應(yīng)用GeoGebra軟件研究函數(shù)性質(zhì)的實(shí)踐探索
——以“對勾”函數(shù)為例

?海南熱帶海洋學(xué)院附屬中學(xué) 楊春雨 齊立艷

1 應(yīng)用GGB軟件探索函數(shù)性質(zhì)的思考

在初中只是從宏觀上了解函數(shù)的簡單性質(zhì)，對高一學(xué)生來說，剛剛接觸函數(shù)的“對應(yīng)說”，突然要轉(zhuǎn)變觀念從微觀上用符號語言來具體刻畫函數(shù)的性質(zhì)，不僅陌生而且抽象，再加上函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的靈活性，則更顯得茫然.學(xué)生認(rèn)為函數(shù)難懂、難學(xué)，信心受挫，望而卻步.

“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”為解決抽象性這一難點(diǎn)，我們將GGB軟件融于數(shù)學(xué)教學(xué).GGB是基于我們熟悉的描點(diǎn)作圖法，能夠便捷迅速地繪制各種函數(shù)的圖象的計(jì)算機(jī)軟件，對數(shù)與形給予了科學(xué)的完美結(jié)合.借助該軟件生成圖象的動態(tài)過程可以猜想、驗(yàn)證函數(shù)的圖象與性質(zhì).同時該軟件嵌有代數(shù)區(qū)給與數(shù)據(jù)支撐，使問題的解決直觀化、動態(tài)化、數(shù)據(jù)化，形成其獨(dú)特的美感.因此通過GGB軟件，用運(yùn)動與變化的觀念，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，進(jìn)而達(dá)到對函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)深入地理解.GGB軟件可以將直觀的定性分析與利用數(shù)據(jù)定量刻畫相結(jié)合，為學(xué)生研究函數(shù)的性質(zhì)提供了研究思想和方法，并為形成統(tǒng)一的研究路徑提供理論支持.

2 將GGB軟件融入問題式課堂教學(xué)

2.1 問題設(shè)計(jì)的目標(biāo)

以問題串穿針引線，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，有邏輯地思考，能“跳一跳摘到果子”，逐級遞進(jìn)，層層深入，能夠用數(shù)學(xué)的思維解決問題.

2.2 問題設(shè)計(jì)的原則

(1)在知識形成過程的“關(guān)鍵點(diǎn)”上設(shè)置問題，利用GGB軟件促使學(xué)生建立函數(shù)表達(dá)式與圖象間的聯(lián)系.明確是什么函數(shù)？要解決什么問題?

(2)在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問題的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，思考運(yùn)用什么樣的方法解決問題?

(3)在數(shù)學(xué)知識之間的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，設(shè)計(jì)細(xì)小、具體并體現(xiàn)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、多元化、發(fā)展性的問題.

(4)在數(shù)學(xué)問題變式的“發(fā)散點(diǎn)”上， 體現(xiàn)問題的探索性、發(fā)散性和主題性.

(5)亦可考慮問題的趣味性，為激發(fā)學(xué)生的興趣而設(shè).

問題是數(shù)學(xué)的心臟，基于問題鏈的課堂教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生有層級、逐步深入地思考，還為學(xué)生思維上的探索提供了可能性[1].恰當(dāng)?shù)膯栴}，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的作用，引導(dǎo)學(xué)生思考和自主探索，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，體會數(shù)學(xué)研究方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

3 應(yīng)用問題設(shè)計(jì)探索“對勾”函數(shù)性質(zhì)的研究路徑實(shí)例

3.1 觀察結(jié)構(gòu)，確定問題

問題1聯(lián)想前面冪函數(shù)的研究內(nèi)容，你認(rèn)為可以從哪些方面研究這個函數(shù)？

問題2聯(lián)想前面研究冪函數(shù)的路徑和方法，你認(rèn)為可以按照怎樣的路徑研究這個函數(shù)？

問題3按照你構(gòu)建的路徑研究你想到的問題.

用GGB軟件研究函數(shù)是觀察具體函數(shù)圖象上點(diǎn)的運(yùn)動與數(shù)據(jù)的關(guān)系，觀察其變與不變性.回顧已有研究冪函數(shù)的路徑：

具體函數(shù)—圖象特征—數(shù)量刻畫—符號語言—定性分析—抽象定義.

經(jīng)過這個環(huán)節(jié)學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，確定要研究的問題.

