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    “同構(gòu)”新天地,“找點(diǎn)”大舞臺
    ——2022年新高考Ⅰ卷第22題的解析

    2022-12-19 03:07:20江蘇省沭陽高級中學(xué)紀(jì)秀艷山東省濱州實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉曉蕾賈生森
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年23期
    關(guān)鍵詞:橫坐標(biāo)同構(gòu)交點(diǎn)

    ?江蘇省沭陽高級中學(xué) 紀(jì)秀艷 ?山東省濱州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王 潔 劉曉蕾 賈生森

    1 真題呈現(xiàn)

    (2022年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

    (1)求a;

    (2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

    2 第(1)問分析

    當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,則f(x)在R上單調(diào)遞增,此時f(x)無最小值;因?yàn)間′(x)<0,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,此時g(x)無最小值.

    當(dāng)a>0時,令f′(x)=0,則x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna),f′(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞),f′(x)>0.于是f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(lna)=a-alna.

    由f(x)min=g(x)min,得1+lna=a-alna.

    此處超越式方程的解法,有兩種途徑:構(gòu)造函數(shù)和放縮.而構(gòu)造函數(shù)又有兩種方法,放縮又有四種方法,見思維導(dǎo)圖1.

    圖1

    思路一:求最值,直接建立關(guān)于a的方程.

    解法1:構(gòu)造函數(shù)(一).

    由1+lna=a-alna,得(a+1)lna+1-a=0.

    解法2:構(gòu)造函數(shù)(二).

    解法3:切線放縮+兩邊夾.

    說明:a>0,不等式a-1≥lna取等號時的幾何意義是直線y=x-1與曲線y=lnx相切.

    解法4:糖水不等式+放縮法.

    思路二:設(shè)最值,化歸為公切線問題.

    解法5:公切線法.

    思路三:先猜后證.

    解法6:必要性探路+放縮法.

    設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值為t.由解法5可知,只需證明?x∈(0,+∞),lnx+t≤ax≤ex-t即可.又由常見的切線不等式,可知lnx+t≤x-1+t,x+1-t≤ex-t.因此只需證x-1+t≤ax≤x+1-t,即證t-1≤(a-1)x≤1-t,只需證|(a-1)x|≤1-t.因?yàn)閷?x∈(0,+∞),都有|(a-1)x|≤1-t,所以a=1.

    3 第(2)問分析

    解決零點(diǎn)問題,需采用數(shù)形結(jié)合思想,根據(jù)第(1)題所得f(x),g(x)的單調(diào)性作出圖象(如圖2), 圖中三個交點(diǎn)從左到右分別記為A(x1,y1),B(x0,y0),C(x2,y2).

    圖2

    因?yàn)榇嬖谥本€y=b與曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn),又由(1)可知兩函數(shù)最小值皆為1,所以b>1.

    第(2)題要確定y=f(x)和y=g(x)有交點(diǎn),以及直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)分別有交點(diǎn),再證明這三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

    第(2)題的思維導(dǎo)圖如圖3所示:

    圖3

    方法一:構(gòu)造函數(shù),利用零點(diǎn)存在定理,確定隱零點(diǎn).

    先確定函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點(diǎn)B(x0,y0).

    再找函數(shù)值為負(fù)的變量,有兩種常見方式:

    找點(diǎn)注釋:

    方式二:利用二分法思想找點(diǎn),通過估值計(jì)算,不斷嘗試得到函數(shù)值為負(fù)即可.

    再確定直線y=b與y=f(x)的兩個交點(diǎn)A(x1,y1),B(x0,y0).

    令H(x)=f(x)-b,則H′(x)=ex-1,于是H(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    由H(-b)=e-b>0,且H(0)=1-b<0,可得H(-b)·H(0)<0.所以函數(shù)H(x)=f(x)-b存在唯一零點(diǎn)x1∈(-∞,0),即曲線y=f(x)與直線y=b在(-∞,0)上有唯一交點(diǎn)A(x1,y1).

