基于數(shù)學(xué)建模方法的工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革試點(diǎn)研究

劉亞風(fēng)

［摘 要］基于工程數(shù)學(xué)課程發(fā)展和創(chuàng)新人才培養(yǎng)的需要，高校進(jìn)行工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革試點(diǎn)研究具有現(xiàn)實(shí)意義。文章以高校學(xué)生為主體，改革教學(xué)模式和考核模式，實(shí)現(xiàn)以主動(dòng)學(xué)習(xí)、適度競爭、過程管理、目標(biāo)考核為宗旨的教學(xué)邏輯改革，探索新工科背景下的工程數(shù)學(xué)課程人才培養(yǎng)模式，以促進(jìn)高校學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］高等教育；教學(xué)理論；工程數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模

［中圖分類號］ G642 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2023）20-0046-04

工程數(shù)學(xué)課程在不同高校的內(nèi)容設(shè)置存在一定差異，一般來說主要包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論等基本內(nèi)容[1-2]。高校學(xué)生能否有效掌握工程數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)理論知識和思維方法，將對后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響[3]。目前部分高校的工程數(shù)學(xué)教學(xué)存在以下問題：片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)格思維訓(xùn)練和邏輯思維訓(xùn)練，缺乏從具體現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的一般抽象和將一般結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際情況的思維訓(xùn)練[4]；教學(xué)方法主要為教師在講臺上“唱獨(dú)角戲”，學(xué)生容易形成僵化的思維習(xí)慣，嚴(yán)重限制了工程數(shù)學(xué)課程和學(xué)科應(yīng)用實(shí)踐的發(fā)展。因此，如何提高工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，是相關(guān)高校的重要課題之一。

一、現(xiàn)狀問題分析

（一）知識調(diào)查

筆者以問卷的方式對西南大學(xué)電子信息專業(yè)研究生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了調(diào)查。結(jié)果顯示，被調(diào)查學(xué)生來自十多個(gè)本科專業(yè)，對數(shù)學(xué)知識的掌握程度不盡相同。學(xué)生已學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)課程包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、概率論、復(fù)變函數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程等，其中以高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)為主。這說明工程數(shù)學(xué)教學(xué)需根據(jù)學(xué)生的知識背景和數(shù)學(xué)知識掌握程度調(diào)整和創(chuàng)新教學(xué)方式。

（二）問題分析

目前，部分高校的工程數(shù)學(xué)教學(xué)方式仍以傳統(tǒng)講授為主，強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、解題的技巧性[5]。這使得學(xué)生只能被動(dòng)地學(xué)習(xí)，強(qiáng)記一些基本知識，求解固定的數(shù)學(xué)題目，以應(yīng)付考試和取得高分為目標(biāo)，缺乏將工程數(shù)學(xué)專業(yè)知識應(yīng)用到實(shí)際場景中的能力。在這種情況下，學(xué)生難以搞清楚工程數(shù)學(xué)的理論知識和實(shí)際問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣不高。然而，工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、理論方法和工程問題解決技巧。因此，要打破傳統(tǒng)“滿堂灌”的教學(xué)模式，開展工程數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)，必須實(shí)現(xiàn)教學(xué)模式、教學(xué)理念的革新。

二、教學(xué)模式改革

數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解的一種方法。數(shù)學(xué)建模將實(shí)際問題進(jìn)行簡化、抽象、處理之后，以解答問題為目標(biāo)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，其間可以用信息技術(shù)作為輔助，求解得到的結(jié)果也需要進(jìn)行解析、檢測。將數(shù)學(xué)建模引入工程數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中，不僅能為工程數(shù)學(xué)課程提供生動(dòng)、有趣的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能以此為契機(jī)對工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式和評價(jià)模式進(jìn)行改革，更有助于厘清和深入挖掘工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)邏輯和教育邏輯。因此，課程組結(jié)合數(shù)學(xué)建模方法對工程數(shù)學(xué)課程進(jìn)行了教學(xué)改革試點(diǎn)研究，通過自主選題、自由組隊(duì)、主動(dòng)學(xué)習(xí)、定期匯報(bào)、教師引導(dǎo)等教學(xué)過程設(shè)計(jì)，將學(xué)生分成若干個(gè)小組，以小組討論的方式進(jìn)行工程數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)，尋求數(shù)學(xué)建模實(shí)例的答案，并改革評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以平時(shí)匯報(bào)和課程論文作為考核方式。課程設(shè)計(jì)流程圖具體見圖1。

