的教學(xué)進行如下設(shè)計。

一、鋪設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的結(jié)構(gòu)特征

1.出示情境

（1）學(xué)校購買春裝校服，每件上衣30元，每條褲子25元，買這樣的40套衣服一共要多少元？（只列式不計算）

方法①：（30+25）×40 方法②：30×40+25×40

（組織學(xué)生交流，分別說說這兩種方法的解題思路）

（2）在一長方形花圃里栽郁金香和菊花（如下圖），這個花圃占地多少平方米？（只列式不計算）

方法①：（45+26）×15 方法②：45×15+26×15

（組織學(xué)生交流，分別說說這兩種方法的解題思路）

2.引導(dǎo)聯(lián)想

師：像這樣可以用兩種方法解決的實際問題還有很多，你能舉一些例子嗎？

（出示例題，只列式不計算）

……

【設(shè)計意圖：課伊始，無論是情境創(chuàng)設(shè)中的例題，還是師生列舉的問題，都要求學(xué)生只列式不計算，目的是讓學(xué)生在列式過程中體會兩種計算方法：一種方法是“先求和，再相乘”；另一種方法是“先分別乘，再求和”。但無論是“先求和，再相乘”的方法，還是“先分別乘，再求和”的方法，都是這種類型應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)特征，而且在數(shù)據(jù)的安排上也沒有特意出現(xiàn)湊整?！?/p>

3.引導(dǎo)觀察

（1）解決相等關(guān)系。

師：觀察左右兩邊的算式，你覺得它們都相等嗎？分別選一題的兩道算式算出得數(shù)，看看這兩道算式的得數(shù)是否相等。

（2）用符號分別表示出兩種算式的結(jié)構(gòu)特點，如（□+□）×□，□×□+□×□。

（3）你能舉這樣兩個相等的算式嗎？試試看。

討論：這里，具有兩種結(jié)構(gòu)的算式具有怎樣的大小關(guān)系？

生：相等。

（師用“=”連接）

（4）師列舉錯誤的例子，如（102+200）×35=102×35+35等。

學(xué)生討論比較后得出：僅僅具有這樣的結(jié)構(gòu)特征還不能說明兩個算式相等，還必須要關(guān)注數(shù)據(jù)是否也符合一定的特征。

……

【設(shè)計意圖：解決相等的問題，由結(jié)構(gòu)形似引出結(jié)構(gòu)特征，更多的是結(jié)合學(xué)生已有的經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)據(jù)的討論上升到規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與歸納，最終構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。】

二、深入探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的數(shù)據(jù)特征

1.研究數(shù)據(jù)中存在的規(guī)律

（1）提問：相等的算式中，數(shù)據(jù)應(yīng)該具備怎樣的特征呢？

提示：等號左邊是三個數(shù)，等號右邊卻變成四個數(shù)了，怎么變的？

（2）提問：是不是只要具備這樣的結(jié)構(gòu)特征，又具備這樣的數(shù)據(jù)特征，兩個算式就一定相等呢？（生舉例略）

（3）討論交流。

學(xué)生得出：如果具備這樣的結(jié)構(gòu)特征，又具備這樣的數(shù)據(jù)特征，那么兩個算式就一定會相等。

2.研究規(guī)律的合理性

師：這樣的現(xiàn)象是巧合，還是客觀存在的事實？你能用學(xué)到的知識去解釋這樣的現(xiàn)象嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生用乘法的意義去解釋現(xiàn)象存在的科學(xué)性，并舉例說明）

3.抽象概括乘法分配律

師：看來，這是一個普遍存在的規(guī)律，你能用一個式子表示出這一規(guī)律嗎？

（讓學(xué)生表示這一規(guī)律并說說所表示的規(guī)律是否具有結(jié)構(gòu)特征，同時也具備數(shù)據(jù)特征）

師：這樣說太麻煩了，可以用什么來表示出字母形式？

4.揭題

師：這就是我們這節(jié)課研究的一個新的定律，叫做乘法分配律。請你用自己的話說說對乘法分配律的理解。

……

【設(shè)計意圖：探究數(shù)據(jù)中存在的規(guī)律，讓學(xué)生從原理上理解不同算法間存在的意義。在乘法分配律的學(xué)習(xí)中，無論是從（a+b）×c到a×c+b×c的分解式思考，還是從a×c+b×c到（a+b）×c的合并式思考，都可以結(jié)合乘法的意義來理解，讓學(xué)生“不僅知其然，而且知其所以然”。】

