基于APOS理論的數學概念形成教學方式
——以“復數的概念”教學實錄與反思為例*

董榮森

(江蘇省懷仁中學 214196)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自省級重點中學高二普通班，基礎相對來說比較好，具有一定的自主學習能力、邏輯推理能力、數學運算能力以及數學語言表達能力．

1.2 目標要求

(1)通過解方程遇到具體問題認識復數，理解引入復數的必要性；了解數系的擴充過程：自然數—整數—有理數—實數—復數．

(2)認識虛數單位，掌握復數概念，實部、虛部相關概念，理解兩個復數相等的充要條件，提升邏輯推理及數學運算等數學核心素養(yǎng)．

(3)類比有理數集和實數集的關系，認識實數集和復數集的關系，理解實數是復數的一種形式；通過從實數集到復數集的擴充過程和方法，提升抽象概括及邏輯推理素養(yǎng)．

2 設計理念

本節(jié)課的設計以杜賓斯基等人創(chuàng)立的APOS理論為基礎與依據，緊緊圍繞活動(Action)、過程(Process)、對象(Objcet)、圖式(Schema)等四個階段設計教學，選擇數學概念形成的教學方式(圖1)．即通過創(chuàng)設豐富典型的例證性情境，激發(fā)學生進行操作或活動，發(fā)現真問題(情境驅動、活動階段)；引導學生自主探究提出問題，抽象問題的本質屬性，形成初步概念(主體活動、過程階段)；組織學生合作構建，促進深度學習分析問題，對概念的深化與理解(立體互動、對象階段)；強化知識遷移，運用概念解決問題，形成智慧(智慧靈動、圖式階段)進行課堂教學，努力讓學生建構復數的概念．

圖1

3 教學實錄

3.1 創(chuàng)設情境、發(fā)現問題(活動階段)

問題1負實數到底能不能開平方呢？即方程x2+a=0(a>0)有沒有解？

生1：在實數范圍內不能開平方；在實數范圍內沒有解．

評析通過創(chuàng)設數學文化情境，設置適合學生認知的問題引發(fā)其思考，引導其身臨其境地去感受數學家們勇于探究、勇于創(chuàng)新的精神，體會數系的每次擴充都與實際需求密切相關，感受人類理性思維在社會發(fā)展中的作用．

3.2 自主探究、提出問題(過程階段)

師：我們知道x2+1=0在實數集中無解，聯系從自然數集到實數集擴充的過程，你能給出一種方法，適當擴充實數集，使這個方程有解嗎？

活動1 理解數系的擴充是生產實踐與社會發(fā)展的需要．

師：通過預習與查閱資料，你能敘述一下數的發(fā)展史嗎？

生2：因為計數的需要，所以產生了自然數．

生3：為了表示具有相反意義的量引入負數，于是數集由自然數集擴充為整數集．

生4：為了測量與分配的需要，引入了分數，于是數集由整數集擴充為有理數集．

生5：第一次數學危機使人們發(fā)現了無理數，于是數集由有理數集擴充為實數集．

師：你遇到過在實數集范圍內解不了的方程嗎?

生6：遇到過，如一元二次方程ax2+bx+c=0，當Δ=b2-4ac<0時，方程無解．

評析讓學生對數集擴充的歷史有所了解，感受數學的發(fā)展是生產實踐與社會發(fā)展的需要；讓學生從已有的學習經驗中自主探究實數集擴充的必要性．

活動2 理解數系的擴充是數學內部發(fā)展的需要．

師：在自然數集中，方程x+1=0有解嗎？

生7：沒有解，在整數集中有解．

師：在整數集中，方程2x-1=0有解嗎？

生8：沒有解，在有理數集中有解．

師：在有理數集中，方程x2=2有解嗎？

生9：沒有解，在實數集中有解．

師：在實數集中，方程x2+1=0有解嗎？

生10：在實數集中，方程x2+1=0無解，需要一個新的數集．

評析讓學生從求解方程的需要，理解數系擴充的必要性，從而自然引入虛數單位i．

活動3 引入新數——虛數單位i．

師：我們需要引入一個數，使它是方程x2+ 1=0的解．如何引入？談談你的看法．

生11：可以引入虛數單位i，它的平方等于 -1，即i2=-1；它可以與實數進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘法運算律仍然成立．

