以“核心概念”引領(lǐng)單元整體設(shè)計(jì)和分步實(shí)施
——以《長(zhǎng)方形和正方形的面積》單元教學(xué)為例

文|成艷斌

一、學(xué)生困擾帶來(lái)的思考

教師都熟知“周長(zhǎng)”和“面積”“表面積”和“體積”是“圖形的測(cè)量”內(nèi)容中兩對(duì)相生相伴的易混概念，如何降低這種易混易錯(cuò)率，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度認(rèn)識(shí)它們，優(yōu)化教學(xué)效果呢？

1.典型的教學(xué)片斷。

【片斷一】

新授環(huán)節(jié)的第一個(gè)任務(wù)，教師用課件動(dòng)態(tài)演示“線動(dòng)成面”，學(xué)生有的發(fā)現(xiàn)了面有長(zhǎng)短，有的發(fā)現(xiàn)了面有大小，有的甚至清楚地表示自己發(fā)現(xiàn)了“面積有大有小”。緊接著，教師根據(jù)學(xué)生已知面積名稱(chēng)的具體學(xué)情，展開(kāi)了如下互動(dòng)。

師：根據(jù)你的理解說(shuō)一說(shuō)什么是1 號(hào)圖形（一條線段經(jīng)過(guò)平移變換成的長(zhǎng)方形）的面積？

生1：長(zhǎng)加寬的和乘2。

生2：你計(jì)算的不是面積，你是在求周長(zhǎng)，我覺(jué)得面積應(yīng)該是圖形這一面的大小。

（一邊摸一邊說(shuō)）

教師緊接著追問(wèn)生1：你還認(rèn)為長(zhǎng)加寬的和乘2是在求面積嗎？這是之前學(xué)習(xí)的求什么的方法?。?/p>

生1：周長(zhǎng)。

通過(guò)不同層次的表達(dá)和抽象，學(xué)生最終得出：封閉圖形的大小就是它們的面積。

【片斷二】

新授環(huán)節(jié)的第二個(gè)任務(wù)，教師繼續(xù)演示“線動(dòng)成面”。

師：如果將2 號(hào)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)繼續(xù)平移會(huì)怎么樣，現(xiàn)在還能看出兩個(gè)圖形的面積誰(shuí)大誰(shuí)小嗎？

生1：一個(gè)橫著的，一個(gè)豎著的，看不出來(lái)了。

師：那怎么辦呢？

生1：可以拿著尺子來(lái)測(cè)量一下，把它分成一個(gè)一個(gè)的小格子，再數(shù)一數(shù)。

生2：可以先算出周長(zhǎng)，再來(lái)比較周長(zhǎng)哪個(gè)大哪個(gè)小，就知道面積哪個(gè)大哪個(gè)小了。

師：通過(guò)比較它們的周長(zhǎng)來(lái)比較面積的大小，可以嗎？咱們留作一個(gè)問(wèn)題來(lái)探索。

生3：把下面的圖形和上面的圖形重疊，就可以比較出它們的大小。

師：重疊的方法確實(shí)能比較兩個(gè)圖形的大小，但是實(shí)際生活中操作不方便，還是用小方格比較合適。

緊接著，教師安排學(xué)生用透明方格紙測(cè)量?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形的面積，并作出比較。

2.可能的成因分析與干預(yù)。

在片斷一中，學(xué)生以1 號(hào)長(zhǎng)方形為例表達(dá)對(duì)面積的理解時(shí)，試圖用求周長(zhǎng)的方法給出一個(gè)數(shù)表征面積。從教師的視角看，顯然這個(gè)學(xué)生已經(jīng)把面積和周長(zhǎng)混淆了。仔細(xì)分析，我們可能有這樣的收獲。

（1）這個(gè)想法從哪來(lái)的？

學(xué)生在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)后，可能有以面的大小判斷周的長(zhǎng)短而成功的經(jīng)驗(yàn)。這個(gè)經(jīng)驗(yàn)雖不是普遍規(guī)律，但確實(shí)常見(jiàn)。在學(xué)生沒(méi)有將周長(zhǎng)大而面積小的強(qiáng)刺激納入認(rèn)知范圍前，這種合情推理便會(huì)一直存在。他們會(huì)認(rèn)為周長(zhǎng)與面積正相關(guān)，面越大，周越長(zhǎng)；反之，周越長(zhǎng)，面也越大。當(dāng)學(xué)生誤以為教師讓大家用一個(gè)數(shù)表征1號(hào)長(zhǎng)方形的面積時(shí)，因?yàn)槿狈Χ棵枋龅慕?jīng)驗(yàn)，所以便調(diào)用了“周長(zhǎng)”。