三、鞏固應(yīng)用，拓展規(guī)律

（1）根據(jù)乘法分配律，請你說說和下列算式相等的算式。

（42+35）×2 72×（30+6） 18×52+48×18

（2）橫著看，在得數(shù)相同的兩個算式后面畫“√”。

（28+16）×7 = 28×7+16×7………………（ ）

56×（19+28）=56×19+28…………………（ ）

（3）看一看、比一比，每組算式中哪一題的計算比較簡單。為什么這樣選，你從中有什么啟發(fā)？

① 64×8+36×8 ② （25+250）×4

（64+36）×8 25×4+250×4

③ 99×76+76 ④ 125×（80+2）

（99+1）×76 125×80+125×2

【設(shè)計意圖：這些問題的設(shè)計，給學(xué)生的自主探究提供了機會，讓他們聯(lián)系已知，應(yīng)用已學(xué)的方法去探索，培養(yǎng)了學(xué)生由此及彼的推理能力，讓他們經(jīng)歷了知識的發(fā)生、發(fā)展過程?！?/p>

實 踐 感 悟

實踐表明，這樣設(shè)計教學(xué)，使學(xué)生對乘法分配律的認識清晰且深刻，能在后續(xù)的計算練習(xí)中駕輕就熟、應(yīng)用自如。這一成功案例，引起筆者對運算律教學(xué)的諸多思考。

感悟1：結(jié)構(gòu)模型優(yōu)于數(shù)據(jù)特點

運算定律的學(xué)習(xí)，更多的是讓學(xué)生對已有的知識和經(jīng)驗進行積累，使學(xué)生從具體數(shù)據(jù)的討論上升到規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與歸納，最終構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。然而，我們許多教師在教學(xué)運算定律時，都喜歡把注意力聚焦在數(shù)據(jù)的特點上，從數(shù)據(jù)的特點入手，引導(dǎo)學(xué)生在特殊的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)其特有的規(guī)律。如加法交換律、乘法交換律，學(xué)生首先發(fā)現(xiàn)的是數(shù)據(jù)沒有變，只是數(shù)的位置發(fā)生了變化；又如加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律也是數(shù)據(jù)不變，括號的位置發(fā)生了變化。對數(shù)據(jù)的片面關(guān)注，使得學(xué)生在一開始接觸運算定律時就將目光放在了數(shù)據(jù)的特點上，而對算式的結(jié)構(gòu)缺乏研究，導(dǎo)致學(xué)生對乘法結(jié)合律與乘法分配律混淆不清，因為學(xué)生只看到數(shù)據(jù)而沒看到算式結(jié)構(gòu)的特點。雖說數(shù)據(jù)特殊于運算定律非常重要，但結(jié)構(gòu)特殊更是不容忽視。結(jié)構(gòu)猶如房屋框架，框架沒有搭建則房屋難以成形。對結(jié)構(gòu)認識模糊，規(guī)律的認識不可能清晰，運算定律的模型就無法構(gòu)建。

從注意力的角度看，結(jié)構(gòu)相比數(shù)據(jù)較為隱蔽，不容易引起學(xué)生的重視。這就需要教師有意識地給予引導(dǎo)，并以此入手，引起學(xué)生足夠的關(guān)注。如筆者在設(shè)計本課教學(xué)時就從結(jié)構(gòu)入手，通過列式解決問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一個問題都有兩種解題思路，這兩種思路的算式表達都是“先求和，再相乘”或“先分別乘，再相加”，在此基礎(chǔ)上引出算式結(jié)構(gòu)的知識，將學(xué)生的注意力引向?qū)λ闶浇Y(jié)構(gòu)的觀察。繼而，要求學(xué)生聯(lián)系平時所學(xué)，解決相應(yīng)的實際問題，幫助學(xué)生進一步鞏固對乘法分配律的認識。

從結(jié)構(gòu)入手，強化了學(xué)生的結(jié)構(gòu)意識，使他們對乘法分配律的結(jié)構(gòu)印象深刻。在學(xué)生清晰結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，筆者再設(shè)問：“是不是只要符合這樣的結(jié)構(gòu)特征，算式就一定相等呢？”……這里，筆者認為用乘法分配律進行描述，更能讓算式結(jié)構(gòu)深入學(xué)生腦海之中。

