加強視圖教學(xué) 發(fā)展空間觀念
——以2021年泰州市中考數(shù)學(xué)的一道“視圖”選擇題為例

?江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

?江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中 周 煉

1 問題提出

2021年泰州市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷第2題是一道關(guān)于“視圖”的選擇題(以下稱為“案例”)：

圖1

圖1所示幾何體的左視圖是( ).

“案例”以視圖形式考查學(xué)生基本空間觀念和直觀想象能力.該題滿分為3分，正確選項為C.實測數(shù)據(jù)顯示：平均得分1.71分，難度系數(shù)只有0.57，其中40.31%的學(xué)生選擇了B選項.從命題者的角度來說，安排在試卷第2題位置的試題一般不具有區(qū)分功能，但考生錯誤率如此之高、錯誤情形如此集中，出乎命題者的預(yù)料.筆者將此題讓一位沒有學(xué)過三視圖的英語老師選擇，他憑直覺選擇了A選項，該選項與正確選項C的圖形僅相差一條水平線.那么考生答案為何與正確答案差距如此之大呢？這引發(fā)了筆者思考：試題的命題指向何在？課程標準、教材中“視圖”教學(xué)要求如何？學(xué)生為何會出現(xiàn)如此多的錯誤？反映了“視圖”教學(xué)存在什么問題？如何有效應(yīng)對？

2 試題指向

“案例”體現(xiàn)了發(fā)展空間觀念、基于課程標準、源于現(xiàn)行教材的命題指向.

2.1 考查空間觀念

學(xué)生空間觀念的形成需要經(jīng)歷從具象到抽象、從意識到觀念不斷積累活動經(jīng)驗的過程.學(xué)生在小學(xué)就接觸過“從三個方向看”，具有一定的空間基礎(chǔ).“主視圖、左視圖、俯視圖”為蘇科版教材七年級上冊“5.1走進圖形”一節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)生進入初中后的幾何入門部分.“案例”提供的幾何體是生活中常見的物體，沒有特殊的結(jié)構(gòu)、復(fù)雜的外形，但正確作答必須以一定的空間觀念和視圖的基本知識為前提，即要理解什么是左視圖，知道如何得到左視圖，了解左視圖與幾何體各部分間的位置與數(shù)量關(guān)系.

2.2 基于課程標準

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》) 指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的……空間觀念……空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等[1].“視圖”內(nèi)容安排在“圖形與幾何”中的“圖形的變化—圖形的投影”板塊，要求“會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體”.可以歸納為三個層次：第一層次是會畫圖——畫幾種單一幾何體的三視圖；第二層次是會判斷——判斷簡單物體的三視圖；第三層次是會描述——由視圖描述簡單幾何體.“案例”屬于《課標》的第二層次要求——判斷簡單物體的三視圖.

2.3 源于現(xiàn)行教材

教材是《課標》的具體化，也是教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的載體.“案例”從素材來源到呈現(xiàn)方式皆源于教材.蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七年級上冊(以下簡稱“蘇科版七上”)第5章走進圖形世界——主視圖、左視圖、俯視圖中的(第137頁)“試一試”：根據(jù)圖2-1所示物體的主視圖、左視圖、俯視圖，想象這個物體的形狀，你想象出的物體是圖2-2，圖2-3中的哪一個物體？顯然，該問題屬于《課標》第三層次要求：會描述——由視圖描述簡單幾何體.圖2-2是由圓柱與圓組成的幾何體，圖2-3是由圓柱與圓臺組成的幾何體.

“蘇科版七上”第139頁習(xí)題5.4的第1題：把如圖3所示物體的主視圖、左視圖、俯視圖的名稱填在相應(yīng)的括號內(nèi).該問題屬于《課標》第二層次要求：會判斷——判斷簡單物體的三視圖.

圖3

圖4

“蘇科版七上”第142頁“復(fù)習(xí)鞏固”第8題：畫出圖4所示物體的主視圖、左視圖、俯視圖.該題屬于《課標》第一層次要求：會畫圖——畫幾種單一幾何體的三視圖.顯然，將圖4上部的長方體換成圖3中的幾何體就成了“案例”中的幾何體.

3 原因剖析

為了解學(xué)生失分的原因，筆者讓答錯的學(xué)生還原考試時的思維過程、認知狀態(tài)和考試心理，了解部分教師對試題的看法、課標的理解、教材的把握和教學(xué)現(xiàn)狀，對問題背后的深層次原因進行了理性分析.

