立足基礎(chǔ) 強(qiáng)化理解 突出變式 提升素養(yǎng)
——由2022年全國(guó)乙卷理科第21題引發(fā)的思考

安徽 張 剛

一、問題提出

2022年全國(guó)乙卷第21題是在國(guó)內(nèi)疫情持續(xù)小范圍爆發(fā)的社會(huì)大環(huán)境以及新高考課程和評(píng)價(jià)體系改革持續(xù)推進(jìn)的背景下命制的試題，試題體現(xiàn)出立足基礎(chǔ)知識(shí)，重視數(shù)學(xué)理解，強(qiáng)化靈活運(yùn)用，考查核心素養(yǎng)，注重平穩(wěn)過渡的命題原則.本題重點(diǎn)考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，這類試題可以很好地考查基本函數(shù)求導(dǎo)的運(yùn)算能力，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化化歸思想，分類討論思想，較好地實(shí)現(xiàn)篩選功能，本文以全國(guó)乙卷理科第21題為例，對(duì)試題進(jìn)行深入分析，希望能夠給我們的高考復(fù)習(xí)備考提供幫助.

二、原題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析一：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ln(1+x)+x·e-x，

所以f′(0)=1+1=2，

因?yàn)閒(0)=0，

所以所求切線方程為y-0=2·(x-0)，即y=2x.

所以f(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上無零點(diǎn)，不符合題意.

令g(x)=ex+a(1-x2)，則g′(x)=ex-2ax，

g′(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，g′(-1)=e-1+2a，g′(0)=1，

(ⅱ)當(dāng)g(0)<0，即a<-1時(shí)，存在x1,x2使f(x)在(-1,x1)，(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減.

因?yàn)閒(0)=0，所以f(x1)>f(0)=0，

當(dāng)x→-1時(shí)，f(x)<0，所以f(x)在(-1,x1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)在(-1,0)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)閒(0)=0，

當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(x2,+∞)上存在一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)在(0，+∞)上存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，a的取值范圍是(-∞,-1).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查曲線在某點(diǎn)處的切線方程、分類討論思想、零點(diǎn)存在問題等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.解決此類問題的關(guān)鍵：一是會(huì)求基本函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，借助在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值即為斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程；二是根據(jù)函數(shù)f(x)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貙?duì)參數(shù)a進(jìn)行合理分類，討論判斷該區(qū)間有無零點(diǎn)存在，而局部構(gòu)造合理的新函數(shù)，研究單調(diào)性是判斷零點(diǎn)存在的關(guān)鍵所在，對(duì)于隱零點(diǎn)問題，有時(shí)可考慮設(shè)而不求思想，繼續(xù)探究新函數(shù)的單調(diào)性，從而逼出參數(shù)的取值范圍，這也是難點(diǎn)所在.

三、試題探究

1.知識(shí)探源

最近5年(2018年-2022年)全國(guó)乙卷(含全國(guó)Ⅰ卷)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的考查方向，列表如下

續(xù)表

從上表我們可以得出一些結(jié)論：(1)從命題變化的方向來看，試題方向更加明確,側(cè)重考查學(xué)生“四翼”，更加強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)以及綜合性的融會(huì)貫通.(2)從考查的重點(diǎn)來看，試題越來越注重導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯問題.例如，2018年、2019年、2021年均涉及考查極值點(diǎn)問題.2018年、2019年、2022年均涉及考查零點(diǎn)問題.2020年、2022年均涉及考查參數(shù)的取值范圍問題.(3)從設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)來看，試題越來越綜合，強(qiáng)化關(guān)鍵能力的理解與運(yùn)用，注重考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新思維.例如，2018年到2022年大部分年份試題的第1問都是低起點(diǎn)、重基礎(chǔ)，第2問就加大思維考查難度，需要通過轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、參變分離、構(gòu)造新函數(shù)等思想與方法相結(jié)合，綜合處理數(shù)學(xué)問題.(4)2022年試題計(jì)算量較大也是一個(gè)很大地挑戰(zhàn)，未來高考數(shù)學(xué)試題將會(huì)持續(xù)保持這一趨勢(shì)，這也是國(guó)家人才戰(zhàn)略發(fā)展的必然要求.