（2）教學(xué)干預(yù)的時(shí)機(jī)是否恰當(dāng)？

不難發(fā)現(xiàn)，按照這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生在產(chǎn)生困惑的時(shí)候，正處于定性描述階段，還沒(méi)有經(jīng)歷以小量大、定量刻畫(huà)，“面積”還只是個(gè)“有某種語(yǔ)言結(jié)構(gòu)要求”的概念。等到下節(jié)課學(xué)習(xí)了面積單位并產(chǎn)生度量值的時(shí)候，最好的時(shí)機(jī)已經(jīng)錯(cuò)過(guò)了。

（3）教師的干預(yù)方法是否得當(dāng)？

學(xué)生基于舊知學(xué)習(xí)新知，概念理解的認(rèn)知偏差有很多種，他們從糊涂到明白，需要教師多角度有針對(duì)性地共情與支持。在片斷二中，當(dāng)不能直觀看出兩個(gè)圖形的面積時(shí)，學(xué)生就再次提出了“通過(guò)比周長(zhǎng)來(lái)比面積”的想法。

3.可怕的“后遺癥”。

這節(jié)課的一開(kāi)始學(xué)生就把“周長(zhǎng)”和“面積”混了，直到結(jié)束也沒(méi)有厘清。教師從面積的板書(shū)中擦掉了周長(zhǎng)的計(jì)算公式，卻沒(méi)擦去學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知。可想而知，緊接著我們需要上周長(zhǎng)與面積的區(qū)分課，如果還分不清，那就再練、再測(cè)……

4.思考和啟示。

要想解決這個(gè)問(wèn)題，還是應(yīng)該先從研究“教什么”開(kāi)始。

（1）度量的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

《度量——一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)的情歌》這本書(shū)中寫(xiě)到：“什么是度量？在度量某個(gè)物體的時(shí)候，我們到底是在做什么？……其實(shí)我們正在進(jìn)行比較，比較我們正在度量的物體和用來(lái)度量的物體。換句話說(shuō)，度量是相對(duì)的。我們所做的任何度量，無(wú)論是真實(shí)的還是假想的，都必然取決于我們選定的度量單位?！?/p>

可見(jiàn)度量的本質(zhì)是比較，就是不斷用度量單位與度量對(duì)象進(jìn)行比較，最后給度量對(duì)象一個(gè)數(shù)的結(jié)果。（2）現(xiàn)有的典型做法有哪些不足？

教師的磨課片斷，體現(xiàn)了我們平時(shí)教學(xué)面積時(shí)的一些典型做法。

做法一：我們常常會(huì)將關(guān)注點(diǎn)及大量時(shí)間放在讓學(xué)生通過(guò)直觀操作（摸、涂色等）感知“面積”，然后引導(dǎo)學(xué)生概括出“面積定義”。我們總愿意相信：如果這些詞語(yǔ)出自學(xué)生之口，而非教師之口，那么學(xué)生就真正理解了。

做法二：我們通常組織學(xué)生經(jīng)歷“觀察——重疊、剪拼——數(shù)格子”來(lái)比較兩個(gè)圖形面積的過(guò)程，同時(shí)有意識(shí)地設(shè)計(jì)不同大小的“格子”，強(qiáng)調(diào)單位統(tǒng)一的重要性。至于比較結(jié)果，比出誰(shuí)大誰(shuí)小即可，具體有多大，在這節(jié)課我們并不關(guān)注。

這些照本宣科的典型做法，并沒(méi)有梳理清晰“周在面上，面在體上”的易混關(guān)系。要想?yún)^(qū)分周長(zhǎng)與面積，還得從“度量”的本質(zhì)出發(fā)，方能得到解答。