（一）題目篩選

教師要對數(shù)學(xué)建模題目進(jìn)行篩選，使其盡可能地全面覆蓋工程數(shù)學(xué)課程的基本知識點(diǎn)。將數(shù)學(xué)建模問題與工程數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)工程數(shù)學(xué)相關(guān)的知識內(nèi)容。同時(shí)，為了激發(fā)學(xué)生的興趣，可提供科技前沿、現(xiàn)實(shí)問題和娛樂游戲等三種類型的數(shù)學(xué)建模題目，具體的題目及學(xué)生選擇情況見表1。

（二）自由組隊(duì)

在教學(xué)過程中，學(xué)生通過自由組隊(duì)分成不同的小組，以小組的形式進(jìn)行學(xué)習(xí)與討論，共同完成本課程的學(xué)習(xí)任務(wù)。這種小組合作的方式突破了“教師教，學(xué)生聽”的傳統(tǒng)教學(xué)方式的限制，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還可以培養(yǎng)其合作能力。學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)解決問題，并通過小組討論和相互啟發(fā)，解決個(gè)人自學(xué)難以解決的問題，這激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定了良好基礎(chǔ)。小組學(xué)習(xí)方式在一些課堂上或多或少地被采用，但效果并不理想，主要存在以下幾點(diǎn)問題：一是小組人員組成不夠合理，成員興趣不同；二是課堂時(shí)間短，很難進(jìn)行充分的討論；三是教師的課堂監(jiān)督引導(dǎo)方式不合理，容易使學(xué)生產(chǎn)生敷衍心態(tài)；四是沒有強(qiáng)有力的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，小組形式有名無實(shí)。

（三）定期匯報(bào)

組會(huì)是自然科學(xué)領(lǐng)域研究生培養(yǎng)中常見的實(shí)踐模式，是以學(xué)生為主體的團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)。這種形式已被證明是非常好的個(gè)性化教學(xué)模式。借鑒組會(huì)形式，以小組為單位對題目的完成情況用PPT進(jìn)行定期匯報(bào)，匯報(bào)人員由小組成員自主選擇決定。在匯報(bào)過程中，不同小組之間可以相互提問題，營造競爭學(xué)習(xí)的氛圍。小組本質(zhì)上是以促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)為中心的“研究學(xué)習(xí)共同體”，是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維以及加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)交流的催化劑。每個(gè)小組的定期匯報(bào)由小組成員自行輪流組織，這也反向督促學(xué)生在定期匯報(bào)中展示自己的綜合實(shí)力和素質(zhì)，自覺將外部壓力轉(zhuǎn)化為內(nèi)部動(dòng)力。小組定期匯報(bào)的參與者分享的多元知識可以幫助學(xué)生拓展思維空間，增強(qiáng)以感知、批評、想象和實(shí)踐為特征的創(chuàng)新能力；學(xué)生通過小組匯報(bào)可以持續(xù)接觸不同的數(shù)學(xué)建模問題以及相應(yīng)的工程數(shù)學(xué)知識。此外，小組定期匯報(bào)為教師觀察、判斷和綜合評價(jià)學(xué)生提供了現(xiàn)實(shí)依據(jù)，有利于教師客觀公正地評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并在過程評價(jià)和結(jié)果評價(jià)中及時(shí)有效地進(jìn)行指導(dǎo)。教師要在正確的時(shí)間引導(dǎo)和激勵(lì)學(xué)生，控制研究方向及進(jìn)度，指導(dǎo)學(xué)生遇到困難時(shí)利用工程數(shù)學(xué)知識解決問題，最終完成各種與理論相結(jié)合的模型探討，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力。

（四）課程論文考核

隨著培養(yǎng)新時(shí)代復(fù)合型創(chuàng)新人才理念的提出，對于不斷出現(xiàn)的新變化，評價(jià)方法也應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)改革，以有效發(fā)揮其積極作用。必須改革傳統(tǒng)的理論考試模式，消除“以考試成績論優(yōu)差”這一做法造成的弊端。

以小組合作為例，借鑒學(xué)術(shù)報(bào)告、論文、答辯等方式，引導(dǎo)學(xué)生通過小組成員的分工合作來完成項(xiàng)目。同時(shí)，將小組整體成績作為重要的考核項(xiàng)目之一，在機(jī)制方面保證小組成員合作的積極性，采用“專題探究、小組考核、及時(shí)指導(dǎo)”的方法，考核成績由平時(shí)的PPT匯報(bào)表現(xiàn)和課程論文質(zhì)量構(gòu)成。例如，PPT匯報(bào)作為平時(shí)成績占 40%，課程論文占60%。PPT報(bào)告交流有亮點(diǎn)、成員團(tuán)結(jié)協(xié)作，就能得到更好的評價(jià)。對個(gè)別達(dá)不到要求的學(xué)生，要及時(shí)提醒、警告，并及時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)優(yōu)秀的組長，促進(jìn)組員之間的進(jìn)一步合作。更重要的是，課程論文本身就是學(xué)生平時(shí)完成并在上課期間匯報(bào)的內(nèi)容，將平時(shí)匯報(bào)的內(nèi)容和期末考核相關(guān)聯(lián)，學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)和完成課程任務(wù)的積極性和主動(dòng)性就有了制度上的保證。

