立足基礎(chǔ)，凸顯思維，素養(yǎng)引領(lǐng)

［摘? 要］ 高考真題對于教學(xué)與備考有導(dǎo)向作用，深入探究試題特點與解析方法可定位考點，把握考向，提升解題能力. 文章對2022年新高考全國Ⅱ卷進行探究簡評，關(guān)注重點問題的特征與解析過程，結(jié)合實踐提出幾點建議.

［關(guān)鍵詞］ 基礎(chǔ)素養(yǎng)；模型思維；思想方法；備考

高考數(shù)學(xué)真題往往對一線教師的教學(xué)有導(dǎo)向作用，因此開展試題分析十分必要. 2022年新高考全國Ⅱ卷在基礎(chǔ)考查與素養(yǎng)評價兩方面做到了平衡，試題結(jié)構(gòu)與題型配置合理，體現(xiàn)出了基礎(chǔ)為重、素養(yǎng)導(dǎo)向的原則，下面結(jié)合考題簡要分析.

數(shù)學(xué)文化相融，注重基礎(chǔ)考查

試題注重從中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中選材，讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧與研究成果，可有效提升學(xué)生的民族自豪感. 同時數(shù)學(xué)文化中隱含的數(shù)學(xué)知識，能夠充分考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識與應(yīng)用能力. 以第3題為例，其以中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，考查數(shù)列、函數(shù)、幾何等知識.

例1 （2022年新高考全國Ⅱ卷第3題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉. 圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD，CC，BB，AA是舉，OD，DC，CB，BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為=0.5，=k，=k=k. 已知k，k，k成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k=（? ）

A. 0.75B. 0.8

C. 0.85D. 0.9

解析：可設(shè)OD=DC=CB=BA=1，則CC=k，BB=k，AA=k. 因為k，k，k成公差為0.1的等差數(shù)列，則k=k-0.2，k=k-0.1. 已知直線OA的斜率為0.725，所以=0.725，即=0.725，求得k=0.9.

點評：本題以中國古代建筑為背景，引出數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生深刻感受中華民族的智慧. 本題全面考查了等差數(shù)列、解析幾何、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，可強化學(xué)生的知識應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模能力. 本題要關(guān)注直線斜率計算公式，即P（x，y），P（x，y）在直線l上且x≠x，則l的斜率k=.

現(xiàn)實情境引入，注重分析建模

疾病是近幾年的熱點和現(xiàn)實問題，試題注重以該類問題為背景，從生活中取材，增加學(xué)生的生活實感. 如第19題以流行病的調(diào)查為背景，考查學(xué)生的統(tǒng)計與概率思想，以及分析與建模能力. 問題解析強調(diào)理解通性通法，以及對本源方法的綜合運用.

例2 （2022年新高考全國Ⅱ卷第19題）在某地區(qū)進行某種疾病調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖：

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20，70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40，50）的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的16%. 從該地區(qū)任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

解析：（1）平均年齡x=（5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002）×10=47.9（歲）.

（2）設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡位于區(qū)間［20，70）｝，所以P（A）=1-P（A）=1-（0.001+0.002+0.006+0.002）×10=1-0.11=0.89.

（3）設(shè)B=｛任選一人的年齡位于區(qū)間［40，50）｝，C=｛任選一人患這種疾?。瑒t由條件概率公式可得P（CB）===0.0014375≈0.0014.

點評：本題以疾病調(diào)查為背景，考查學(xué)生對頻率分布直方圖的理解，用樣本估計總體，對條件概率的計算，以及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng). 該類問題要求學(xué)生掌握收集、整理和分析數(shù)據(jù)的能力. 其中頻率分布直方圖是本題的核心，解答本題要抓住三個要點：一是直方圖的各小長方形的面積和為1；二是直方圖的縱軸表示“”，因此每組樣本的頻率為“組距×”，即每組長方形的面積；三是直方圖的每組樣本的頻數(shù)為“頻率×總體數(shù)”.