（3）應(yīng)該做出哪些調(diào)整？

面積的學(xué)習(xí)主要經(jīng)歷兩個(gè)階段：階段一是比較兩個(gè)或多個(gè)面的大??；階段二是精確地求出某個(gè)面的大小。第二個(gè)階段有兩種方法，方法一是用單位密鋪，然后數(shù)出單位的個(gè)數(shù)；方法二是間接度量，利用公式直接計(jì)算。我認(rèn)為，“用單位密鋪”的方法應(yīng)該貫穿面積學(xué)習(xí)的兩個(gè)階段，直觀看出就是以小量大的一次度量，多次疊合就是不斷細(xì)化單位多次度量，數(shù)格子就是統(tǒng)一單位進(jìn)行度量。

這樣，我們的基本做法也應(yīng)該做出相應(yīng)的調(diào)整。

第一，“……的大小就是……的面積”這種表述容易將數(shù)學(xué)概念的理解異化為文字游戲。一個(gè)面究竟有多大，以及兩個(gè)面比大小時(shí)究竟相差多少，給出的那個(gè)數(shù)，才是面積的本質(zhì)?！爸庇^比大小”并非難點(diǎn)，應(yīng)大量縮減，相應(yīng)的時(shí)長(zhǎng)替換為“用數(shù)表征”。

第二，在觀察、重疊、數(shù)格子等顯性方法的背后有更具價(jià)值的內(nèi)容，例如誤差、密鋪（等積變形）、曲化平、單位細(xì)化、極限思想等，以及在這個(gè)過(guò)程中對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練（單位滿(mǎn)鋪到半鋪，不是只能在長(zhǎng)方形和正方形面積的那節(jié)課才開(kāi)始教學(xué)，從面積的認(rèn)識(shí)就可以開(kāi)始）……這些關(guān)乎數(shù)學(xué)本質(zhì)的思想方法應(yīng)該在過(guò)程中得以體現(xiàn)。

這些調(diào)整已經(jīng)在這個(gè)單元的整體設(shè)計(jì)中得以體現(xiàn)，在《認(rèn)識(shí)面積》《長(zhǎng)方形和正方形的面積》這兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)中，可見(jiàn)一斑。

二、基于核心概念的整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施及效果評(píng)議

1.以“度量”本質(zhì)為核心概念進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì)。

度量的一般過(guò)程就是根據(jù)度量對(duì)象，先定標(biāo)準(zhǔn)，再數(shù)個(gè)數(shù)。我們今天學(xué)習(xí)的是面積，度量的對(duì)象是面，它有大有小，它的大小是用小面的個(gè)數(shù)來(lái)刻畫(huà)的。以此為單元教學(xué)的主題思想，將這個(gè)單元的四個(gè)教學(xué)內(nèi)容整體設(shè)計(jì)如下：

（1）內(nèi)容主題明確。

第一節(jié)課是起始課，讓學(xué)生經(jīng)歷大量用非標(biāo)準(zhǔn)單位進(jìn)行度量并用數(shù)刻畫(huà)結(jié)果的過(guò)程，在不斷度量的過(guò)程中認(rèn)識(shí)面積的度量對(duì)象，建立“以小面量大面”的規(guī)則，與周進(jìn)行區(qū)分，初步溝通周長(zhǎng)與面積的聯(lián)系；第二節(jié)課認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)單位，建立1cm2、1dm2、1m2的量感，并繼續(xù)用標(biāo)準(zhǔn)單位進(jìn)行度量，進(jìn)而建立幾cm2、幾dm2、幾m2的量感；第三節(jié)課，基于前兩節(jié)課的度量經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)直接度量大面積操作有困難，產(chǎn)生間接度量的需求，探索長(zhǎng)、正方形的面積計(jì)算公式，再次溝通長(zhǎng)度與面積之間的關(guān)系；第四節(jié)課，基于前三節(jié)課的經(jīng)驗(yàn)，自主推理面積單位之間的進(jìn)率，進(jìn)一步發(fā)展量感。

（2）任務(wù)銜接緊密。

第一節(jié)課經(jīng)歷用非標(biāo)準(zhǔn)單位度量，如單位滿(mǎn)鋪到半鋪、半鋪如何數(shù)……為后續(xù)課時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)單位度量、從直接度量走向間接度量的公式推理等提供直接經(jīng)驗(yàn)支持；第二節(jié)課用1dm2測(cè)量課本封面、用1m2測(cè)量籃球場(chǎng)的活動(dòng)引發(fā)了第三節(jié)課的真實(shí)探索；第三節(jié)課中1dm2不能滿(mǎn)鋪課本封面、單位細(xì)化后能滿(mǎn)鋪的探索過(guò)程又為第四節(jié)課的單位進(jìn)率探索，乃至五年級(jí)不規(guī)則圖形面積估計(jì)（化曲為直、極限思想）等奠定了基礎(chǔ)……

抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)就能克服碎片化教學(xué)，把一個(gè)自然單元的若干課時(shí)貫通起來(lái)，回到知識(shí)單元的線索中，講成一個(gè)核心概念——“面的度量”，以“定標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)個(gè)數(shù)”為抓手，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、任務(wù)遞進(jìn)化、能力進(jìn)階化，在不斷度量的過(guò)程中學(xué)習(xí)面積。這就是以單元教學(xué)為載體，表達(dá)面積度量與圖形度量、知識(shí)進(jìn)階與素養(yǎng)進(jìn)階的整體性、一致性和階段性。

2.對(duì)應(yīng)新設(shè)計(jì)的教學(xué)效果評(píng)議。

北京教育科學(xué)研究院張丹教授認(rèn)為：大概念的內(nèi)涵有內(nèi)容大概念、過(guò)程大概念以及價(jià)值大概念三個(gè)層面。劉延革老師在《整體視角下有關(guān)度量?jī)?nèi)容的研究與實(shí)踐》一文中具體描述了度量的五個(gè)大概念，我們不妨對(duì)照這五個(gè)大概念，看看《認(rèn)識(shí)面積》《長(zhǎng)、正方形的面積計(jì)算》這兩節(jié)課的實(shí)施效果。

大概念1：度量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物的某些屬性大小的刻畫(huà)。

面積的度量對(duì)象是面，有地面、墻面等平面，球面、桶側(cè)面等曲面，把面從體上“請(qǐng)”下來(lái)就是封閉圖形。面有大有小，且它的大小可以用具體的數(shù)刻畫(huà)出來(lái)。學(xué)生經(jīng)歷了多次、及時(shí)的定量刻畫(huà)面積后，就能很好地區(qū)分周長(zhǎng)和面積，“封閉圖形一周邊線的長(zhǎng)度是周長(zhǎng)，數(shù)的是幾厘米、幾分米……而周長(zhǎng)里面的部分（的大小）才是面積，數(shù)的是地板、小格子……”從學(xué)生用自己的語(yǔ)言表達(dá)“什么是面積”的這段話中可以看出，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)、面積的度量屬性區(qū)分得很清楚，已經(jīng)深刻理解了“周在面的邊沿，而面在周的內(nèi)部”。從后測(cè)看，相關(guān)練習(xí)的錯(cuò)誤率也大大降低。

大概念2：度量的基本方法是同一單位的不斷累積，將多個(gè)度量單位組合在一起產(chǎn)生了工具，使得測(cè)量更加方便。

在《認(rèn)識(shí)面積》這節(jié)課中，對(duì)度量基本方法的體驗(yàn)經(jīng)歷了如下三個(gè)階段：

第一，真實(shí)情境中的以小量大。無(wú)論是在父子拖地的真實(shí)情境中比較鋪著同一款地磚的客廳和臥室地面哪個(gè)更大，還是生活中的其他窗面、柜面、墻面……

第二，自選單位測(cè)量課桌面。學(xué)生選擇不同的單位測(cè)量課桌面，體會(huì)面積度量的正則性；并通過(guò)比較封面、手掌面、三角形等自選單位，體會(huì)正方形“密鋪”的優(yōu)勢(shì)，從而感受面積的有限可加性。

第三，在方格紙中描述三個(gè)平面圖形的面積。此處不僅比較了周長(zhǎng)和面積的度量對(duì)象不同，同時(shí)在求不規(guī)則圖形面積的過(guò)程中，以“總量等于分量和”支撐面積的運(yùn)動(dòng)不變性。

定標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)個(gè)數(shù)，就是將多個(gè)度量單位組合在一起數(shù)出結(jié)果。從這個(gè)意義上看，“方格紙”可以看作是同一正方形不斷累積產(chǎn)生的度量面積的工具。

