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    應用GeoGebra軟件研究函數(shù)性質(zhì)的實踐探索
    ——以“對勾”函數(shù)為例

    2022-12-19 03:10:48海南熱帶海洋學院附屬中學楊春雨齊立艷
    中學數(shù)學雜志 2022年23期
    關鍵詞:性質(zhì)思維數(shù)學

    ?海南熱帶海洋學院附屬中學 楊春雨 齊立艷

    1 應用GGB軟件探索函數(shù)性質(zhì)的思考

    在初中只是從宏觀上了解函數(shù)的簡單性質(zhì),對高一學生來說,剛剛接觸函數(shù)的“對應說”,突然要轉(zhuǎn)變觀念從微觀上用符號語言來具體刻畫函數(shù)的性質(zhì),不僅陌生而且抽象,再加上函數(shù)性質(zhì)應用的靈活性,則更顯得茫然.學生認為函數(shù)難懂、難學,信心受挫,望而卻步.

    “數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.”為解決抽象性這一難點,我們將GGB軟件融于數(shù)學教學.GGB是基于我們熟悉的描點作圖法,能夠便捷迅速地繪制各種函數(shù)的圖象的計算機軟件,對數(shù)與形給予了科學的完美結合.借助該軟件生成圖象的動態(tài)過程可以猜想、驗證函數(shù)的圖象與性質(zhì).同時該軟件嵌有代數(shù)區(qū)給與數(shù)據(jù)支撐,使問題的解決直觀化、動態(tài)化、數(shù)據(jù)化,形成其獨特的美感.因此通過GGB軟件,用運動與變化的觀念,用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題,進而達到對函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)深入地理解.GGB軟件可以將直觀的定性分析與利用數(shù)據(jù)定量刻畫相結合,為學生研究函數(shù)的性質(zhì)提供了研究思想和方法,并為形成統(tǒng)一的研究路徑提供理論支持.

    2 將GGB軟件融入問題式課堂教學

    2.1 問題設計的目標

    以問題串穿針引線,引導學生用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題、分析問題,有邏輯地思考,能“跳一跳摘到果子”,逐級遞進,層層深入,能夠用數(shù)學的思維解決問題.

    2.2 問題設計的原則

    (1)在知識形成過程的“關鍵點”上設置問題,利用GGB軟件促使學生建立函數(shù)表達式與圖象間的聯(lián)系.明確是什么函數(shù)?要解決什么問題?

    (2)在運用數(shù)學思想方法產(chǎn)生解決問題的“關節(jié)點”上,思考運用什么樣的方法解決問題?

    (3)在數(shù)學知識之間的“聯(lián)結點”上,在學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi),設計細小、具體并體現(xiàn)思維的嚴謹性、多元化、發(fā)展性的問題.

    (4)在數(shù)學問題變式的“發(fā)散點”上, 體現(xiàn)問題的探索性、發(fā)散性和主題性.

    (5)亦可考慮問題的趣味性,為激發(fā)學生的興趣而設.

    問題是數(shù)學的心臟,基于問題鏈的課堂教學可以引導學生有層級、逐步深入地思考,還為學生思維上的探索提供了可能性[1].恰當?shù)膯栴},對學生數(shù)學思維有適度啟發(fā)的作用,引導學生思考和自主探索,讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程,體會數(shù)學研究方法、積累數(shù)學活動經(jīng)驗.

    3 應用問題設計探索“對勾”函數(shù)性質(zhì)的研究路徑實例

    3.1 觀察結構,確定問題

    問題1聯(lián)想前面冪函數(shù)的研究內(nèi)容,你認為可以從哪些方面研究這個函數(shù)?

    問題2聯(lián)想前面研究冪函數(shù)的路徑和方法,你認為可以按照怎樣的路徑研究這個函數(shù)?

    問題3按照你構建的路徑研究你想到的問題.

    用GGB軟件研究函數(shù)是觀察具體函數(shù)圖象上點的運動與數(shù)據(jù)的關系,觀察其變與不變性.回顧已有研究冪函數(shù)的路徑:

    具體函數(shù)—圖象特征—數(shù)量刻畫—符號語言—定性分析—抽象定義.

    經(jīng)過這個環(huán)節(jié)學會“用數(shù)學的眼光觀察世界”,確定要研究的問題.