3.1 學(xué)生活動經(jīng)驗不足，空間觀念缺失

調(diào)查發(fā)現(xiàn)：由于“案例”只給出了該幾何體一個視角偏向主視圖的空間樣貌，學(xué)生在想象其他視角下幾何體的樣貌時思維產(chǎn)生混亂，因而難以將陌生的幾何體復(fù)原.學(xué)生選擇答案B有四種情形：一是忘記圓柱的側(cè)視圖是矩形，由于沒有掌握三視圖的概念，當(dāng)圓柱與長方體組合時，感覺選項B最接近原幾何體的答案；二是認為幾何體上半部分曲面特征明顯，應(yīng)在三視圖中有所體現(xiàn)，故排除了C答案；三是誤將幾何體上半部分的半個圓柱想象成半球，把上方圓柱體的位置想象成底面朝左的擺放形式；四是認為圓柱相對于棱柱用料少，看到的視圖也一定比棱柱少，若棱柱的左視圖是矩形，那么在長方體的高與圓柱底面半徑相等的情況下，圓柱左視圖的面積一定小于矩形.

出現(xiàn)以上問題的根本原因是學(xué)生在視圖學(xué)習(xí)時，沒有經(jīng)歷操作、觀察的探究過程，缺乏相應(yīng)活動經(jīng)驗的積累，因而沒有形成基本的空間觀念，不能從本質(zhì)上理解投影與視圖、視圖與幾何體、各視圖間的關(guān)系，解題時習(xí)慣于機械記憶，甚至揣摩命題者的心理.

3.2 教師對課標、教材理解和教學(xué)過程缺失

一是視圖教學(xué)內(nèi)容重視不夠.不少教師對課標規(guī)定的內(nèi)容選擇性教學(xué)，認為投影與視圖在試卷中占分少，無足輕重，沒有從發(fā)展學(xué)生空間觀念的高度理解教學(xué)內(nèi)容，導(dǎo)致無論是新授課還是復(fù)習(xí)課，大多是“無實物”教學(xué)，或者只是用小正方體“擺放”模型機械訓(xùn)練.這樣極易形成套路，學(xué)生難以將知識與方法在新情境、新背景下進行有效轉(zhuǎn)化與遷移.

二是視圖教學(xué)脫離教材內(nèi)容.不少教師的教學(xué)游離于課標和教材之外，教學(xué)方向、內(nèi)容偏離了課標、教材，很少從基本知識與數(shù)學(xué)思維出發(fā)設(shè)計探究活動讓學(xué)生積累活動經(jīng)驗，而是代之以題目的強化訓(xùn)練.

三是視圖教學(xué)忽視數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示.由于教師自身對視圖的認識與理解不到位，導(dǎo)致教學(xué)中“講不清、道不明”，更難以引導(dǎo)學(xué)生體驗物體的多元化觀察視角與結(jié)論的開放性，以及感受平面圖形與立體圖形間對立與統(tǒng)一的關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生憑感覺認為“左視圖”是從左邊任意角度看到的圖形.

4 應(yīng)對策略

“視圖”教學(xué)需要教師更新教學(xué)理念，以發(fā)展學(xué)生能力與提升學(xué)生素養(yǎng)為己任；以科學(xué)的態(tài)度研究課標、教材與學(xué)情；優(yōu)化教學(xué)方式，以探究活動發(fā)展學(xué)生空間觀念.

4.1 更新教學(xué)理念，以發(fā)展能力與提升素養(yǎng)為己任

教師要更新數(shù)學(xué)教學(xué)理念，關(guān)注課程改革方向，將發(fā)展學(xué)生能力與提升學(xué)生素養(yǎng)為己任，而不是只盯著試題與分數(shù).“空間觀念”是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，視圖教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的空間觀念為目標，重視基礎(chǔ)知識、基本方法和空間觀念形成與發(fā)展過程的教學(xué)，讓學(xué)生在操作、探究、觀察、思考的過程中，形成空間想象能力與幾何直觀能力，避免出現(xiàn)選擇性教學(xué)、超前教學(xué)、以練代教以及教學(xué)圍繞考試轉(zhuǎn)、猜題押題、以考代講等不良現(xiàn)象.

4.2 加強教學(xué)研究，以科學(xué)態(tài)度研究各種教學(xué)要素

教學(xué)要素包括教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)環(huán)境和教學(xué)媒體等.教師要以科學(xué)的態(tài)度加強對課程標準、教材和學(xué)生等教學(xué)要素的研究.

一是研究課程標準.雖然課程標準關(guān)于視圖的內(nèi)容只有52個字，但明確了視圖教學(xué)“會畫圖、會判斷、會描述”三個層次要求.教師要領(lǐng)悟、理解其內(nèi)涵與外延，無論是三個視圖的位置規(guī)定，還是“長對正、高平齊、寬相等”的特征描述，其本質(zhì)是圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

二是研究數(shù)學(xué)教材.研究教材安排的意圖與內(nèi)容含義、知識與能力目標，并以更高的站位、更廣的視角審視教學(xué)內(nèi)容.比如，對于教材正文中“從左面看到的圖形稱為左視圖”這句話，要深刻理解“從左面看”的實質(zhì)，即怎么看、看到什么.教材安排的“閱讀”是對正文內(nèi)容的有效補充，通過“閱讀”可加深對“從左面看”的理解.同時，也要研究其他版本的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，通過比較，更加準確地把握教材的編寫意圖，只有這樣才能實施精準教學(xué).

