見山非山 舉一反三
——以2022年全國新高考I卷第21題為例

廣東 黃林盛

《中國高考評價體系》指出，綜合性要強調(diào)融會貫通.直線與圓錐曲線的問題具有很強的綜合性，考查的落腳在定點、動點、定直線、動直線與曲線的位置關系.在考查“四基”與“四能”的同時體現(xiàn)核心素養(yǎng)立意，引導師生在經(jīng)歷解決問題的過程中探究問題背景知識的發(fā)生與發(fā)展過程，以達到掌握問題的本質(zhì).本文對2022年全國新高考Ⅰ卷第21題進行多角度剖析、一題多解，為圓錐曲線的教學提出幾點思考，與同行交流.

1.真題呈現(xiàn)，妙法迭出

(1)求l的斜率;

1.1 試題分析

本題文字敘述簡潔明了，設問方式平易近人，第(1)問與以往不同，不是簡單的求曲線方程，容易給考生帶來一定心理壓力.本題從知識層面看，主要考查雙曲線的標準方程、直線與雙曲線的位置關系以及張角模型中三角形面積問題.試題的重點是將題設中的幾何條件進行代數(shù)化，難點是選擇恰當?shù)姆椒▋?yōu)化運算；從能力層面上看，突出考查考生數(shù)形結合思想和邏輯思維能力、運算求解能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，是學科素養(yǎng)中“研究探索”方面的要求.

1.2 解法剖析

剖析一：問“道”于題，循“敘”漸進

設直線l的方程為y=kx+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由題知A(2,1),

∴2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,

∴2k2+k-1+km+m=0，(k+1)(2k-1+m)=0,

當2k-1+m=0時,m=1-2k,

直線l方程為y=kx+1-2k=k(x-2)+1，恒過定點A(2,1)不可能，舍去.

∴k=-1.

以下同算法1.

評注：此解法是通法，遵循題目的表述，翻譯成數(shù)學符號，逢相交便聯(lián)立，遇交點求坐標，是圓錐曲線綜合問題的常規(guī)求解思路，但未經(jīng)等價轉化的運算比較繁雜.

剖析二：活用“算”理，統(tǒng)籌全局

解法二：(齊次化)設PQ:m(x-2)+n(y-1)=1，

(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0，

聯(lián)立(齊次化)可得

即PQ:m(x+y-3)=1，

故kPQ=-1，在第(2)中易得kPAkQA=-2，

則lPQ:3x+3y-5=0，以下同解法一.

評注：抓住題目條件與特征，結合兩直線斜率和為零的條件，求解另一直線的斜率為定值.充分厘清題目的背景與題意，同時又要跳出“題面”，進行全局審視，通過構造關于斜率的一元二次方程，借助整體思維，從而得到這個關鍵代數(shù)式，達到轉化求解的目的.

剖析三：轉換視角，從“曲”到“直”

對于斜率最容易想到的就是利用斜率公式來進行表示，在圓錐曲線中，如果要表示某條弦所在直線的斜率，常用兩種方法：利用斜率公式和利用點差法.

本題可以運用點差法將點在雙曲線上轉化到直線上，從而同構出直線方程，以達到減少運算量的目的.

解法三：(同構直線)算法1(點差法)：

由題意可得kAP+kAQ=0,

化簡有2y1y2+2(y2-y1)+x1x2+2(x2-x1)-6=0④，

2y1y2+2(y1-y2)+x1x2+2(x1-x2)-6=0⑤，

將P(x1,y1),Q(x2,y2)代入上式有

以下同算法1.

評注：通過點差法將點在雙曲線上轉換到直線上，體現(xiàn)整體思想.對運算法則、運算思路、選擇運算方法有較高的要求.有些學生對圓錐曲線上的兩個動點運用點差法很熟練，但是當其中一個點換成定點之后就想不到用點差法了，這是對點差法理解不夠深刻的原因.設點過程中若不能“減元設點”，意味著參與運算的變量過多，進而導致“趨同組合”的方式靈活多變，操作難度加大，不過若“趨同組合”成功，解題便柳暗花明變得異常簡單，所以設點法的運算具有“多想少算”的特點.

2 真題互鑒，題源追溯

2.1 真題互鑒

(1)求C的方程；

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

(1)證明:△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上;

(2)若∠APB=60°，求△PAB的面積.

從真題1、真題2、真題3以及2022年全國新高考Ⅰ卷第21題來看，考查一致的核心知識點是直線與圓錐曲線的位置關系、兩直線斜率之和為定值的問題.2022年全國新高考Ⅰ卷第21題第(1)問是2021年全國新高考Ⅰ卷四點共圓的退化情形，是真題2的特殊，與真題3更是如出一轍.本文從基本解法到巧妙解法的呈現(xiàn)遵循了“拾級而上”的思維升華，體現(xiàn)了豐富的數(shù)學思想方法.通過對思想方法進行深度挖掘，探究其本質(zhì)，掌握其規(guī)律,以達到運用數(shù)學的思想方法促使數(shù)學試題“成群生長”的目的.

2.2 題源追溯

通過對試題的剖析和多種解法及與三道歷年真題互鑒，發(fā)現(xiàn)2022年全國新高考Ⅰ卷第21題第(1)問是一類兩直線斜率的和為定值，使得直線斜率為定值(或定點)的問題.下面進行題源追溯，可得到更多一般結論.

結論1(普通高中課程標準實驗教科書人教A版數(shù)學選修4-4坐標系與參數(shù)方程第38頁例4引申)已知AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P，兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2，則|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

結論2(2022年全國新高考Ⅰ卷第21題出題背景)當點P(x0,y0)(y0≠0)在曲線上時，過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，與曲線的另外兩個交點分別為A,C，則直線AC的斜率為定值.

證明過程略.

將結論2的兩直線斜率和與積的定值一般化，可得到結論2的推廣.

推廣：設P(x0,y0)是曲線λx2+μy2=1(λμ≠0)上的一個定點,PA,PB是該曲線的兩條弦,其所在直線的斜率分別為k1,k2.則

k1+k2=0?直線AB的方向向量為(μy0,λx0).

通過對試題第⑵問剖析真題3進行互鑒，可以發(fā)現(xiàn)這是圓錐曲線張角模型中三角形面積問題，可得到一般結論.

運用結論3.1解答2022年全國新高考Ⅰ卷第21題第(2)問如下：