命題設(shè)計新穎，注重發(fā)散思維

試題設(shè)計具有靈活性，更具開放性，給學(xué)生留足思考空間，可有效引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新思考，突出考查學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維. 以第21題為例，題設(shè)給出了3個條件，要求學(xué)生從中選取2個作為已知條件，來證明另外一個條件成立.

例3 （2022年新高考全國Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的右焦點為F（2，0），漸近線方程為y= ±x.

（1）求C的方程；

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點P（x，y），Q（x，y）在C上，且x>x>0，y>0. 過P且斜率為-的直線與過Q且斜率為的直線交于點M. 從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③MA=MB

. （若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分）

解析：（1）C的方程為x2-=1.

（2）本題有三種選擇方式，下面以其中一種選擇方式進行探究——選①③推②.

由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率存在且不為零. 若直線AB的斜率不存在，由雙曲線的對稱性可知點M在x軸上，即右焦點F，且點P和點Q關(guān)于x軸對稱，從而有x=x，與已知不相符，所以直線AB的斜率存在且不為零.

設(shè)直線AB的斜率為k，直線AB的方程為y=k（x-2）. 條件①“M在AB上”，設(shè)M（x，y），則y=k（x-2）?ky=k2（x-2），兩條漸近線的方程可合并為3x2-y2=0，與直線AB的方程聯(lián)立消去y，整理得（k2-3）x2-4k2x+4k2=0.

設(shè)A（x，y）和B（x，y），線段AB的中點為N（x，y），則x==，y=k（x-2）=.

條件③“

MA

=

MB

”等價于（x-x）2+（y-y）2=（x-x）2+（y-y）2，移項并利用平方差公式整理得（x-x）［2x-（x+x）］+（y-y）［2y-（y+y）］=0，即x-x+k（y-y）=0，即x+ky=.

根據(jù)題意可知直線PM的斜率為 -，直線QM的斜率為，則y-y= -（x-x），y-y=（x-x），可得y-y=-（x+x-2x），所以直線PQ的斜率m==-，直線PM的方程為y=-（x-x）+y，即y=y+x-x，將其代入雙曲線的方程3x2-y2-3=0，整理得（y+x）［2x-（y+x）］=3，解得x=·

+y+x

，同理可得x= -

+y-x

，所以x-x=

+y

，x+x-2x= --x，則m=，可推知條件PQ∥AB等價于ky=3x，即由①③可推知②.

點評：本題為圓錐曲線綜合題，其特殊之處在于第（2）問讓學(xué)生自由選取條件和證明結(jié)論，考查學(xué)生的發(fā)散思維. 同時三個條件作為“已知”或“結(jié)論”自由互換，充分體現(xiàn)了知識的聯(lián)系. 本題的實質(zhì)為斜率之和為定值，即k+k=-=0，探究過程中要結(jié)合曲線背景加以總結(jié).

知識緊密融合，注重素養(yǎng)拔高

另外，試題加強對學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合考查，強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，考查學(xué)生的關(guān)鍵能力，充分發(fā)揮試題的選拔功能. 壓軸題的設(shè)計綜合性強，具有一定的復(fù)雜情形，對學(xué)生的能力有著較高的要求. 以第22題為例，有機結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與不等式等知識，全面考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等能力.

例4 （2022年新高考全國Ⅱ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=xeax-ex.

（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x>0時，f（x）<-1，求a的取值范圍；

（3）設(shè)n∈N*，證明：++…+>ln（n+1）.

解析：（1）f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）設(shè)h（x）=xeax-ex+1，則h（0）=0，可知h′（x）=（1+ax）eax-ex，設(shè)g（x）=（1+ax）·eax-ex，則g′（x）=（2a+a2x）eax-ex.

若a>，則g′（0）=2a-1>0，所以存在x∈（0，+∞），使得?x∈（0，x），總有g(shù)′（x）>0，所以g（x）在（0，x）上為增函數(shù)，所以x∈（0，x）時g（x）>g（0）=0，所以h（x）在（0，x）上為增函數(shù)，所以x∈（0，x）時h（x）>h（0）=-1，與題設(shè)矛盾.

若00），可得S′（x）=-1=<0，所以S（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，所以S（x）0時ln（1+x）

若a≤0時，可推得axeax<0，所以h′（x）=eax-ex+axeax<0，所以h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，所以h（x）

綜上可知，a的取值范圍為-∞

，.