因此，從結(jié)構(gòu)入手應(yīng)該成為運算定律教學(xué)的一種思路，無論是首次接觸的加法交換律、結(jié)合律，還是后來學(xué)習(xí)的乘法交換律、結(jié)合律，盡管結(jié)構(gòu)單一，但還是有必要讓學(xué)生先在結(jié)構(gòu)上觀察，再從數(shù)據(jù)上研究。

感悟2：運算意義是運算定律的依據(jù)

在運算定律的教學(xué)中，教師采用的都是不完全歸納法，即引導(dǎo)學(xué)生通過多個算式發(fā)現(xiàn)其中存在的共同規(guī)律，繼而用字母表示出各個運算定律的表達式。用這樣的方式進行教學(xué)本無可厚非，然而筆者總覺得缺少了些什么，那就是給找到的規(guī)律尋找可解釋的依據(jù)。

運算定律是對數(shù)的運算過程中基本規(guī)律的歸納與總結(jié)，因此學(xué)生理解運算定律的內(nèi)涵，離不開運算意義的支持。如理解加法交換律時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生始終把握“加法是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算”這一本質(zhì)內(nèi)涵。而乘法交換律為乘數(shù)位置交換積不變，其理由也可以從乘法的表達方式去解釋。如“6個15相加的和是多少”，用算式表示可以是6×15，也可以是15×6。加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律同樣可以從運算意義的角度去理解為變化運算順序后結(jié)果相等，而乘法分配律“先求和，再相乘”與“分別乘，再相加”的結(jié)果相等，即無論是從（a+b）×c到a×c+b×c的分解式思考，還是從a×c+b×c到（a+b）×c的合并式思考，都可以結(jié)合乘法的意義來理解，都是求相同加數(shù)的和的簡便運算。如45×15+26×15與（45+26）×15，前者表示45個15與26個15的和是多少，后者表示45加26等于71，71個15的和是多少。所以，從運算意義上去理解運算定律，更有助于培養(yǎng)學(xué)生合理選擇算法的能力，發(fā)展他們思維的靈活性。

所以，教師在教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)的思維方式和嚴謹求實的科學(xué)態(tài)度，這既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標之一，又是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好途徑。同時，這也是幫助學(xué)生理解規(guī)律的重要舉措，是對不完全歸納法的一種補充。

感悟3：把握運算定律與簡便計算的聯(lián)系和區(qū)別

運算定律是一種模型化知識，簡便計算則是根據(jù)算式和數(shù)的特點，依據(jù)四則運算的性質(zhì)，在不改變運算結(jié)果的前提下靈活處理運算程序，以達到簡便易算的目的。這兩者既有著緊密的聯(lián)系，又有一定的區(qū)別。教學(xué)中，因為運算定律是運算本身固有的性質(zhì)，也是后續(xù)代數(shù)知識學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，因此不能簡單地等同于簡便計算教學(xué)，但運算定律的學(xué)習(xí)過程，也是為后續(xù)靈活計算積累相應(yīng)的活動經(jīng)驗的過程。因此，教師在教學(xué)中可以將過程延長，使內(nèi)容豐富些、形式多樣些，并注意讓學(xué)生探究、嘗試、交流、質(zhì)疑，在引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握運算定律的同時，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性。

感悟4：后續(xù)教學(xué)注重變式分類

如前面提到，無論是運算定律還是簡便計算，在后續(xù)學(xué)習(xí)中還要安排專門的課時進行訓(xùn)練。所以，在這一環(huán)節(jié)中需要對乘法分配律進行全面的變式練習(xí)，學(xué)生只有清晰地把握這些變式的類型，才能靈活應(yīng)用乘法分配律解決問題。如延展乘法分配律項數(shù)的變式，將兩數(shù)和與一個數(shù)相乘變?yōu)槿膫€數(shù)的和與一個數(shù)相乘，即（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d；將兩個數(shù)的和變?yōu)閮蓚€數(shù)差的變式，即（a-b）×c=a×c-b×c；將特殊數(shù)1參與展開的變化式，即（a+1）×b=a×b+b×1。

綜上所述，對于運算定律的教學(xué)，尤其對于棘手的乘法分配律的教學(xué)，只有探尋定律背后的意蘊，學(xué)生才能真正掌握乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵，在簡便計算以及解決問題時才能“以不變應(yīng)萬變”。只有如此，“數(shù)學(xué)大廈基石”才會夯實，才會堅固！

（責(zé)編 藍 天）