大概念3：度量方法和度量單位的選取源于實(shí)際生活的需要，以及對(duì)度量結(jié)果精確程度的需求。

學(xué)生在自選單位測(cè)量課桌面時(shí)，對(duì)這個(gè)概念體會(huì)很深。度量課桌面的大小時(shí)，大家都選比桌面更小的面來(lái)度量；在度量結(jié)果的描述中，體現(xiàn)了度量結(jié)果的精確程度；同時(shí)，面積是指面的大小，用小面量大面，類(lèi)比線段有長(zhǎng)短，用短線量長(zhǎng)線，物有輕重，用輕物來(lái)量重物等，這就是在大度量觀下源于生活實(shí)際需要的度量本質(zhì)。

大概念4：尋找所度量的屬性與圖形要素之間的關(guān)系可以獲得常見(jiàn)圖形的計(jì)算公式，而轉(zhuǎn)化、類(lèi)比等提供了運(yùn)用推理產(chǎn)生新的圖形計(jì)算公式的視角。

這次我們以《長(zhǎng)方形和正方形的面積》為例，這節(jié)課的核心就是用轉(zhuǎn)化思想輔助學(xué)生完成推理。

轉(zhuǎn)化一——化未知為已知。

學(xué)生用1m2量籃球場(chǎng)的面積時(shí)，發(fā)現(xiàn)班里的單位不僅不夠滿(mǎn)鋪，連一行或一列都鋪不滿(mǎn)時(shí)，主動(dòng)想到了將“鋪面積單位”轉(zhuǎn)化為“量長(zhǎng)和寬”。學(xué)生的這種想法本身就來(lái)源于上節(jié)課面積單位的規(guī)定，邊長(zhǎng)1m 的正方形的面積是1m2，所以，每量出一個(gè)1m 的長(zhǎng)度，就能擺一個(gè)1m2的面積單位。這是非常典型的用舊知解決新問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思路。

同時(shí)，在這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)與每行個(gè)數(shù)、寬與行數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，助推學(xué)生發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)方形面積與其關(guān)鍵要素長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系，從而引發(fā)了新探究。

轉(zhuǎn)化二——化繁為簡(jiǎn)。

學(xué)生測(cè)量長(zhǎng)度，從直接度量走向間接度量，本身就是化繁為簡(jiǎn)的重要表現(xiàn)。進(jìn)一步，我們把從測(cè)量籃球場(chǎng)面積過(guò)程中得到的啟示，推廣到其他大長(zhǎng)方形面積的度量中，尋找一種普遍的計(jì)算規(guī)律，又是另一種化繁為簡(jiǎn)，這也是數(shù)學(xué)建模思想的重要表現(xiàn)，從特殊走向一般。

此外，我們應(yīng)該格外關(guān)注在這節(jié)課中無(wú)處不在的“特殊到一般”“一般到特殊”的推理方式。長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程就是“特殊到一般”的重要表現(xiàn)。而推導(dǎo)過(guò)程中與上節(jié)課銜接出現(xiàn)的“無(wú)法滿(mǎn)鋪數(shù)學(xué)書(shū)封面，那用長(zhǎng)乘寬計(jì)算長(zhǎng)方形面積還合適嗎”的質(zhì)疑，又是“一般中的特殊”。

大概念5：以上過(guò)程發(fā)展了學(xué)生的量感、推理能力、直觀想象、解決問(wèn)題能力及創(chuàng)新意識(shí)。

這五條大概念，前四條闡述了度量的核心內(nèi)容及研究的思想方法，最后一條則是這部分內(nèi)容對(duì)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教育價(jià)值。顯然，價(jià)值大概念的實(shí)現(xiàn)有賴(lài)于前四條度量大概念的落地。

3.大單元整體備課的核心要義。

本次《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》最大的新意是將核心素養(yǎng)寫(xiě)入了總目標(biāo)，且核心素養(yǎng)的內(nèi)涵表現(xiàn)了整體性、一致性和階段性。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化便是這一理念的具體體現(xiàn)。因此，基于新課標(biāo)的新教學(xué)也應(yīng)該強(qiáng)調(diào)基于知識(shí)邏輯體系和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的整體設(shè)計(jì)，改變過(guò)去過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)現(xiàn)狀，制訂指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，整體把握教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，經(jīng)歷指向高階思維的自主遷移和深度學(xué)習(xí)，走出碎片化認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與素養(yǎng)的同步進(jìn)階。

事實(shí)上，這兩篇教學(xué)設(shè)計(jì)便是最好的例證。因?yàn)榍昂笾R(shí)銜接緊密，學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)被充分喚醒，經(jīng)歷了知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”，學(xué)習(xí)效果很好。