3.解法探究

2022年全國(guó)乙卷第21題的第1問這里不再展開敘述.下面重點(diǎn)對(duì)第2問進(jìn)行深入分析，普遍性的解法就是對(duì)參數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)分類，再構(gòu)造新函數(shù)判斷單調(diào)性，確定零點(diǎn)存在情況.借助新函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的關(guān)鍵是如何恰當(dāng)分類，這也是本題的難點(diǎn)所在.

基于以上理解，我們也可以先參變分離，再?gòu)亩吻髮?dǎo)(或數(shù)形結(jié)合)入手，解決此類問題.筆者經(jīng)過思考分析，給出如下解法.

解析二：參變分離，二次求導(dǎo)法

令g(x)=exln(x+1)+ax=exf(x)(x>-1)，

于是g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0與g(x)在(0，+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)矛盾.

(2)若a<-1，

g′(x0)

存在x1∈(-1,x0)，x2∈(0,-a)，使得g′(x1)

解析三：參變分離，數(shù)形結(jié)合法

令exf(x)=0?-ax=exln(1+x)，

令y=-ax，h(x)=exln(1+x)，

當(dāng)-10時(shí)，l′(x)>0，

從而l(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，而l(0)=1，所以h′(x)>0，從而h(x)在(-1,0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，而h′(0)=1也就是h(x)在原點(diǎn)處的切線斜率，又y=-ax過原點(diǎn)，可知需-a>0；又知x=-1是h(x)圖象的一條漸近線，所以在(-1,0)內(nèi)h(x)遞增時(shí)一定是上凸的，又在(0，+∞)內(nèi)，當(dāng)x→+∞，h(x)=exln(1+x)>ex，所以此時(shí)h(x)是下凹的；要使f(x)在區(qū)間(-1,0)，(0，+∞)上各恰有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)只需-a>1，即a<-1即為所求.

點(diǎn)評(píng)：第(2)小問屬于函數(shù)零點(diǎn)分布中求參數(shù)的范圍問題.通常把參數(shù)a合理分類，然后對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)后，在局部構(gòu)造新函數(shù)二次求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，根據(jù)區(qū)間零點(diǎn)存在，確定參數(shù)a的取值范圍.解法二借助一次求導(dǎo)確定g(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性，再局部構(gòu)造h(x)判斷其在(-1,+∞)上的單調(diào)性，利用虛設(shè)零點(diǎn)原理證明存在.而解法三則是通過數(shù)形結(jié)合思想分別構(gòu)造函數(shù)y=-ax，h(x)=exln(1+x)，求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，借助h(x)與y=-ax的位置，確定函數(shù)圖象的凸凹性，從而根據(jù)零點(diǎn)分布區(qū)間，求出a的取值范圍.

4.變式跟蹤及簡(jiǎn)評(píng)

4.1所求問題由“雙區(qū)間、雙零點(diǎn)”型弱化為“單區(qū)間、單零點(diǎn)”型

如果我們將2022年全國(guó)乙卷理科第21題的第(2)小問題干條件進(jìn)行弱化變式，降低思維考查的難度，比如，將所求問題由“雙區(qū)間、雙零點(diǎn)”型變?yōu)椤皢螀^(qū)間、單零點(diǎn)”型，雖然所求區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)減少了，但本質(zhì)不變，我們?nèi)匀豢梢愿鶕?jù)函數(shù)f(x)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，求導(dǎo)后局部合理構(gòu)造新函數(shù)，可繼續(xù)考慮設(shè)而不求思想，探究新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在的區(qū)間，從而逼出參數(shù)的取值范圍，只要注意把握好對(duì)參數(shù)a的分界，問題不難獲得求解，這里略舉一例說明.

【例1】(2022·福州高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=ex-axsinx-bx+c的圖象與x軸相切于原點(diǎn).

(1)求b，c的值；

(2)若f(x)在(0，π)上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：(1)b=1,c=-1.

(2)由(1)得f′(x)=ex-a(sinx+xcosx)-1，

記g(x)=ex-a(sinx+xcosx)-1，

則g′(x)=ex-a(2cosx-xsinx)，所以g′(0)=1-2a.

