高考壓軸題的結(jié)構(gòu)特征與突破路徑探析*

劉綠芹

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004 江蘇省鹽城市教師發(fā)展學(xué)院 224001)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2020年修訂)中關(guān)于評價提出了“要有利于考查學(xué)生的思維過程、思維深度和思維廣度[1]”的要求，而高考數(shù)學(xué)壓軸題正是體現(xiàn)該要求的載體之一.然而，從高三數(shù)學(xué)教學(xué)實踐來看，突破壓軸題卻是學(xué)生最頭疼的問題之一，主要表現(xiàn)為“一看答案就會,不看不會”.之所以會出現(xiàn)這樣的問題，主要是對壓軸題的內(nèi)在思維結(jié)構(gòu)水平要求沒有深刻的認(rèn)知，不同的問題有著不同的思維結(jié)構(gòu)水平要求，同時，學(xué)生解決問題時，也能夠表現(xiàn)出其思維結(jié)構(gòu)水平.因此，我們可以從壓軸題的思維結(jié)構(gòu)水平方面，尋找突破壓軸題的路徑.

1 思維結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)與水平劃分

對于思維結(jié)構(gòu)，在不同的研究領(lǐng)域有著不同的闡釋、理解與劃分標(biāo)準(zhǔn).在高中數(shù)學(xué)壓軸題突破方面，我們以SOLO分類理論作為思維結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)，該理論是澳大利亞學(xué)者彼格斯(Biggs)和科利斯(Collis)兩位教授在皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段論的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.SOLO分類理論認(rèn)為，學(xué)生回答具體問題時所表現(xiàn)出來的思維結(jié)構(gòu)是可觀察的、可檢測的，稱為“可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)構(gòu)”(Structure of the Observed Learning Outcome).由此可見，雖然人們很難根據(jù)皮亞杰的分類法認(rèn)定學(xué)生處于哪一個發(fā)展階段，但卻可以根據(jù)SOLO分類理論，判斷學(xué)生在回答某一具體問題時的思維結(jié)構(gòu)處于哪一層次.目前，SOLO分類理論不僅已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于理科，諸如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等，還應(yīng)用于歷史、地理、英語等文科類學(xué)科的教學(xué)和評價上[2].

學(xué)習(xí)是一個逐漸積累、不斷演進(jìn)的過程，學(xué)生對某一內(nèi)容的理解存在多個不同的中間水平[3].根據(jù)SOLO分類理論，可將思維結(jié)構(gòu)水平劃分為五個層次：前結(jié)構(gòu)水平(P)、單點結(jié)構(gòu)水平(U)、多點結(jié)構(gòu)水平(M)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平(E).在前結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生無法找到解決問題的相關(guān)素材以及線索，只能用一些與問題毫不相關(guān)的內(nèi)容來解答，解決不了具體問題.在單點結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生只能夠找到解決問題的線索和相關(guān)素材中的個別，依然無法解決相關(guān)問題.在多點結(jié)構(gòu)水平上，學(xué)生找到了解決問題的多個線索或多個孤立的相關(guān)素材，但未能有效整合這些素材，同樣無法真正解決問題.在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生不僅能夠找到解決問題所需的線索以及所需的相關(guān)素材，而且能夠?qū)⑦@些相關(guān)素材進(jìn)行整合與關(guān)聯(lián)，能夠解決相關(guān)問題.在抽象擴(kuò)展水平結(jié)構(gòu)層次上，學(xué)生在找準(zhǔn)問題線索的基礎(chǔ)上，不僅能夠?qū)⑾嚓P(guān)素材進(jìn)行關(guān)聯(lián)，同時還能夠結(jié)合相關(guān)假設(shè)，解決相關(guān)問題，獲得新的解答、新的方法或新的結(jié)論.

思維結(jié)構(gòu)水平劃分針對的是學(xué)生回答或解決問題時所反應(yīng)出來的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)，是對學(xué)生的思維水平進(jìn)行質(zhì)性劃分，其聚焦點為學(xué)生.而思維結(jié)構(gòu)水平要求是針對具體問題而言，通過對問題的分析，提出解決問題時需要學(xué)生具備什么樣的結(jié)構(gòu)水平，其聚焦點為問題.對于解決高考壓軸題而言，需要根據(jù)試題進(jìn)展的不同階段，提出具體的思維結(jié)構(gòu)水平要求，并針對性地進(jìn)行突破，力求讓更多的學(xué)生達(dá)到更高的思維結(jié)構(gòu)水平.

