2022年高考全國卷基本不等式試題分析及備考建議

云南 魏福雄

基本不等式是求最值的一種常用工具，在高考試題中常有體現(xiàn).本文對2022年高考全國卷試題中出現(xiàn)基本不等式的試題進行了歸納，對高考試題中的基本不等式的考查形式進行了整理，并在此基礎上提出了高三一輪復習備考建議.

2022年的高考已經(jīng)落下帷幕，2023年的高考復習即將開始，基本不等式作為一種求最值的常用工具，在每年高考中幾乎都會出現(xiàn).“高考試題中對基本不等式的要求是什么？”成了我們復習備考的關鍵.通過對高考試題的分析，可以更加清楚對于基本不等式，高考主要考查什么，該重點復習什么.下面，筆者基于2022年高考全國卷基本不等式試題進行分析，提出復習備考建議.

1.試題統(tǒng)計

在2022年高考全國卷試題中，筆者對甲卷(理科)、乙卷(理科)、新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷進行了整理分析，其中可以借助基本不等式解決的試題有8道，詳見表1.

表1 考點統(tǒng)計

根據(jù)表1，我們可以看出，除了全國乙卷(理科)的第23題之外，基本不等式基本上不會單獨作為一個考點進行考查，它都是和其他知識點綜合起來，基本不等式作為求最值的一種工具進行考查，而且這類題還有一個特點，就是不用基本不等式，借助導數(shù)、對勾函數(shù)、三角換元都可以解決.但是過程卻比用基本不等式都要復雜.

2.典型試題分析

2.1探索取最值的條件

分析：本題主要考查解三角形，很多學生容易想到在△ABD和△ADC中分別用余弦定理，表示出AB2,AC2，這樣也可以做出來，但是后面要用基本不等式，可能構(gòu)造的過程就比較復雜，很多學生會直接放棄用基本不等式而用導數(shù)，以下是筆者給出的一種解法.

解析：如圖，設BD=x，則CD=2x，過點A作CB的垂線，垂足為H，

因為∠ADB=120°,所以∠ADC=60°，

則BH=x+1,CH=2x-1，

AB2=(x+1)2+3，

AC2=(2x-1)2+3=4(x+1)2-12(x+1)+12，

當然，這個問題并非一定要借助基本不等式來解決，用導數(shù)，或者對勾函數(shù)也可以解決，在這里就不再展示方法了.

【例2】(2022·全國甲卷理·20)設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(p,0)，過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時，求直線AB的方程.

分析：本題考查直線與拋物線的綜合，還考查了三角函數(shù)，難度較大，由于時間的關系，很多學生可能算不到用基本不等式這步，然而只要算到正切這一步，學生便可以很容易地看出來用基本不等式來解決，但是需要注意使用基本不等式的條件.

解析：(1)略；

(2)F(1,0)，D(2,0)，設M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

設直線MN：x=my+1，當m≠0時，

Δ=16m2+16>0，y1+y2=4m,y1y2=-4.

當m>0時，tanα>tanβ,α-β>0;

顯然，當α-β取最大值時，m>0成立.

當m<0時，tanα

所以n=4，

當m=0時，M(1,2),N(1,-2),A(4,-4),B(4,4)，

直線AB：x=4,α-β=0.

【例3】(2022·全國乙卷理·9)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為( )

分析：本題答案是C.本題要求學生探究當球內(nèi)四棱錐體積最大時的取等條件，需要學生將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)，用導數(shù)或者基本不等式進行求解.

解析：設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，高為h.

設四邊形ABCD對角線夾角為α，

即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為2r2.

又r2+h2=1，

例1至例3這三個題，都是在探求取最值的條件，單獨從題目來看，還是比較容易從基本不等式這個方向去考慮，可見高考中對基本不等式這個求最值的工具的考查還是比較重的.

2.2求最值或取值范圍

解析：(1)略；

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0，

【例5】(2022·全國新高考Ⅱ卷·12)對任意x,y，x2+y2-xy=1，則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

由x2+y2-xy=1可變形為

當且僅當x=y=-1時，x+y=-2，當且僅當x=y=1時，x+y=2，所以A錯誤，B正確；

由x2+y2-xy=1可變形為

當且僅當x=y=±1時,等號成立，所以C正確；

例4和例5這兩個題，同樣可以看出，基本不等式在求最值問題或取值范圍的問題中是可以發(fā)揮很多意想不到的作用，當然，不用基本不等式也可以解決問題，但是用基本不等式，有些問題得到結(jié)果會快很多.再次印證了基本不等式是解決最值問題的一種有力工具.

2.3證明不等式

解析：(1)證明：因為a>0，b>0，c>0，

(2)證明：因為a>0，b>0，c>0，

當且僅當a=b=c時，等號成立.

例6主要考查不等式的證明，在不等式的證明問題中，基本不等式的作用可以說是至關重要的.

3.基本不等式考查形式分析

通過對以上六道試題的分析，筆者對它們所考查的不等式類型進行了歸納整理，詳見表2.

表2 基本不等式考查形式

通過表2，可以發(fā)現(xiàn)，在2022年高考全國卷試題中，對基本不等式的考查形式，歸納起來，主要有以下四個：

4.基本不等式使用時機分析

為了弄清楚何時該用基本不等式，筆者對六道真題進行了分析，詳見表3.

表3 待解決問題及問題轉(zhuǎn)化

單獨看六道高考真題的時候，學生可能不知道什么時候該用基本不等式，那看完這張表，學生應該比較清晰了，表中的幾道真題都涉及最值或取值范圍問題，并且有三道題涉及取等條件的探求，這就很容易把學生的思路引往基本不等式方向了.這其實也很好地體現(xiàn)了高考所要考查學生的能力，即應用所學知識解決問題的能力！

5.復習備考建議

5.1利用好教材和課程標準

筆者覺得，一輪復習絕對不能走馬觀花，還是要讓學生清楚每個知識點有什么用，什么時候可以用，用的時候需要注意什么.

在《普通高中教科書》數(shù)學必修第一冊(人教A版)的第46頁中還有這樣一句話：“基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應用，是解決最大(小)值問題的有力工具.”這句話也告訴我們，當題目中需要求最大(小)值問題的時候，我們不妨嘗試一下用基本不等式來解決.

5.2精選例題，設置題組訓練

圍繞2022年高考真題中出現(xiàn)的四個重要的不等式選擇例題設置題組訓練.每個不等式可以設置3個左右的例題，要有梯度，然后例題后可以附6個左右(題量可以根據(jù)學生的實際情況酌情增減)的題組訓練.這樣方便講完例題之后，讓學生馬上進行題組練習，這樣學生可能對這個不等式掌握的更透徹！但是一輪復習中，對多數(shù)學生而言主要是要培養(yǎng)學生看到這種類型的題，想到用基本不等式去解決的思想，在二輪、三輪中，再去強化練習.

5.3難點突破

筆者覺得，學生要解決求最大值(最小值)的問題，第一個難點就是學生要想到用基本不等式來解決；而這個難點可以利用好教材、課程標準以及例題，幫助學生養(yǎng)成這樣的思維模式.而第二個難點便是在于用基本不等式時候的變形技巧.

總的來說，其實學生單純的利用基本不等式是非常容易的，但是要通過變形來用基本不等式解決最值問題，這就是學生的難點，這個也是我們復習備考中應該突破的.當然這個只靠機械地用題去訓練學生是很難做到的，更多的可能需要學生去歸納、整理，讓學生去悟！

5.4誤區(qū)警示