因?yàn)間(0)=0，g(π)=eπ+aπ-1>0，所以g(x0)<0，所以存在唯一實(shí)數(shù)x1∈(x0,π)，使得g(x1)=0，所以當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

因?yàn)閒(0)=0，f(π)=eπ-π-1>0，所以f(x1)<0，所以存在唯一實(shí)數(shù)x2∈(x1,π)，使得f(x2)=0，即f(x)在(0，π)上有唯一零點(diǎn)，符合題意.

點(diǎn)評(píng):第(2)小問屬于函數(shù)零點(diǎn)分布中求參數(shù)范圍問題，通常構(gòu)造新函數(shù)研究其單調(diào)性，并且合理對(duì)參數(shù)a的分界.在二次求導(dǎo)的基礎(chǔ)上，借助虛設(shè)零點(diǎn)原理確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，最后求出導(dǎo)函數(shù)的最小值即可，而如何準(zhǔn)確確定參數(shù)a的分界點(diǎn)是問題的關(guān)鍵.

4.2所求問題由“雙區(qū)間、雙零點(diǎn)”型變式為“不限區(qū)間、單零點(diǎn)”型

如果我們將2022年全國(guó)乙卷理科第21題的題干再作一些變式，比如，將所求問題由“雙區(qū)間、雙零點(diǎn)”型變式為“不限區(qū)間、單零點(diǎn)”型.雖然表達(dá)式的結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，但本質(zhì)不變，我們?nèi)钥梢赃\(yùn)用參變分離，二次求導(dǎo)法解決,但是需要注意的是參變分離后，構(gòu)造的新函數(shù)要根據(jù)新函數(shù)的局部結(jié)構(gòu)，再構(gòu)造新函數(shù)，進(jìn)而二次求導(dǎo)，這也是突出對(duì)學(xué)生變式問題的強(qiáng)化理解，學(xué)生高階思維水平的展現(xiàn).下面也略舉一例說明此情況.

【例2】(2022·南京市、鹽城市高三二模改編)設(shè)函數(shù)f(x)=aex+sinx-3x-2，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R.若函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析：當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)=aex+cosx-3<0，所以f(x)單調(diào)遞減，又當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→-∞，所以存在唯一的x0∈R，使得f(x0)=0，即函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn).

設(shè)h(x)=cosx-sinx+3x-1，則h′(x)=-sinx-cosx+3>0，所以h(x)單調(diào)遞增，又h(0)=0，所以可以列表為

x-∞,0()0(0,+∞)h(x)-0+g′(x)-0+

所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，又x→-∞時(shí)，g(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→a，且a>0，所以若g(x)有唯一零點(diǎn)，則g(x)min=g(0)=a-2=0，解得a=2.綜上，a的取值范圍為(-∞,0]∪{2}.

4.3所求問題由“雙區(qū)間、雙零點(diǎn)”型強(qiáng)化為“不限區(qū)間、雙零點(diǎn)”型

如果我們將2022年全國(guó)乙卷理科第21題的題干再?gòu)?qiáng)化一下變式.比如，將所求問題由“雙區(qū)間、雙零點(diǎn)”型變式為“不限區(qū)間、雙零點(diǎn)”型.雖然所求零點(diǎn)區(qū)間不限，但本質(zhì)不變，我們?nèi)钥梢赃\(yùn)用參變分離，數(shù)形結(jié)合法解決,但是需要注意的是參變分離后，構(gòu)造新函數(shù)需要考慮函數(shù)圖象的交點(diǎn)位置，借助零點(diǎn)滿足的條件，得出a的取值范圍，下面通過實(shí)例說明.

【例3】(2020·華南師大附中高三月考改編)設(shè)函數(shù)g(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R.

若函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，試求a的取值范圍.

當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，故由h(x)的圖象可知，若有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為(0，+∞).

點(diǎn)評(píng)：本題仍是利用先參變分離，構(gòu)造含參數(shù)a的新函數(shù)，借助研究新函數(shù)h(x)的單調(diào)性，通過圖象交點(diǎn)位置，確定參數(shù)a的范圍，數(shù)形結(jié)合法最直觀.