2 壓軸題的思維結(jié)構(gòu)特征

高考數(shù)學(xué)壓軸題之所以難度大，是因為它對思維結(jié)構(gòu)的要求有別于普通試題.在普通綜合類數(shù)學(xué)試題中，往往注重循序漸進(jìn)，思維結(jié)構(gòu)水平要求起點低，一般是從單一結(jié)構(gòu)水平(U)出發(fā)為主，終點多為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R).在進(jìn)展過程中，逐步要求，逐級提升，呈線性狀態(tài).而高考數(shù)學(xué)壓軸題的思維結(jié)構(gòu)水平要求起點較高，多以多點結(jié)構(gòu)水平(M)為起點，抽象擴(kuò)展水平(E)為終點，其思維結(jié)構(gòu)水平要求呈逐漸加速形態(tài)，如下圖.因此，探析壓軸題思維結(jié)構(gòu)水平要求特征將有助于進(jìn)一步明確突破路徑.

圖1 試題進(jìn)展與思維結(jié)構(gòu)水平要求的關(guān)系

2.1 單一結(jié)構(gòu)水平為表象，多點結(jié)構(gòu)水平為實質(zhì)

在高考壓軸題中，經(jīng)常會出現(xiàn)一類題設(shè)較短、知識背景看似簡單的問題，乍一看是單一結(jié)構(gòu)水平(U)要求，但實則是多點結(jié)構(gòu)水平(M)要求.該類試題常常將以鮮明的單點知識為表象，但在試題解決的進(jìn)程中不知不覺地需要帶入其他知識點或解題方法，僅憑單一結(jié)構(gòu)水平無法解決相關(guān)問題的.

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

2.2 多點結(jié)構(gòu)水平為臺階，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為核心

高考壓軸題一般設(shè)置多問，難度逐步遞進(jìn)，呈臺階式發(fā)展，知識方法的使用也呈現(xiàn)出多樣態(tài)，并相互關(guān)聯(lián).此類問題以多點結(jié)構(gòu)水平要求為基礎(chǔ)，搭建臺階，但徹底解決相關(guān)問題則需要達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平要求.例如，圓錐曲線問題往往與直線一起出現(xiàn)，并以直線的變化為主線，主導(dǎo)著試題的變化與發(fā)展方向.在實踐中，多點結(jié)構(gòu)水平能夠解決多個相對獨立的基本問題，但由于直線的變化，導(dǎo)致相關(guān)知識之間的聯(lián)系較為密切，問題變得錯綜復(fù)雜.顯然，單點結(jié)構(gòu)水平無法解決相關(guān)問題，這就需要關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平來解決問題.

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線.

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.

①證明：△PQG是直角三角形；

②求△PQG面積的最大值.

2.3 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為基礎(chǔ)，抽象擴(kuò)展水平為目的

高考數(shù)學(xué)壓軸題之所以難，是因為壓軸題不僅要求學(xué)生具有扎實的基礎(chǔ)，還要求能夠?qū)⒍喾N數(shù)學(xué)知識、方法、思想等關(guān)聯(lián)、融合，并在此基礎(chǔ)上，跳出原有體系框架，進(jìn)行抽象擴(kuò)展，獲得新的解決問題的途徑與方法.擴(kuò)展抽象水平必須建立在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的基礎(chǔ)之上，它是思維結(jié)構(gòu)水平中的最高層次.因此，高考的最后一道壓軸題主要以該水平為命題的出發(fā)點，考查學(xué)生的抽象擴(kuò)展能力.

例3(2021年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

3 壓軸題的突破路徑探析

突破壓軸題需要具備一定的基本知識和基本技能，僅僅處在前結(jié)構(gòu)水平和單一結(jié)構(gòu)水平上是無法有效突破壓軸題的，因此，壓軸題的突破路徑應(yīng)至少建立在多點結(jié)構(gòu)水平之上，否則無法實施.

3.1 注重核心內(nèi)容的周邊知識積累，提升多點結(jié)構(gòu)水平

作為綜合題的高考數(shù)學(xué)壓軸題，不可能僅僅由一種知識構(gòu)成，它往往是圍繞某一核心內(nèi)容做文章，并配以其他知識作為補(bǔ)充，以求達(dá)到綜合的效果.根據(jù)往年的高考試卷統(tǒng)計，在高中數(shù)學(xué)的眾多考點中，能夠設(shè)置為高考數(shù)學(xué)壓軸題的核心知識較為明確，一般為函數(shù)綜合、導(dǎo)數(shù)綜合、數(shù)列綜合和解析幾何綜合四大類.在突破這些壓軸題時，不僅需要對這些核心知識有較為深刻的掌握，同時，還要對周邊相關(guān)知識有一定量的積累，例如，解決函數(shù)類壓軸題需要用到的周邊知識有集合、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等；解決導(dǎo)數(shù)類壓軸題需要用的周邊知識有函數(shù)及其性質(zhì)、幾何、不等式等；解決數(shù)列類壓軸需要用的周邊知識有函數(shù)、方程、不等式等；解決解析幾何類壓軸題需要用到函數(shù)、向量、方程、不等式等.