    3.2 畫圖觀察,數(shù)量刻畫

    圖1

    經(jīng)歷畫函數(shù)圖象,形成直觀認識;跟蹤點的變化趨勢,微觀上刻畫變化規(guī)律.這樣,不僅積累了相關數(shù)學基本活動經(jīng)驗而且加深了認識,建構了新知識,符合學生的認知規(guī)律,形成初步的感性認識.

    詳見:https://www.GGB.org/classic/xgqyszvr

    學生活動:分組討論,互助學習.可以根據(jù)軟件中提出的問題,逐步回答,得到規(guī)律.

    3.3 定性分析,總結規(guī)律

    應用GGB軟件呈現(xiàn)動態(tài)圖象的靈動效果,成為感性認識的源泉.結合問題串,運用數(shù)據(jù)進行定性分析,形成理性判定.

    數(shù)學是思維的體操,需要經(jīng)驗的歷練,需要用聯(lián)系的眼光思考和分析問題,培養(yǎng)學生思維、遷移能力并使之逐步成為數(shù)學素養(yǎng).

    3.4 抽象總結,符號表達

    3.5 循環(huán)檢驗,形成路徑

    學生利用GGB軟件經(jīng)歷了探索函數(shù)性質(zhì)的研究過程.其中,思維靈敏的學生一眼就能看出變化規(guī)律,但也只是感性的,沒有注意到中間的觀察順序,思維較慢的學生可能并非自己所思,只是順勢完成.所以,探究中要做到兩個循環(huán).一是循環(huán)看動態(tài)圖象,這個變化規(guī)律是否具有任意性,讓學生懂得知識的完備性.(回答問題6(1).)二是要求學生回顧研究的路徑,把握問題的思考順序和方向,讓思維形成一個完整的鏈條而非碎片化.(回答問題6(2).)

    圖象可點擊GGB軟件網(wǎng)址:https://www.GGB.org/classic/xgqyszvr

    3.6 解決問題,實際應用

    問題7“對勾”函數(shù)模型的應用價值是什么?

    例題要建造一個容積為1 200 m3,深為6 m的長方形無蓋蓄水池,池壁的造價為95元/m2,池底的造價為135元/m2,如何設計水池的長與寬,才能使水池的總造價控制在7萬元以下,何時造價最低?

    關鍵點:體會利用對勾函數(shù)模型解決實際問題.

    本問題可解且可用軟件“取極值點”工具進行驗證.

    解答見對勾函數(shù)應用(最省問題)-GeoGebra

    本例題說明對勾函數(shù)模型的應用很廣泛,可以解決很多最優(yōu)化問題,讓學生了解此模型的應用價值,體現(xiàn)數(shù)學模型的工具作用.

    4 應用GGB軟件探究函數(shù)性質(zhì)的研究路徑

    數(shù)學是模式的科學,通過探究對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì),將探究對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)的過程和方法加以總結并推廣,形成探索一般函數(shù)性質(zhì)的研究路徑.

    在這個路徑中,首先培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察函數(shù)的結構,產(chǎn)生聯(lián)想,與前面所學的知識產(chǎn)生聯(lián)系,哪些知識可用,哪些知識是相似的,采用類比的方法觀察、分析,實施實驗.在這些過程中要了解學生的思維發(fā)展進程,為了讓學生的思維得以延續(xù),所以要借助教師的問題串搭建階梯,讓學生能夠拾階而上,完成數(shù)學“三種語言的轉(zhuǎn)換”,能夠自己嘗試解決問題.最后設置實際應用問題,讓學生感受數(shù)學來源于生活,又反過來可以指導生活,體現(xiàn)數(shù)學的應用價值和育人價值.這也是由過去教師教轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在借助軟件促成學生學的研究路徑,也是順應學生思維發(fā)展規(guī)律的探索,如圖2.

    圖2

    5 啟示

    史寧中教授說:“信息技術正在通過與學科的融合來改造我們的教學,形成一種全新的教學模式.”[2]數(shù)學核心素養(yǎng)是新課程教學改革深化的重大成果,基于GGB軟件進行數(shù)學可視化教學是提升數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑之一,有著巨大的應用空間,只有將信息技術深度融合于教學內(nèi)容中,并將可視化操作從教師手中轉(zhuǎn)移到學生手中,才能實現(xiàn)從形式到內(nèi)涵的轉(zhuǎn)變[3].“多維+互動+實踐”是一種實驗式教學模式,它讓教學活動更生動,能夠促使學生深入地理解問題,促進學生的有效學習,提高課堂效率.

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