指向直觀想象素養(yǎng)階段性評價的區(qū)域備考探索
——以高考復(fù)習(xí)階段中的立體幾何題為例

湖北 周 威

1 基于立體幾何命題，聚焦直觀想象素養(yǎng)階段性評價

直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱課標(biāo))對直觀想象素養(yǎng)的描述為借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展具有連續(xù)性和階段性.因此，高考復(fù)習(xí)備考需要關(guān)注核心素養(yǎng)的階段性發(fā)展和評價.在高考和各種模擬考試中,學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的階段性評價可以從立體幾何試題的命題設(shè)計(jì)、考試結(jié)果以及問題的變式或一題多解等方面來體現(xiàn)，那么如何來呈現(xiàn)這種階段性發(fā)展和階段性評價呢？筆者以為，可以以高三復(fù)習(xí)備考中的一、二輪復(fù)習(xí)階段作為研究對象，分別以兩階段復(fù)習(xí)中的兩次區(qū)域聯(lián)考作為監(jiān)測工具，首先從高考命題規(guī)律中把握必備知識、關(guān)鍵能力的考查要求；其次是確定學(xué)生的一輪復(fù)習(xí)階段現(xiàn)有水平以及經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)后學(xué)生可能達(dá)到的發(fā)展水平；最后是通過同類型必備知識的問題變式或一題多解，提升學(xué)生不同復(fù)習(xí)階段的直觀想象素養(yǎng)水平.因此，筆者接下來將從這一角度闡述直觀想象素養(yǎng)在一、二輪復(fù)習(xí)備考階段的發(fā)展和評價.

統(tǒng)計(jì)近幾年立體幾何大題考點(diǎn)不難發(fā)現(xiàn),高考中的立體幾何解答題以學(xué)生所熟知的空間幾何體為載體，采用“證明+計(jì)算”的設(shè)問方式(即第(1)問主要考查點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的證明，第(2)問考查空間角、體積的計(jì)算)，突出基礎(chǔ)知識，注重?cái)?shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，對培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)有積極意義.因此，對于本屆高三的學(xué)生，兩次區(qū)域聯(lián)考立體幾何題都定位于19題位置，必備知識和關(guān)鍵能力可設(shè)置如下表，并都確定為數(shù)學(xué)探究問題.

表1 兩次區(qū)域聯(lián)考立體幾何題雙向細(xì)目表

2 基于四棱錐模型，體現(xiàn)兩輪復(fù)習(xí)階段直觀想象水平

四棱錐模型是高考中的常規(guī)模型，一般考查其底面為平行四邊形或?yàn)樘菪蔚那樾?因此，第一輪復(fù)習(xí)階段的區(qū)域聯(lián)考立體幾何題可以將四棱錐模型底面設(shè)置為梯形，第一問考查線面垂直的證明方法，定位基礎(chǔ)題；第二問考查是否存在點(diǎn)使得面面垂直的數(shù)學(xué)探究問題，定位常規(guī)而又不乏味的中檔題.第二輪復(fù)習(xí)階段的區(qū)域聯(lián)考可以將底面設(shè)置為平行四邊形，第一問考查面面垂直的證明方法，同樣定位基礎(chǔ)題；第二問考查面與面不垂直的情形下，已知二面角尋找點(diǎn)的位置的數(shù)學(xué)探究問題.因此，兩次區(qū)域聯(lián)考命題意圖類似、考點(diǎn)類似、證明或計(jì)算方法類似，可以更好地反映出學(xué)生兩輪復(fù)習(xí)階段的實(shí)際水平.

2.1 一輪復(fù)習(xí)階段學(xué)生直觀想象水平描述

【例1】(恩施州2022屆高三第一次質(zhì)檢·19)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=AD=PA=2CD=4，G為PD的中點(diǎn).

(1)求證：AG⊥平面PCD;

(2)若點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)，線段PC上是否存在一點(diǎn)H，使得平面GHF⊥平面PCD？若存在，請確定H的位置；若不存在，請說明理由.

解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.

又AD⊥AB,DA∩PA=A，所以AB⊥平面PAD,

又AB∥CD,所以CD⊥平面PAD.

又AG?平面PAD,所以CD⊥AG.

又PA=AD,G為PD的中點(diǎn)，所以AG⊥PD,PD∩DC=D,所以AG⊥平面PCD.