三、教學(xué)改革邏輯分析

工程數(shù)學(xué)圍繞專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，以學(xué)生為主體，力求提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。這意味著工程數(shù)學(xué)應(yīng)該從“繼承”的教學(xué)觀念轉(zhuǎn)變?yōu)椤皠?chuàng)新”的教學(xué)理念，注重滲透現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容，重新建立適應(yīng)當(dāng)下需求的知識框架。

（一）興趣激發(fā)

引入數(shù)學(xué)建模的目的在于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)工程數(shù)學(xué)的積極性。在整個(gè)課程設(shè)計(jì)過程中，題目篩選、自由組隊(duì)、定期匯報(bào)等各個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)都體現(xiàn)出以學(xué)生為主體、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的出發(fā)點(diǎn)。在題目篩選過程中，結(jié)合科技前沿、娛樂游戲、實(shí)際應(yīng)用等，選擇學(xué)生最感興趣的方向，這對于學(xué)生未來學(xué)習(xí)和長遠(yuǎn)發(fā)展具有持續(xù)推動(dòng)作用，對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)起著關(guān)鍵作用。同時(shí)，采用自由組隊(duì)、自主選擇題目的方式，能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。而且，興趣愛好不同、性格差異較大的小組成員在小組學(xué)習(xí)和互動(dòng)過程中也能彼此激發(fā)，優(yōu)勢互補(bǔ)，共同進(jìn)步。

（二）合作競爭

教學(xué)設(shè)計(jì)思路是將競爭模式與合作模式相結(jié)合，構(gòu)建“小組合作，組間競爭”的新型教學(xué)模式，即“合作—競爭”教學(xué)模式。在合作的模式下，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠相互合作，學(xué)習(xí)效率大幅度提升。例如，在小組內(nèi)每個(gè)成員都有相同的目標(biāo)，就某一問題闡述各自的解決方案并相互討論，在實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)承擔(dān)不同的任務(wù)并相互協(xié)作，最后通過合作實(shí)現(xiàn)共同目標(biāo)。同時(shí)，給每個(gè)小組分配PPT定期匯報(bào)任務(wù)，而具體匯報(bào)人由小組成員自主決定。集體匯報(bào)的過程是一次小組之間相互展示學(xué)習(xí)進(jìn)度及學(xué)習(xí)成果的過程，自動(dòng)把競爭引入教學(xué)過程當(dāng)中。團(tuán)隊(duì)之間的競爭能夠有效激發(fā)個(gè)人爭取團(tuán)隊(duì)成功的積極性和使命感，從而起到取長補(bǔ)短、相互促進(jìn)的作用。

（三）監(jiān)督管理

考慮到部分學(xué)生自我約束能力和自我管理能力不足的問題，需要對學(xué)生進(jìn)行一定程度的監(jiān)督管理。例如，以定期匯報(bào)作為對學(xué)生平時(shí)管理的重要方式，幫助教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和進(jìn)展，實(shí)現(xiàn)任務(wù)管理和監(jiān)督學(xué)習(xí)。通過改革考核方式，以過程性評價(jià)為導(dǎo)向，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的目標(biāo)管理。在課堂上，各學(xué)習(xí)小組以書面形式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)成果，并由小組代表匯報(bào)學(xué)習(xí)成果和重要學(xué)習(xí)過程，任課教師對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行提問，小組成員以答辯的方式進(jìn)行內(nèi)容闡述，全班學(xué)生作為評審對每個(gè)小組的回答進(jìn)行打分。小組匯報(bào)和答辯能夠及時(shí)肯定小組的學(xué)習(xí)成果，同時(shí)糾正一些錯(cuò)誤內(nèi)容，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)、指明方向，從而提高工程數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。學(xué)習(xí)小組的匯報(bào)由學(xué)生自主輪流組織，匯報(bào)次數(shù)和匯報(bào)效果可作為課程評價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)。教師要適時(shí)啟發(fā)、鼓勵(lì)、把控方向，形成一種自然而然的監(jiān)督管理方法。最后，課程論文可作為期末考核的依據(jù)。課程論文的內(nèi)容由平時(shí)的學(xué)習(xí)情況及匯報(bào)總結(jié)組成，從一開始學(xué)生就知道考核任務(wù)和目標(biāo)。因此，學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)任務(wù)的完成質(zhì)量就可以很好地體現(xiàn)在期末考核結(jié)果中，避免學(xué)生為了考試而背誦課本的情況，既減輕了學(xué)生期末備考的壓力，又從根本上確保了學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