師：把新引進的數i添加到實數集中，我們希望數i和實數之間仍然能像實數那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結合律以及乘法對加法滿足分配律．那么，實數集經過擴充后，得到新的數集由哪些數組成呢？

生12：形如a+bi(a,b∈R)的數組成新的數集．

評析數系經過擴充后要保證原來的運算律仍然成立，依據這個原則，新的數集的表達是一個很好的切入點．學生經過抽象過程認識到虛數單位，為實現復數概念的構建作鋪墊，體現了數學概念教學中螺旋上升的思維過程，得出對象概念，實現認識上的飛躍．

3.3 建構概念、分析問題(對象階段)

活動4 理解復數的概念．

師：形如a+bi(a,b∈R)的數，其中的a,b分別叫做什么？

生13：形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數的實部，b叫做復數的虛部．

師：形如a+bi(a,b∈R)的數包括所有實數嗎？它還包括哪些你原來沒有遇到過的新數呢？

生14：包括所有實數，當b=0時，a+bi為實數；當b≠0時，a+bi為虛數，這是我們遇到的新數．

師：兩個復數相等的條件是什么？對于a,b,c,d∈R，a+bi=c+di得滿足什么條件？

生15：由a+bi=c+di得a=c，b=d．

評析通過以上問題促成學生對復數概念的準確理解；通過合作構建，為抽象出的復數概念賦予形式化的定義及符號表示，并讓學生將復數主動納入數系中．

活動5 類比實數集，認識復數集．

師：復數集C與實數集R之間有什么關系？

生16：每個實數都是虛部為0的復數，所以實數集R是復數集C的真子集．

師：依據復數a+bi中a,b的取值，如何給復數分類？

生17：對于復數a+bi(a,b∈R)，當且僅當b=0時，復數a+bi是實數a；當b≠0時，復數z=a+bi叫做虛數；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數；當且僅當a=b=0時，z就是實數0．

評析類比實數集，更清楚地認識復數集，感受數集的再次擴充．復數概念的抽象，其中虛數、純虛數等概念容易混淆，細致的介紹說明可以幫助學生理解辨析，深刻理解復數的概念，有利于掌握復數的本質.將復數放在整個數系發(fā)展的歷史長河中去認識，能夠更加全面地認識復數概念，有利于下一階段在頭腦中更好地構建復數圖式．

3.4 數學應用、解決問題(圖式階段)

例1已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x,y∈R，求x與y．

方法規(guī)律：若a,b,c,d∈R，則a+bi=c+di?a=c,b=d．特別地，a+bi=0?a=b=0．

評析通過復數相等的運用，將復數的運算轉化為實部與實部、虛部與虛部的比較，實現了復數到實數的轉化，滲透轉化與化歸的思想．

跟蹤訓練：(2x-1)i2+i=y-(3-y)i，其中x,y∈R，求x與y．

例2復數m=a+bi中實部a、虛部b滿足什么條件時，復數z=m+1+(m-1)i是：

(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？

師：因為m∈C，所以z=a+bi+1+(a+bi-1)i=(a+1-b)+(a+b-1)i是實數、虛數和純虛數的條件可以確定m滿足的條件．

生20：設m=a+bi，則z=a+bi+1+(a+bi-1)i=(a+1-b)+(a+b-1)i．(1)當a+b-1=0時，復數z是實數；(2)當a+b-1≠0時，復數z是虛數；(3)當a+1-b=0且a+b-1≠0時，復數z是純虛數．

方法規(guī)律：在復數范圍內解決問題，首先應設m=a+bi，再結合已知條件將相關復數也變成標準形式，進而將復數問題轉化為實數的關系．

評析通過對實部和虛部的運算，加深對復數概念的理解和運用．設出復數也體現了方程思想，提升學生邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．

變式訓練：復數z=m+1+(m-1)i滿足實部、虛部均大于1，求m的取值范圍．

例3已知x∈C，求方程x2+x+4=0的根．

方法規(guī)律：一元二次方程的根在數集擴充后仍然可以用求根公式來求，這是數系擴充后仍然成立的結論．

評析在實際應用中體會引進虛數的必要性．隨著數系的擴充對方程的解有了新的認識，這便是擴充數集的意義；求根公式仍然適用，這也是數集擴充的基本思想．

變式訓練：x∈C，方程x2+x+4=0的兩根為x1,x2，則x1+x2=-1，x1x2=4仍然成立嗎？只說結論，不必證明．

師：既然求根公式仍然可用，即根與系數的 關系也仍然成立，故x1+x2=-1，x1x2=4成立．

評析通過例題講解與變式訓練，幫助學生記憶和構建復數概念形成的知識網絡，有利于更好地形成概念圖式．當然這個圖式還需要在后續(xù)階段反復學習，以不斷完善、強化與穩(wěn)固．