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB，AP所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),C(4,2,0),P(0,0,4),F(0,2,2),G(2,0,2)，

設(shè)平面GHF的法向量為n=(x,y,z),

可取n=(2k-1,2k-1,3k-1)，

水平描述：此題均分3.9分，難度系數(shù)0.33，區(qū)分度0.74.從難度系數(shù)看，是屬于中檔偏難題.學(xué)生答題主要是通過向量坐標(biāo)法.課標(biāo)對“立體幾何”部分的學(xué)業(yè)要求為：能夠運(yùn)用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果.能夠證明簡單的幾何命題(平行、垂直的性質(zhì)定理)，并會進(jìn)行簡單應(yīng)用.與學(xué)業(yè)要求對比，出現(xiàn)的問題如下：首先，學(xué)生不能用符號語言準(zhǔn)確表達(dá)線線關(guān)系、線面關(guān)系及面面關(guān)系;其次，應(yīng)用中學(xué)生解決問題方法單一，計(jì)算能力較差，解決實(shí)際問題能力不足.因此，在以后的復(fù)習(xí)中注重符號語言的表達(dá)、書寫規(guī)范，要注重引導(dǎo)學(xué)生一題多解，從不同的角度分析問題，加強(qiáng)對學(xué)生“解決數(shù)學(xué)問題”能力的培養(yǎng).

2.2 二輪復(fù)習(xí)階段學(xué)生直觀想象水平描述

【例2】(恩施州2022屆高三第二次質(zhì)檢·19)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，兩點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段PB，BC上的動點(diǎn).

(1)若E為線段PB的中點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC；

解:(1)證明:由PA⊥底面ABCD，BC?平面ABC,可得PA⊥BC.又在正方形ABCD中，BC⊥AB，且PA∩AB=A，則BC⊥平面PAB.又AE?平面PAB，有BC⊥AE.

由PA=AB，E為PB中點(diǎn)，可得AE⊥PB.

又PB∩BC=B，則AE⊥平面PBC.又AE?平面AEF，從而平面AEF⊥平面PBC.

(2)如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，

取y=1，則x=-λ，z=1-λ，即n=(-λ,1,1-λ).

水平描述:此題區(qū)域均分4.9分，難度系數(shù)0.41，區(qū)分度0.7.從難度系數(shù)看，對于區(qū)域內(nèi)學(xué)生來說，依然屬于中檔偏難題，第一問“幾何關(guān)系的證明”得分得到了提升，這說明一定程度上，學(xué)生對“幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化”理解增強(qiáng)，然而對比課標(biāo)“學(xué)業(yè)要求”，出現(xiàn)的問題依然有：學(xué)生對垂直部分的判定定理和性質(zhì)定理的轉(zhuǎn)化能力弱、長度關(guān)系的符號語言與點(diǎn)線面位置關(guān)系的圖形語言轉(zhuǎn)化能力不夠；第二問大部分學(xué)生都基本能采用向量坐標(biāo)方法建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用合適的向量模型，將相對困難的邏輯推理問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算來解決，直觀想象素養(yǎng)得到了提升，但依然計(jì)算能力差.這也說明直觀想象素養(yǎng)并不是孤立的，直觀想象素養(yǎng)的提升與邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)密切相關(guān).

與學(xué)生一輪復(fù)習(xí)階段直觀想象水平比較，區(qū)域均分有小幅度提升，針對歷年高考得分情況，進(jìn)步是明顯的.出現(xiàn)的問題依然是數(shù)學(xué)符號語言的描述不夠嚴(yán)謹(jǐn)和準(zhǔn)確；在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面，計(jì)算能力依然較差.這說明，在學(xué)生直觀想象水平發(fā)展的過程中，不僅要關(guān)注學(xué)生對知識技能掌握的程度，還要更多地關(guān)注學(xué)生的思維過程，判斷學(xué)生是否會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，是否會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，是否會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.因此，以后的立體幾何復(fù)習(xí)階段，要加強(qiáng)將數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力提升和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提升融入到不同的解題策略當(dāng)中.

2.3從不同解題策略提升直觀想象素養(yǎng)

立體幾何中常見的解法包括空間向量坐標(biāo)法、基向量法、幾何法、補(bǔ)形法(融入立體幾何模型)、投影面積法等，除了空間向量坐標(biāo)法，其他解法也能很好地考查空間想象能力，提升理性思維能力，這就是“一題多解”的好處.因此，解法的多樣性十分有助于提升學(xué)生直觀想象水平，既能展現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成過程，又體現(xiàn)了學(xué)生在具體的問題情境中，結(jié)合個人實(shí)際、靈活選擇方法、應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的過程.

如圖，作HH′⊥PA于點(diǎn)H′，QQ′⊥PA于點(diǎn)Q′.

【例2】解法2(幾何法)：設(shè)M為PB的中點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)E在線段PM上時，過PB的中點(diǎn)M作MH⊥EF，連接AH.易知AM⊥平面PBC，EF?平面PBC,可得AM⊥EF.又MH∩AM=M，則EF⊥平面AMH，從而可知∠AHM為平面AEF與平面PBC所成夾角.

綜上，可知F為BC的三分點(diǎn).

【例2】解法3(投影面積法)：設(shè)M為PB的中點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)E在線段PM上時，連接AM與MF，易知AM⊥平面PBC，可得△MEF為△AEF在平面PBC中的投影.

設(shè)AB=1，BF=λBC=λ.

在△AEF中，

設(shè)θ為平面AEF與平面PBC的夾角，

3 結(jié)語