在探尋壓軸題突破路徑時，除了深入掌握核心知識外，要特別注重梳理核心內(nèi)容的周邊知識，它們往往就是突破壓軸題的一個節(jié)點，缺少了任何一個都將影響問題的解決.在實踐中，通過對周邊知識的梳理，我們往往能找到突破壓軸題的相關(guān)知識.因此，扎扎實實的多點結(jié)構(gòu)水平是突破壓軸題的基礎(chǔ).

3.2 挖掘多種知識間的隱藏聯(lián)系，形成關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平

高考數(shù)學(xué)壓軸題中的多種知識是試題結(jié)構(gòu)中的節(jié)點，這些節(jié)點之間通過數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法構(gòu)成各種各樣的聯(lián)系，然而，聯(lián)系往往又是隱性的，并不表露于試題，因此，挖掘多種知識間的隱藏聯(lián)系是解決壓軸題的核心，挖掘出壓軸題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想是突破壓軸題的重要途徑.

一是函數(shù)綜合壓軸題中蘊(yùn)含著函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等數(shù)學(xué)思想與方法；二是導(dǎo)數(shù)綜合壓軸題中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、換元等數(shù)學(xué)思想與方法；三是數(shù)列綜合壓軸題中蘊(yùn)含著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)思想與方法；四是解析幾何綜合類壓軸題中蘊(yùn)含著等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、待定系數(shù)法、參數(shù)法等數(shù)學(xué)思想與方法.由此可見，數(shù)學(xué)思想與方法并不固定屬于某一類壓軸題，它可以存在于不同的問題類型里，這些隱藏著的數(shù)學(xué)思想與方法是多種知識間的紐帶，通過它們可以將壓軸題由繁化簡、由難轉(zhuǎn)易.

因此，當(dāng)學(xué)生處在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次上時，能夠發(fā)現(xiàn)壓軸題中多種知識的隱藏聯(lián)系，并通過數(shù)學(xué)思想與方法，游刃有余地將不同類型的知識進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換、重新組合，將其轉(zhuǎn)變成熟悉的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而使壓軸題得到突破.

3.3 密集發(fā)散性思維觸角，突破抽象擴(kuò)展水平

突破高考壓軸題除了需要具有廣泛的基礎(chǔ)知識、靈活的思想方法外，還需要具有密集的發(fā)散性思維觸角，能夠敏銳感知到與問題相關(guān)的各種內(nèi)容、各種思路.發(fā)散性思維的觸角越多越敏銳，則突破抽象擴(kuò)展水平的可能性越大，解決壓軸題的可能性也將越大.

解決高考壓軸類問題時，需要思維由已知分別發(fā)散到高度相關(guān)的內(nèi)容、一般相關(guān)的內(nèi)容或較少相關(guān)的內(nèi)容.在平時的實踐過程中，要有意識地關(guān)注與提煉看似邊緣知識里的核心內(nèi)容，以此來密集發(fā)散性思維觸角，同時，要注重提煉其中的核心方法與核心思想，以提升發(fā)散性思維觸角的敏銳度，達(dá)到隨時抽象與擴(kuò)展的要求.然而，鑒于人的思維層次從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)提升到抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)需要付出巨大的努力，指望所有的學(xué)生達(dá)到更高層次是很不現(xiàn)實的[4].因此，在平時教學(xué)過程中，教師要特別注重因材施教，盡量讓每個學(xué)生在數(shù)學(xué)中得到最大可能的發(fā)展，但不勉強(qiáng)每一個學(xué)生都達(dá)到抽象擴(kuò)展水平.

4 結(jié)束語

高考壓軸題千變?nèi)f化，在基于SOLO分類理論的思維結(jié)構(gòu)視域下，突破高考壓軸題需要教師深入分析多種不同類型的高考壓軸題，明確各種壓軸題的思維結(jié)構(gòu)要求，并由此選擇不同的思維結(jié)構(gòu)水平進(jìn)階路徑.同時，要劃分不同學(xué)生現(xiàn)有壓軸題思維結(jié)構(gòu)水平，并根據(jù)不同的學(xué)生給予不同的突破路徑及具體策略，在學(xué)生明確了自己的等級水平后，再進(jìn)一步激發(fā)其深入學(xué)習(xí)的欲望[5].當(dāng)壓軸題的思維結(jié)構(gòu)要求與學(xué)生的現(xiàn)有思維結(jié)構(gòu)水平相匹配時，突破高考壓軸題將不再是可望而不可及的目標(biāo).