4 回顧與反思

(1)活動階段：通過創(chuàng)設情境讓學生親身體驗，發(fā)現問題，感受概念產生背景

“活動階段”是概念引入階段，以學生已有的認知結構為基礎，通過創(chuàng)設情境提出問題，讓學生參與各種“活動”主動構建，親身體驗、感受概念的直觀背景和概念之間的關系．

在本節(jié)課的“活動階段”環(huán)節(jié)中，以學生已有的自然數、整數、有理數、無理數、實數等概念知識為基礎，認真分析復數概念的具體內容以及其在數系中的位置，通過創(chuàng)設情境提出問題，設計合適的“活動”，讓學生參與各種“活動”主動構建，親身體驗、感受復數概念產生的直觀背景和數系擴充的過程，了解引入復數的必要性，對于培養(yǎng)學生數學抽象的核心素養(yǎng)具有舉足輕重的作用．在數系的擴充過程中體現了數學的發(fā)現和創(chuàng)造過程，也體現了數學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，學生在活動階段中通過學習復數的基本知識，體會人類理性思維在數系擴充中的作用．

(2)過程階段：引導學生主動探究，提出問題，抽象出數學概念

“過程階段”是概念定義階段，應該是讓學生對“活動”進行思考，通過一定的抽象得出概念所特有的性質，從而對所授的概念形成一個較直觀的理解．

在本節(jié)課的“過程階段”教學環(huán)節(jié)中，提出問題：“解方程時實數集不夠用，怎么辦?”有學生會回答：“把實數集擴充”．于是繼續(xù)問：“你怎么想到的?怎么擴充?”接下來從方法論的角度啟發(fā)學生：“我們遇到新的問題怎么解決?人類解決問題最本原的方法是什么?實際上我們通常是從已有方法尋找未知方法，從已有知識尋找未知知識，從已經解決的問題尋找解決新問題的方法！”接下來提問“你怎么想?”以引導學生找已知的知識和方法.找已經解決的問題.啟發(fā)學生：有沒有遇見過類似的問題?把問題交給學生，先思考后交流，不僅僅要讓學生掌握復數的初步概念、定義、分類、相等的條件等知識，更重要的是理解復數這個數學概念建立的思想方法．

(3)對象階段：讓學生合作構建，分析問題，深化對概念的理解

“對象階段”是概念分析階段，應該是“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予形式化的定義及符號表示，使其達到精致化，成為一個具體的“對象”，并由學生主動將其納入已有的概念體系，在以后的學習中以此為對象進行新的活動．

在“對象階段”環(huán)節(jié)中，教師給學生提供探究的線索，讓學生通過合作構建來思考并分析問題：1)以往學習中有沒有遇見過類似的問題？2)如果遇見過，解決了什么問題？怎樣解決的？3)解決的過程有什么共同的特點(規(guī)律)？這些“線索”其實都是問題，而不是現成的線索；這些問題只提供了一個尋找線索的方法，真正的線索還需學生自己去尋找，而在尋找過程中所應用的類比思想和對方法論的認識無疑使學習中的“結果與過程”“客觀與主觀”“靜態(tài)與動態(tài)”“外在與內化”有機地結合到了一起，積累了數學活動經驗，為深入理解概念、提升數學素養(yǎng)奠定基礎．

(4)圖式階段：進行概念的運用，解決問題，強化知識遷移形成智慧

“圖式階段”是概念運用階段，是“對象”階段中對概念本質和概念體系進一步理解，經過長期的學習揭示概念本質和實例化，與其他概念、規(guī)則、圖形等建立起聯系，在頭腦中形成綜合的心理圖式．在“圖式階段”環(huán)節(jié)中，通過應用復數有關概念解決數學問題，讓學生進一步理解復數概念以及它與已學過的實數概念的區(qū)別與聯系，在頭腦中建立起一定的概念圖式，以便在解決問題時能夠迅速調?。?/p>