順應(yīng)“三新”研究趨勢(shì) 探索變式教學(xué)模式
——“數(shù)學(xué)經(jīng)典試題及變式”征集活動(dòng)解析幾何題組精選

一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

【甘肅 彭長(zhǎng)軍】

(1)求l的斜率；

【試題分析】考查知識(shí)：點(diǎn)、直線與雙曲線的位置關(guān)系，斜率公式、弦長(zhǎng)公式以及二倍角正切公式等；解題方法：常規(guī)方法、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用；綜合拓展：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題.

【解題策略】充分利用已知條件并結(jié)合相關(guān)知識(shí)用常規(guī)方法求解，相應(yīng)解題步驟的思維導(dǎo)圖如下：

思路1--根據(jù)已知條件確定a后寫(xiě)出雙曲線C的方程，在此基礎(chǔ)上，將直線l的方程設(shè)為y=kx+m.--將直線l的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式可求得直線AP和AQ的斜率之和；接著利用第(1)小問(wèn)的結(jié)論及第(2)小問(wèn)的條件可求出弦PQ的長(zhǎng)及點(diǎn)A到直線l的距離，進(jìn)而利用三角形面積公式求得結(jié)果.

思路2--在確定雙曲線C的方程后可將直線AP的方程設(shè)為點(diǎn)斜式，將其代入雙曲線C的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2可表示出xp，進(jìn)而可表示出yp,進(jìn)而可得直線AB的參數(shù)方程.--將xp,yp中的k換成-k便可表示出xQ,yQ,進(jìn)而利用斜率公式可求得直線AP和AQ的斜率之和；接著利用第(1)小問(wèn)的結(jié)論及第(2)小問(wèn)的條件可求出直線AP的斜率，進(jìn)而可求得P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得|AP|,|AQ|，再由三角函數(shù)知識(shí)可求得sin∠PAQ，最后利用面積公式可求得結(jié)果.

【解法1】點(diǎn)撥：常規(guī)方法求解——從直線l入手，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式等求解

(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m，將其代入x2-2y2-2=0，得(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0(1-2k2≠0),

由直線l與雙曲線C相交于P,Q兩點(diǎn)，知Δ>0，

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

亦即(x2-2)(kx1+m-1)+(x1-2)(kx2+m-1)=0，

化簡(jiǎn)整理，得

2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0. ②

將①代入②并化簡(jiǎn)整理，得(k+1)(2k+m-1)=0，

當(dāng)2k+m-1=0時(shí)，m=1-2k，此時(shí)直線l的方程為y=k(x-2)+1，直線l過(guò)點(diǎn)A(2,1),與是沒(méi)不符.

∴k+1=0，即k=-1.

(2)當(dāng)k=-1時(shí)，x1+x2=4m，x1x2=2(m2+1)，且m2>1，

由點(diǎn)P(x1,y1)在直線l上，得y1=-x1+m.③

又直線AP的方程為y-1=k1(x-2)，

∴y1-1=k1(x1-2), ④

由③④，得m=(k1+1)x1+1-2k1, ⑤

同理可得m=(-k1+1)x2+1+2k1. ⑥

∴(x2-x1)2=32(m-1)2，

即(x2+x1)2-4x1x2=32(m-1)2，

∴16m2-8(m2+1)=32(m-1)2，

化簡(jiǎn)整理，得3m2-8m+5=0，

【解法2】點(diǎn)撥：常規(guī)方法求解——從直線AP入手，利用根與系數(shù)的關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離公式等求解

(1)設(shè)直線AP的斜率為k，則直線AQ的斜率為-k.

于是直線AP的方程為y-1=k(x-2)，

即y=kx+(1-2k)，將其代入x2-2y2-2=0，

得(2k2-1)x2+4k(1-2k)x+4(2k2-2k+1)=0，

(2)若直線AP的斜率為k(k≠-1,否則A，P，Q三點(diǎn)共線)，則直線AQ的斜率為-k.

【點(diǎn)評(píng)】1.解法1雖然容易上手，但過(guò)程繁雜，有些地方不易想到，如在確定斜率的值時(shí)，對(duì)2k+m-1=0的討論，又如在確定m的值時(shí)，過(guò)程復(fù)雜且不易想到.解法2不易上手，但過(guò)程比解法1簡(jiǎn)單且運(yùn)算量小.

2.△PAQ的面積也可用向量的數(shù)量積求得，即

【甘肅 彭長(zhǎng)軍】

【變式1】(知識(shí)變式)對(duì)調(diào)條件與結(jié)論并對(duì)結(jié)論加以應(yīng)用

(1)求直線AP,AQ的斜率之和；

(2)若△APQ是等邊三角形，求直線l的方程及直線AP的斜率.

