一道2022年數(shù)學(xué)競賽題的多種解法與命題背景探究

虞哲駿 沈珂娜

(浙江省寧波市慈溪中學(xué) 315300) (浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué) 315200)

一個好的數(shù)學(xué)問題常常能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探究欲望，引導(dǎo)數(shù)學(xué)探究活動有序進行．而一道好的數(shù)學(xué)題應(yīng)具備“容易接受、一題多解、蘊含了重要的數(shù)學(xué)思想、不故意設(shè)陷阱、可推廣和一般化”這五個特點．2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽第6題就是一道這樣的好題．

1 原題呈現(xiàn)

(2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽第6題)若△ABC的三邊a,b,c滿足a2+b2+3c2=7，則△ABC面積的最大值為．

2 解法探究

圖1

圖2

3 命題背景

當然，我們也可以利用待定系數(shù)法去尋找等號成立的條件：

4 結(jié)論推廣

外森比克不等式的加強：

進一步，我們考慮加權(quán)的形式，有：

推廣2 已知x,y,z>0，若a,b,c為△ABC的三邊，S為△ABC的面積，則

當且僅當x=y=z且△ABC為正三角形時等號成立．

證明(1)由外森比克不等式有

[x(y+z)sinC+y(z+x)sinA+z(x+y)· sinB]≥(x+y+z)2，

再由柯西不等式得

[x(y+z)sinC+y(z+x)sinA+z(x+y)sinB]2≤[x2(y+z)2+y2(z+x)2+z2(x+y)2](sin2C+sin2A+sin2B)．

4(x+y+z)4≥27[x2(y+z)2+y2(z+x)2+z2(x+y)2]．而4(x+y+z)4-27[x2(y+z)2+y2(z+x)2+z2(x+y)2]=∑(y-z)2(3x2+2y2+2z2+20yz)≥0，當且僅當x=y=z時等號成立．所以原命題成立．

當然，我們也可以從冪次上進行推廣：

推廣4 若a,b,c為△ABC的三邊，S為△ABC的面積，m≥1，則a2m+b2m+c2m≥

再考慮推廣4的加權(quán)形式：

證明由柯西不等式，得

(xa2m+yb2m+zc2m)(x+y+z)m-1

=(xa2+yb2+zc2)m

當且僅當x=y=z且△ABC為正三角形時等號成立，從而原不等式成立．

5 結(jié)語

在三角形中，我們往往可以借助正弦定理、余弦定理和面積公式結(jié)合基本不等式等工具，使解三角形的變化更加靈活．本文對此類邊的二次型結(jié)構(gòu)與面積有關(guān)的最值問題進行了深入的剖析，并作了一定的推廣，顯然，根據(jù)推廣的形式，我們還可以編擬許多習(xí)題或考題，來訓(xùn)練或考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．