（3）取a=，則?x>0，總有xe-ex+1<0成立. 令t=e，則t>1，t2=ex，x=2lnt，所以2lnt1恒成立. 所以對于任意的n∈N*，有2ln<-，整理得ln（n+1）-lnn<，所以++…+>ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1），所以不等式成立.

點評：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題，難度較高，具有一定的選拔功能，注重考查學(xué)生靈活運用知識來處理復(fù)雜問題. 整個解題過程融合了構(gòu)造、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法，所以對學(xué)生的綜合素養(yǎng)有一定的要求，要求學(xué)生能夠條理分析、邏輯思考、合理想象、推理運算.

教學(xué)與備考建議

1. 鞏固知識基礎(chǔ)，注重通性通法

考題注重對“四基”的考查，其中基礎(chǔ)知識和基本技能是考查的首位，所以教學(xué)備考中要注重基礎(chǔ)知識的講解，包括基本的概念、定義、公式，以及推理過程，尤其要注重對教材中的例題和習(xí)題的講解. 引導(dǎo)學(xué)生分析推理，并從中提取通性通法，指導(dǎo)學(xué)生深刻理解知識，掌握方法. 教學(xué)中不能讓學(xué)生過多追求偏、怪、難的方法技巧，而應(yīng)注意總結(jié)通性通法，即常規(guī)方法，也是最直接最有效的破題方法.

2. 強調(diào)知識應(yīng)用，關(guān)注數(shù)學(xué)文化

“學(xué)以致用”是教學(xué)倡導(dǎo)的理念，高考同樣注重考查知識的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在兩方面：一是設(shè)置情境，從中衍生問題；二是從生活生產(chǎn)實際中提煉問題，要求解決問題. 教學(xué)中要以“應(yīng)用”為基礎(chǔ)，讓數(shù)學(xué)為生活服務(wù). 知識的應(yīng)用要注意以下兩點：一是關(guān)注知識的本質(zhì)屬性，如餅狀圖、直方圖本身就是用于統(tǒng)計與分析數(shù)據(jù)的工具；二是指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)，特別關(guān)注數(shù)學(xué)文化，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化中的數(shù)學(xué)原理與知識.

3. 重視分析推理，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)教學(xué)的重點是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生獨立解決問題，因此備考教學(xué)中要重視分析推理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 在實際教學(xué)中，教師要發(fā)揮引導(dǎo)作用，合理設(shè)置問題，讓學(xué)生體驗探究過程，引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)推理，猜想驗證. 同時將數(shù)學(xué)運算與邏輯推理相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在運算中思考，在思考后猜想，在計算后具體驗證，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨立思考與深入分析的習(xí)慣，形成自我的數(shù)學(xué)思維. 發(fā)展思維要注重以下兩點：一是發(fā)散思維，引導(dǎo)學(xué)生跳出思維局限，敢于思考嘗試；二是創(chuàng)新思維，給學(xué)生留足思考空間，大膽猜想，提出創(chuàng)新意見.

4. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)科素養(yǎng)

提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)是教學(xué)的意義所在，對于高中數(shù)學(xué)而言，要在教學(xué)中滲透思想方法，發(fā)展六大核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析. 教學(xué)中要立足重點知識和具體問題，采用探究教學(xué)的方式，引導(dǎo)學(xué)生分析思考，運算推理，猜想驗證. 在探究過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等，引導(dǎo)學(xué)生在思想上深層歷練，提升其數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，2022年新高考全國Ⅱ卷命題設(shè)計以“基礎(chǔ)考查，思維培養(yǎng)，素養(yǎng)提升”為理念，對師生的教學(xué)備考具有導(dǎo)向作用，指明了學(xué)習(xí)方向. 在備考中，要注重挖掘教材知識，總結(jié)方法思路，滲透思想方法，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，提升其綜合能力.

作者簡介：時衛(wèi)忠（1969—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲蘇州市優(yōu)秀教育工作者、蘇州市優(yōu)秀班主任等榮譽.