【答案】(1)0；

【河北 趙偉娜】

【變式2】(方法變式)以圓的切線形式給出兩直線斜率互為相反數(shù)信息，求直線方程

(2021·八省市聯(lián)考·7)已知拋物線y2=2px(p>0)上三點(diǎn)A(2，2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為

( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

【答案】B

【廣東 黃威】

【變式3】(綜合變式)由kAP+kBP=λ(λ≠0)推廣到kAP×kBP=λ(λ≠0)

【答案】(6,-3)

【貴州 李寒】

【母題2】(2022·全國(guó)新高考Ⅱ卷·10)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF|=|AM|，則

( )

B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF|

D.∠OAM+∠OBM<180°

【試題分析】考查知識(shí)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系.

解題方法：數(shù)形結(jié)合，聯(lián)立方程；運(yùn)用定義和向量；綜合素養(yǎng)：基于直線與拋物線的位置關(guān)系考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);

綜合拓展：依據(jù)題設(shè)可知正確選項(xiàng)得到的結(jié)論具有一般性.

【解題策略】本題主要考查利用直線與拋物線的位置關(guān)系及應(yīng)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等方法來(lái)解決，落實(shí)基礎(chǔ)性的考查.

【方法總結(jié)】圓錐曲線問(wèn)題的本質(zhì)是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)，圖形問(wèn)題代數(shù)化是解析幾何的本質(zhì).求解圓錐曲線問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到最好的方法解決問(wèn)題，注重回歸定義、聯(lián)立方程、數(shù)形結(jié)合利用幾何性質(zhì)，或利用向量知識(shí)等，相比用固定解題程序，能更快地找到簡(jiǎn)捷的解題方法.

【吉林 韓兆峰】

【變式1】(知識(shí)變式)由線段相等為垂直的變式

C.|AB|<|OM| D.∠AOB>120°

【答案】ACD

【甘肅 董宏杰】

【變式2】(方法變式)側(cè)重代數(shù)與幾何方法對(duì)比，優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

【答案】C

【吉林 韓兆峰】

【變式3】(綜合變式)依據(jù)直線與圓錐曲線的關(guān)系確定直線方程的變式

設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(2,0)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.若直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，直線AB的方程是________.

二、圓錐曲線中范圍與最值問(wèn)題

【江西 葉新波 葉軍水】

【母題】(2022·全國(guó)甲卷文·21)設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

【試題分析】考查知識(shí)：焦半徑公式，求拋物線方程，直線與圓錐曲線，函數(shù)最值;

解題方法：數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程，化歸與轉(zhuǎn)化

綜合拓展：角度差量最值轉(zhuǎn)化為斜率最值，利用函數(shù)處理最值問(wèn)題.

【解題策略】

(1)焦半徑公式→p→拋物線方程;

(2)畫(huà)出圖象→討論MN斜率不存在→k存在設(shè)點(diǎn)，設(shè)線，得出y1與y3，y2與y4的關(guān)系→利用傾斜角與斜率的關(guān)系得出tan(α-β)→將直線與拋物線聯(lián)立獲得關(guān)于m的式子→利用函數(shù)處理最值→得出直線AB方程;

所以拋物線C的方程為y2=4x.

Δ>0,y1y3=-8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，

又因?yàn)橹本€MN，AB的傾斜角分別為α,β，

設(shè)kMN=2kAB=2k>0，

Δ>0，y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以n=4，

【方法總結(jié)】此題在2010年的四川初賽試題定值的基礎(chǔ)上增加了求最值，掩蓋定值，增強(qiáng)了問(wèn)題的探究性，是一道優(yōu)秀的壓軸題改編樣本.角度差量最值轉(zhuǎn)化為斜率最值，綜合利用聯(lián)立代換轉(zhuǎn)化等綜合方法，考查學(xué)生運(yùn)算能力，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，是一道不可多得的優(yōu)秀壓軸題.

【江西 葉新波】

【變式1】(知識(shí)變式)描述命題背景分析，二次曲線中的蝴蝶定理

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

【江西 葉新波】

【變式2】(綜合變式)在母題考查的基本知識(shí)與基本方法基礎(chǔ)上，增加一條直線斜率，通過(guò)三個(gè)斜率等量關(guān)系，得出參數(shù)值，再根據(jù)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出直線方程

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)Q(2,0)的直線l1與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線l2：x=m上任意一點(diǎn)，設(shè)直線RM,RQ,RN的斜率分別為k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，求l2的方程.