四、教學(xué)思考

1.立足學(xué)生基礎(chǔ)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)理解

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》指出：“數(shù)學(xué)抽象是指對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究的素養(yǎng).邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).”數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性包括學(xué)科內(nèi)容的基礎(chǔ)性、解法的通用性以及創(chuàng)設(shè)情境的典型性.它是以學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)探索中最基礎(chǔ)的問題情境和基本知識(shí)能力的考查為載體，是學(xué)生升入高校進(jìn)一步學(xué)習(xí)的必備知識(shí)與核心能力的體現(xiàn).這就要求我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)過程中，遵循知識(shí)體系，進(jìn)行有條理地梳理、歸納，特別是重點(diǎn)知識(shí)、易錯(cuò)點(diǎn)、基本的數(shù)學(xué)思想方法等，經(jīng)過長(zhǎng)期的訓(xùn)練形成習(xí)慣，學(xué)習(xí)力和能力才能同步提高.2022年是全國(guó)乙卷向新高考卷的過渡之年，提高自身學(xué)力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的深度學(xué)習(xí)與理解，才能以不變應(yīng)萬變.

例如，本文所述第21題中第(2)小問中區(qū)間零點(diǎn)含參取值范圍的問題，是在導(dǎo)函數(shù)參變分離的基礎(chǔ)上，進(jìn)行的求導(dǎo)運(yùn)算，這就要求我們首先對(duì)基礎(chǔ)計(jì)算、公式變形求導(dǎo)都要過關(guān)，其次，導(dǎo)數(shù)概念、法則、零點(diǎn)存在定理以及導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性要理解本質(zhì)，明確由于參數(shù)a的范圍不確定，導(dǎo)致對(duì)函數(shù)分界點(diǎn)進(jìn)行討論，特別是分類如何界定，最后我們更要明理，理解導(dǎo)函數(shù)各部分知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在什么地方，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度，適度掌握一些必要的解題技巧，而不是盲目下手解答，草草收?qǐng)?

2.注重通性通法，突出變式思想

中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中強(qiáng)調(diào)高考就是要求學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通.數(shù)學(xué)是思維性很強(qiáng)的學(xué)科，在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，要注重“一題多變”(即變式的延伸、弱化、加強(qiáng)與推廣)、“一題多用”(即用同一數(shù)學(xué)思想方法解決不同問題)，更多地關(guān)注高考試題的核心是什么，學(xué)會(huì)從試題中提煉反映數(shù)學(xué)試題變式本質(zhì)的東西.

例如，試卷第21題中涉及函數(shù)區(qū)間零點(diǎn)含參取值范圍的問題，就是一類典型問題，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).比如，所求問題由“雙區(qū)間、雙零點(diǎn)”型弱化為“單區(qū)間、單零點(diǎn)”型，再變式為“不限區(qū)間、單零點(diǎn)”型，最后強(qiáng)化為“不限區(qū)間、雙零點(diǎn)”型，都可以運(yùn)用化歸思想，采用分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合方法，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性的確定，最后根據(jù)區(qū)間零點(diǎn)分布，采用虛設(shè)零點(diǎn)，合理確定分類討論的界點(diǎn).由于試題本質(zhì)不變(以參數(shù)a與自變量x分離為最終目標(biāo))，所以通法不變，問題自然也容易類比解決，變式思想就是不斷更換命題的非本質(zhì)特征，保留對(duì)象中本質(zhì)因素，通過不同角度、層次、背景的變化，有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，尋求“不變”的規(guī)律.所以注重解題思維訓(xùn)練和變式能力培養(yǎng)都是十分有必要的.

3.完備知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、原理都是高考數(shù)學(xué)中必備知識(shí)，也是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵，數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理能力薄弱往往是由于我們?cè)谌粘Ｖ?，過度關(guān)注解題數(shù)量，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)前后體系的建立，知識(shí)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)碎片化，從而造成推理和計(jì)算時(shí)，含糊不清，以偏概全，亂套公式的現(xiàn)象，這也是目前高考數(shù)學(xué)答題失分嚴(yán)重的重要原因之一.