3.2 畫圖觀察,數(shù)量刻畫

圖1

經(jīng)歷畫函數(shù)圖象，形成直觀認(rèn)識；跟蹤點(diǎn)的變化趨勢，微觀上刻畫變化規(guī)律.這樣，不僅積累了相關(guān)數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)而且加深了認(rèn)識，建構(gòu)了新知識，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，形成初步的感性認(rèn)識.

詳見：https://www.GGB.org/classic/xgqyszvr

學(xué)生活動：分組討論，互助學(xué)習(xí).可以根據(jù)軟件中提出的問題，逐步回答，得到規(guī)律.

3.3 定性分析，總結(jié)規(guī)律

應(yīng)用GGB軟件呈現(xiàn)動態(tài)圖象的靈動效果，成為感性認(rèn)識的源泉.結(jié)合問題串，運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行定性分析，形成理性判定.

數(shù)學(xué)是思維的體操，需要經(jīng)驗(yàn)的歷練，需要用聯(lián)系的眼光思考和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生思維、遷移能力并使之逐步成為數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.4 抽象總結(jié),符號表達(dá)

3.5 循環(huán)檢驗(yàn),形成路徑

學(xué)生利用GGB軟件經(jīng)歷了探索函數(shù)性質(zhì)的研究過程.其中，思維靈敏的學(xué)生一眼就能看出變化規(guī)律，但也只是感性的，沒有注意到中間的觀察順序，思維較慢的學(xué)生可能并非自己所思，只是順勢完成.所以，探究中要做到兩個循環(huán).一是循環(huán)看動態(tài)圖象，這個變化規(guī)律是否具有任意性，讓學(xué)生懂得知識的完備性.(回答問題6(1).)二是要求學(xué)生回顧研究的路徑，把握問題的思考順序和方向，讓思維形成一個完整的鏈條而非碎片化.(回答問題6(2).)

圖象可點(diǎn)擊GGB軟件網(wǎng)址：https://www.GGB.org/classic/xgqyszvr

3.6 解決問題,實(shí)際應(yīng)用

問題7“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用價值是什么？

例題要建造一個容積為1 200 m3，深為6 m的長方形無蓋蓄水池，池壁的造價為95元/m2，池底的造價為135元/m2，如何設(shè)計(jì)水池的長與寬，才能使水池的總造價控制在7萬元以下，何時造價最低？

關(guān)鍵點(diǎn)：體會利用對勾函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

本問題可解且可用軟件“取極值點(diǎn)”工具進(jìn)行驗(yàn)證.

解答見對勾函數(shù)應(yīng)用(最省問題)-GeoGebra

本例題說明對勾函數(shù)模型的應(yīng)用很廣泛，可以解決很多最優(yōu)化問題，讓學(xué)生了解此模型的應(yīng)用價值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的工具作用.

4 應(yīng)用GGB軟件探究函數(shù)性質(zhì)的研究路徑

數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，通過探究對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，將探究對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)的過程和方法加以總結(jié)并推廣，形成探索一般函數(shù)性質(zhì)的研究路徑.

在這個路徑中，首先培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生聯(lián)想，與前面所學(xué)的知識產(chǎn)生聯(lián)系，哪些知識可用，哪些知識是相似的，采用類比的方法觀察、分析，實(shí)施實(shí)驗(yàn).在這些過程中要了解學(xué)生的思維發(fā)展進(jìn)程，為了讓學(xué)生的思維得以延續(xù)，所以要借助教師的問題串搭建階梯，讓學(xué)生能夠拾階而上，完成數(shù)學(xué)“三種語言的轉(zhuǎn)換”，能夠自己嘗試解決問題.最后設(shè)置實(shí)際應(yīng)用問題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，又反過來可以指導(dǎo)生活，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和育人價值.這也是由過去教師教轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在借助軟件促成學(xué)生學(xué)的研究路徑，也是順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的探索，如圖2.

圖2

5 啟示

史寧中教授說：“信息技術(shù)正在通過與學(xué)科的融合來改造我們的教學(xué)，形成一種全新的教學(xué)模式.”[2]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新課程教學(xué)改革深化的重大成果，基于GGB軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)可視化教學(xué)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑之一，有著巨大的應(yīng)用空間，只有將信息技術(shù)深度融合于教學(xué)內(nèi)容中，并將可視化操作從教師手中轉(zhuǎn)移到學(xué)生手中，才能實(shí)現(xiàn)從形式到內(nèi)涵的轉(zhuǎn)變[3].“多維+互動+實(shí)踐”是一種實(shí)驗(yàn)式教學(xué)模式，它讓教學(xué)活動更生動，能夠促使學(xué)生深入地理解問題，促進(jìn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)，提高課堂效率.