四、效果評價(jià)

（一）教師評價(jià)

基于數(shù)學(xué)建模方法的工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革試點(diǎn)研究結(jié)果表明，該課程改革能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。學(xué)生主動(dòng)與教師討論的次數(shù)增加了，知識水平和學(xué)習(xí)能力都得到了提升。并且，在解決問題的過程中，部分學(xué)生還引入了全新的數(shù)學(xué)方法來解決問題。例如，一個(gè)小組經(jīng)過探討和學(xué)習(xí)，引入“蒙特卡洛法”來解決路徑選擇問題，可見，學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)能力和解決問題能力有了顯著提高。在課程學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)得到了完善，自主創(chuàng)新能力也得以同步提升，教學(xué)效果良好。不僅如此，新的教學(xué)模式能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)和解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難和問題。學(xué)生不僅可以在小組學(xué)習(xí)中充分討論相關(guān)問題，而且在匯報(bào)過程中可以得到授課教師的答疑和指導(dǎo)，大大提高了學(xué)習(xí)和解決問題的效率。此外，不同小組針對同一選題會(huì)有不同的解讀角度，教師在教學(xué)過程中可以因材施教，針對性地應(yīng)用合適的方法幫助學(xué)生各取所需、揚(yáng)長補(bǔ)短。

（二）學(xué)生評價(jià)

通過對參與試點(diǎn)教學(xué)的班級進(jìn)行問卷調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)有69.7%的學(xué)生認(rèn)為自己對這門課的學(xué)習(xí)態(tài)度發(fā)生了變化，并且變得比以前更加積極（見圖2）。在學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)方面，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)主動(dòng)性、組內(nèi)成員交流、組間成員交流、與老師互動(dòng)交流的平均分?jǐn)?shù)（滿分5分）分別是4.22分、4.14分、4.42分、3.89分、4.14分，總體上體現(xiàn)出了學(xué)生較好的學(xué)習(xí)狀態(tài)（見圖3）。

在各項(xiàng)能力的培養(yǎng)效果上，包括專業(yè)知識能力、學(xué)習(xí)創(chuàng)新能力、團(tuán)隊(duì)合作能力和溝通表達(dá)能力評價(jià)在4分以上的比例分別是78.57%、78.57%、92.86%、90.47%，表明基于數(shù)學(xué)建模方法的工程數(shù)學(xué)教學(xué)改革試點(diǎn)工作取得了初步成效。

五、總結(jié)與展望

工程數(shù)學(xué)不僅是理工科的基礎(chǔ)課程，也是核心課程之一，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是工程數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)。本課程在教學(xué)模式改革、考核方式革新和數(shù)學(xué)建模融入教學(xué)等多方面引導(dǎo)下，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新思維能力和溝通表達(dá)能力。本次教學(xué)創(chuàng)新模式實(shí)踐效果顯著，將課程講授、理論應(yīng)用、自主創(chuàng)新融為一體，教學(xué)效果得到教師團(tuán)隊(duì)和學(xué)生的一致好評。未來，基于數(shù)學(xué)建模方法的工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革還需要在多個(gè)方面縱深推進(jìn)，如分組靈活性、選題范圍以及小組間討論方式等。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 王建衛(wèi).離散正交變換理論實(shí)例教學(xué)法的探索與實(shí)踐[J].高師理科學(xué)刊，2016，36（12）：78-82.

[2] 張長勤，岳超慧.工程數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30（4）：45-47.

[3] 詹耀輝.“新工科”背景下光電類專業(yè)工程數(shù)學(xué)課程的教學(xué)問題及對策[J].高教學(xué)刊，2021，7（29）：80-83.

[4] 徐美進(jìn)，朱振廣，楊文杰.數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革[J].遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2007（5）：129-131.

[5] 張玉蓮.“互聯(lián)網(wǎng)+”環(huán)境下工程數(shù)學(xué)教學(xué)模式探究[J].科教導(dǎo)刊，2021（8）：68-70.

［責(zé)任編輯：劉鳳華］