活用“平移齊次式” 妙解五年高考題

河北 郭天總 尹戰(zhàn)平

2022年新高考Ⅰ卷的數(shù)學(xué)試題給廣大考生留下了深刻的印象，好似一石激起千層浪，成了廣泛議論的話題，網(wǎng)上對這套試題的評價是“難”，那到底難在哪兒了呢？就21題來說，這是一道中規(guī)中矩的以兩直線斜率之和為定值考查直線與雙曲線位置關(guān)系的問題，本題如果按照常規(guī)的通性通法去做，計算量確實(shí)很大，在考場上要想完整做對確實(shí)有難度，但如果能夠抓住“兩直線斜率之和為定值”這一條件，用“平移齊次式”去處理這個問題，可以起到事半功倍的效果，這也充分體現(xiàn)高考試題的選拔性.下面筆者就如何使用“平移齊次式”解決斜率之和或斜率之積為定值的問題進(jìn)行簡單的闡述，希望對各位同仁有所幫助.

一、“平移齊次式”的原理與步驟

“平移齊次式”的原理是將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到定點(diǎn)，這樣問題就轉(zhuǎn)化為一條直線與平移后的圓錐曲線的兩個交點(diǎn)分別與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率之和或之積的問題.需要注意的是坐標(biāo)原點(diǎn)平移后，圓錐曲線的方程、點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程都會發(fā)生變化，但直線的斜率不會發(fā)生變化，“平移齊次式”正是利用這一點(diǎn)優(yōu)化了解題過程，減少了計算量.

“平移齊次式”的基本步驟可以概括為一平移、二化簡、三聯(lián)立、四齊次、五韋達(dá).下面以橢圓為例具體說明一下：

二化簡：①式可化簡為b2x2+a2y2+(2pb2x+2qa2y)+(b2p2+a2q2-a2b2)=0； ②

三聯(lián)立：設(shè)平移后的直線方程為mx+ny=1，把②中的常數(shù)項(b2p2+a2q2-a2b2)乘以(mx+ny)2，一次項(2pb2x+2qa2y)乘以mx+ny;

“平移齊次式”的優(yōu)點(diǎn)是大大減少了計算量，節(jié)約了時間，提高了準(zhǔn)確率.缺點(diǎn)是mx+ny=1不能表示過原點(diǎn)的直線.需要注意：如果題目是過定點(diǎn)問題，還需要把直線方程還原到原來直角坐標(biāo)系中去求定點(diǎn).

二、“平移齊次式”速解高考題

下面談一下如何利用“平移齊次式”求解2022年新高考Ⅰ卷第21題.

(1)求l的斜率；

整理得,x2-2y2+4x-4y=0， (*)

設(shè)平移后的直線PQ的方程為mx+ny=1，

則(*)式可化為x2-2y2+(4x-4y)(mx+ny)=0，

整理得，(4n+2)y2+(4m-4n)xy-(1+4m)x2=0，

兩邊同除以x2(x≠0)得，

又已知直線AP,AQ的斜率之和為零，

則平移后直線PQ的方程為nx+ny=1，

所以直線l的斜率為-1.

又已知直線AP,AQ的斜率之和為零，

消去y得9x2-24x-16=0，設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，

【思路點(diǎn)撥】第(1)問的解法是利用了“平移齊次式”，整個解題過程簡潔明了，計算量也??；因為平移對△PAQ的面積沒有影響，所以第(2)問是在平移后的坐標(biāo)系中求△PAQ的面積.

【方法對比】本題的常規(guī)解法：一種是設(shè)出直線PA的方程，與雙曲線C的方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用kAP+kAQ=0，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用斜率公式求出直線l的斜率；另一種是設(shè)出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用kAP+kAQ=0及韋達(dá)定理建立關(guān)于直線l斜率的方程來求解.這兩種方法是考生最容易想到的方法，但是計算量比較大，考生要想在有限的時間內(nèi)完全做對，有一定的困難.

【試題點(diǎn)評】該試題充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)倡導(dǎo)下的試題特點(diǎn)，即“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”，此類題目要求學(xué)生具備解決較復(fù)雜問題的綜合素質(zhì)，同時對學(xué)生思維的靈活性、探究性、創(chuàng)造性及方法的綜合運(yùn)用要求也比較高，這樣的題目有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，有利于高校選拔人才，有利于為國家培養(yǎng)創(chuàng)新型人才.

三、“平移齊次式”常考常新

“平移齊次式”這一方法在以往的高考中“出鏡率”還是很高的，在2020年、2018年、2017年、2015年的全國卷Ⅰ中，關(guān)于解析幾何的解答題都可以用此法來解決.詳細(xì)過程如下：

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

因為P為直線x=6上的動點(diǎn)，故設(shè)P(6,t)，

又因為kPA=kCA,kPB=kDB，

整理得，x2+9y2+6x=0， (*)

設(shè)平移后的直線CD的方程為mx+ny=1，

則(*)式可化為x2+9y2+6x(mx+ny)=0，

整理得，(1+6m)x2+9y2+6nxy=0，

兩邊同除以x2(x≠0)得，

(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

【解析】(1)略;(2)要證∠OMA=∠OMB，即證kMA+kMB=0，

整理得，x2+2y2+4x+2=0， (*)

點(diǎn)F(1,0)平移后的坐標(biāo)為(-1,0)，

故設(shè)平移后直線l的方程為-x+ny=1，

則(*)式可化為x2+2y2+4x(-x+ny)+2(-x+ny)2=0，

所以∠OMA=∠OMB.

另外，2017、2015年全國卷Ⅰ理科第20題，這兩道試題也可以用“平移齊次式”來解答.有興趣的讀者可以自己嘗試做一下.

四、解題心得

如果從“平移齊次式”這個角度去評價2022年新高考Ⅰ卷的第21題，那么該題也不應(yīng)算是難題，關(guān)鍵是學(xué)生在備考中是否研究過歷年高考真題.有關(guān)歷年高考真題的資料到處都有，學(xué)生手里也有各種各樣關(guān)于這方面的資料，但是為何看到2022年新高考Ⅰ卷的第21題就懵圈了呢？這說明學(xué)生平時只是一味地刷題，做完題后沒有反思，沒有對解題思路與步驟進(jìn)行整理.做題只是學(xué)習(xí)的一個步驟而已，做完題后一定要反思，俗話說得好，不怕不會做，就怕會總結(jié)，做完一道題，一定要問自己，在這道題目上學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想.這道題有幾種解法？哪種方法是通性通法？哪種方法是專題專法？這道題屬于什么題型？這道題還能怎么變？命題人是怎樣命出這道題目的？想考查學(xué)生什么？只有這樣學(xué)習(xí)才能獲得必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

五、結(jié)束語