三是研究學(xué)情.一方面，蘇科版教材將“視圖”作為幾何入門內(nèi)容，安排在七年級上冊第5章“走進圖形世界”.由于“視圖”內(nèi)容對空間想象能力、概念理解能力具有一定的要求，對于剛進入初中的學(xué)生而言，學(xué)習(xí)時有一定的困難也屬正常.另一方面，教師要思考學(xué)生在小學(xué)對視圖認知基礎(chǔ)如何，目前的空間觀念、直觀想象能力與數(shù)學(xué)抽象能力發(fā)展水平如何，學(xué)習(xí)時可能會有何種困難或認知障礙，等等.只有知此知彼，教學(xué)才能有的放矢、百戰(zhàn)不殆.

4.3 優(yōu)化教學(xué)方式，以探究活動發(fā)展學(xué)生空間觀念

“視圖”教學(xué)要通過適當(dāng)?shù)奶骄炕顒?，引?dǎo)學(xué)生從關(guān)注表象逐步發(fā)展為空間想象與抽象的必然階段.同時要注重視圖本質(zhì)的揭示，加強研究方法的指導(dǎo).

(1)設(shè)計適當(dāng)?shù)奶骄炕顒?/p>

“投影與視圖”是七年級上學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容，是初中幾何的起步章節(jié).七年級學(xué)生正處于從形象思維向抽象思維過渡的時期.“投影與視圖”教學(xué)旨在初步發(fā)展學(xué)生對物體幾何特征的觀察、分析與認知的空間想象力和抽象能力，這種能力的發(fā)展應(yīng)該是拾級而上、逐層遞進的.如先根據(jù)實物直觀抽象出三視圖，積累并豐富各類幾何體探究經(jīng)驗；再經(jīng)歷實物的“看”“摸”“畫”到“想”“猜”“說”的過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力.再如讓學(xué)生通過對實物某一角度的觀察，分析點、線、面的關(guān)系進而猜想幾何體；通過觀察簡單復(fù)合幾何體進而歸納特征，并設(shè)計或制作新幾何體等；最后根據(jù)視圖想象描述相應(yīng)的幾何體.這樣的教學(xué)活動不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生經(jīng)歷分析與綜合、比較與分類一系列思維過程，將感性經(jīng)驗與理性思考相結(jié)合、表象儲備與想象創(chuàng)造相交融，逐漸脫離對實物的依賴，把握幾何體的特征與相互關(guān)系，發(fā)展空間觀念和思維能力.

(2)注重視圖本質(zhì)的揭示

“視圖”的本質(zhì)是幾何體在投影面上留下的正投影.教學(xué)中，要以探究活動為載體揭示“視圖”本質(zhì).如圖5，把投影面豎直放置在幾何體的右側(cè)，且平行于幾何體的側(cè)面，平行光線沿垂直于投影面方向從左側(cè)照射幾何體在投影面上的正投影是“日”字型圖形.“日”字型圖形上方水平線就是幾何體上部半圓柱母線在該平面上的正投影.

圖5

蘇科版七上在“主視圖、左視圖、俯視圖”(第135頁)中有這樣一段話：“人們從不同的方向觀察某個物體，可以看到不同的圖形.一般地，我們把從正面看到的圖形，稱為主視圖；從左面看到的圖形稱為左視圖；從上面看到的圖形，稱為俯視圖.”這里的“正面”“上面”“左面”如何理解？與生活用語的含義是否一致？有沒有判斷的標準與規(guī)范？事實上，教材在這一章的“閱讀”部分專門就三種視圖與幾何體的關(guān)系給出了明確的解釋：在三視圖中，由主視圖與俯視圖可以知道物體的長，由主視圖與左視圖可以知道物體的高，由左視圖與俯視圖可以知道物體的寬，三個視圖結(jié)合起來就能確定簡單物體的形狀和大小.畫三視圖時，要使主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等(如圖6).這段文字明確了視圖與幾何體之間的位置與數(shù)量關(guān)系，是教材正文內(nèi)容的有力補充、規(guī)范和深化.教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何體與視圖關(guān)系的觀察、操作、描述的具體案例去閱讀、感受、領(lǐng)悟這段文字，從而明晰三種視圖間的數(shù)量關(guān)系，并用“長對正、高平齊、寬相等”的語言描述三個視圖與幾何體之間以及三個視圖相互之間的大小關(guān)系、位置關(guān)系，從而給出三視圖規(guī)范的畫法及圖例.

圖6

(3)加強研究方法的指導(dǎo)

“視圖”是初中幾何入門內(nèi)容，與后續(xù)幾何研究方法一致，離不開對圖形的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的研究.教學(xué)中要“以小見大”，有意識地指導(dǎo)學(xué)生從“位置關(guān)系”與“數(shù)量關(guān)系”兩個維度研究解決圖形問題的策略與方法，為后續(xù)幾何學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).