    由H(b)=eb-2b≥eb-2b>0,得H(b)H(0)<0.所以函數(shù)H(x)=f(x)-b存在唯一零點(diǎn)x3∈(0,b),即y=f(x)與y=b在x∈(0,+∞)有唯一交點(diǎn)(x3,y3).又ex3-x3=b,ex0-x0=b,且H(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,則x3=x0.所以直線y=b與曲線y=f(x)交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x0,y0).

    找點(diǎn)注釋:

    上述解法中尋找-b的途徑:H(x)=ex-x-b>-x-b≥0?x≤-b,于是可取x=-b<0.

    最后確定直線y=b與曲線y=g(x)的兩個交點(diǎn)C(x2,y2),B(x0,y0).

    由G(eb)=eb-2b>0,且G(1)=1-b<0,可得G(eb)·G(1)<0.故G(x)存在唯一零點(diǎn)x2∈(1,+∞),即曲線y=g(x)與y=b在(1,+∞)上有唯一交點(diǎn)C(x2,y2),且x2>1.

    由G(e-b)=e-b>0,G(0)=1-b<0,得G(e-b)·G(0)<0.故G(x)存在唯一零點(diǎn)x4∈(0,1).又x4-lnx4=b,x0-lnx0=b,且G(x)在x(0,1)上單調(diào)遞減,則x4=x0.所以曲線y=g(x)與直線y=b交于兩點(diǎn)C(x2,y2),B(x0,y0).此處還可以利用G(2b)=b-ln 2b>0找點(diǎn).

    由此可知,存在直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn),滿足ex0-x0=x0-lnx0=b>1,即ex0+lnx0=2x0,從左至右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

    找點(diǎn)注釋:

    尋找eb的方法:只要大于2b,都符合題意,而b>1,eb>eb>2b.

    取點(diǎn)常常取對數(shù)形式點(diǎn)代入含指數(shù)式的函數(shù)易于運(yùn)算;同樣,我們也常常取指數(shù)形式點(diǎn)代入含對數(shù)式的函數(shù)易于運(yùn)算.

    導(dǎo)數(shù)找點(diǎn)有兩種方式:①猜根;②放縮取點(diǎn).當(dāng)目標(biāo)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜猜根不易時,通常采用放縮取點(diǎn).

    方法二:同構(gòu)法(對數(shù)向指數(shù)轉(zhuǎn)化).

    由f(x0)=g(x0),得ex0-x0=x0-lnx0,則ex0+lnx0=2x0,所以存在直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

    方法三:同構(gòu)法(指數(shù)向?qū)?shù)轉(zhuǎn)化).

    方法四:反函數(shù).

    由題意可得,ex-x=b和x-lnx=b共有三個不同的根,等價(jià)于ex=x+b和lnx=x-b共有三個不同的根.y=ex和y=lnx互為反函數(shù),圖象關(guān)于直線y=x對稱;y=x+b和y=x-b也互為反函數(shù),圖象關(guān)于直線y=x對稱.根據(jù)對稱性,得?b∈R,使y=ex與y=x+b交于A,B兩點(diǎn),y=lnx與y=x-b交于C,D兩點(diǎn),且B,C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同時一共有3個根.

    圖4

    如圖4,設(shè)A(x1y1),B(x0y0),C(x0y0),D(x2y2),由反函數(shù)的對稱性,易知x0-x1=y2-y0.

    又直線CD的斜率為1,則y2-y0=x2-x0.所以x2-x0=x0-x1,即從左至右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

    第(2)題方法一通過構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),通過函數(shù)的單調(diào)性尋找函數(shù)h(x)在(0,+∞)上存在的唯一零點(diǎn),進(jìn)而找到x0∈(e-2,1),從而得到證明;方法二和方法三采用指數(shù)式與對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行同構(gòu);方法四比較巧妙地通過觀察發(fā)現(xiàn)y=ex與y=lnx互為反函數(shù),y=x+b與y=x-b互為反函數(shù),利用對稱性得到x0-x1=y2-y0,以及kCD=1得到證明.

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