巧借問題鏈，發(fā)展學生的代數(shù)推理能力*
——以“立方根”教學為例

朱金霞 孫海鋒

代數(shù)推理是推理的一種類型，初中代數(shù)推理是將代數(shù)式（或關(guān)系）變形為特定的目標結(jié)構(gòu)（或關(guān)系），用代數(shù)方法證明（或說理）。［1］《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：“在初中數(shù)學中，不僅在圖形與幾何領(lǐng)域有推理或證明的內(nèi)容，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域也有推理或證明的內(nèi)容?！保?］由此可見，在初中階段提高教師代數(shù)推理教學的意識，有助于學生理解代數(shù)知識，優(yōu)化思維方式，增強推理能力，提升數(shù)學素養(yǎng)。同時能為學生后繼內(nèi)容的學習做好鋪墊，有效銜接初高中的數(shù)學教學。

因此，筆者嘗試在代數(shù)概念課的教學中設(shè)置環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，培養(yǎng)學生的代數(shù)推理能力。下面，筆者結(jié)合蘇科版數(shù)學教材八年級上冊“立方根”的教學片段與大家分享個人觀點，不當之處請批評指正。

一、教學片段

1.以“問”促憶，回顧舊知

問題1：同學們，平方根的概念是什么？

生：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根。

追問1：為什么a≥0？

追問2：如何表示a的平方根？

【設(shè)計意圖】問題1 作為起始之問，幫助學生回憶舊知。追問1幫助學生理解a的含義，凸顯平方的非負性。追問2 制造認知沖突，大部分學生會脫口而出±a，忽視了用字母a表示平方根時，a只能是非負數(shù)。此環(huán)節(jié)幫助學生明確在用字母表示數(shù)的過程中要注重分類討論，為研究新知、突破重難點作鋪墊。

2.以“問”促思，生成新知

師：有一個小正方體，它的棱長是1。若搭一個棱長是2的正方體，需要4個相同的小正方體；如果棱長是3，需要27個；如果棱長分別是4和5，則分別需要64 和125 個小正方體。（板書23=8，33=27，43=64，53=125……）

問題2：觀察這些等式，已知棱長求體積是立方運算；反過來，知道正方體的體積是125，你會求它的棱長是多少嗎？

追問1：知道正方體的體積是125 求棱長，是一種什么運算？5叫做125的什么呢？

追問2：如果正方體的體積是2，棱長又是多少？這樣的棱長存在嗎？

提示：我們不妨設(shè)棱長為x，得到x3=2。

追問3：這樣的x有幾個？如何表示？

追問4：已知立方結(jié)果為2求底數(shù)x，是一種怎樣的運算？x叫做2的什么?

【設(shè)計意圖】問題2 引導學生運用熟悉的立方運算來計算體積。追問1 提出問題，讓學生初步感受在立方運算的等式中涉及底數(shù)和冪兩個變量，可以已知冪求底數(shù)。追問2 使學生產(chǎn)生困惑，在學生原有認知中，沒有正整數(shù)的立方等于2，打破其原有知識體系。此環(huán)節(jié)利用4個追問和1 個提示制造思維沖突，引導學生借助數(shù)學模型，建立方程解決問題，思考怎樣解一元三次方程，引入新的數(shù)學符號和數(shù)學運算來解決問題。

問題3：同學們能類比平方根的概念，給出立方根的概念嗎？

生：如果x3=a，那么x叫做a的立方根。

追問1：為什么不需要a≥0？

追問2：回到問題2中，如何求x3=2中的x呢？

師：a的立方根記作3a，讀作三次根號a。類似開平方運算，求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方，開立方運算和立方運算是互逆關(guān)系。

【設(shè)計意圖】有了問題1和問題2的鋪墊，類比平方根的概念，學生較容易得出立方根的概念。追問1 與復習平方根的概念呼應，形成對比。追問2 用新知解決遺留問題，有助于學生從形式和內(nèi)涵上分析復雜的代數(shù)概念，進一步理解新知。

3.以“問”促探，發(fā)展推理

問題4：下列各數(shù)有立方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由。

追問1：這些數(shù)都有平方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由。

追問2：平方根和立方根有什么聯(lián)系和區(qū)別？

【設(shè)計意圖】問題4 通過舉例引導學生探究立方根的性質(zhì)，引導學生從定義、個數(shù)、表示法、被開方數(shù)的取值范圍等角度分析平方根和立方根的異同，明確符號的含義，搭建推理運算的階梯。

【設(shè)計意圖】問題5 引導學生從互逆運算的角度進行簡便計算，明確運算的關(guān)系結(jié)構(gòu)，由簡單的計算到抽象的推理，為后續(xù)驗證猜想提供推理依據(jù)。平方根和立方根是偶次方根和奇次方根最簡單的形式，由此推廣到n次方根，對n和被開方數(shù)a都要分類討論，思維和推理的難度都會增大。

【設(shè)計意圖】問題6 中先給出兩個學生熟悉的真命題，基于平方和算術(shù)平方根的特殊性，明確x、y只能等于0。追問則是立方和開立方運算，其中x和y可以是正數(shù)、0和負數(shù)。這是純代數(shù)推理題，通過演繹推理可以探究x和y的一般關(guān)系，引導學生將合情推理和演繹推理有機結(jié)合，進一步提升其代數(shù)推理能力。

二、幾點思考

1.精心設(shè)問，體現(xiàn)代數(shù)推理教學的內(nèi)在價值

在概念課的不同教學環(huán)節(jié)中，教師應立足學生的最近發(fā)展區(qū)，設(shè)置有層次、有梯度的問題，幫助學生深入理解概念，理解數(shù)學符號和數(shù)學推理運算，建構(gòu)知識框架。在立方根的教學中，筆者設(shè)計以“問”促憶、以“問”促思、以“問”促探三個環(huán)節(jié)，主問題由淺入深，使立方根的概念、表示、性質(zhì)等形成體系，逐步優(yōu)化學生思維，讓學生的代數(shù)推理能力逐級上升。

2.巧妙追問，挖掘代數(shù)推理教學的深度

恰到好處的連續(xù)追問，能直接觸及概念的核心，突破教學重難點，在關(guān)鍵點處給學生留以足夠的思考空間和思考深度，沖破思維定勢，形成一系列連續(xù)有效的數(shù)學思維活動，提升學生的邏輯推理能力。例如，在問題2 之后，設(shè)置4個連續(xù)追問，推動學生主動探索立方根的存在性和唯一性，順利引入立方根的概念，用追問將思維引向深處，為后續(xù)學習提供思考。

3.適時反問，提升代數(shù)推理教學的廣度

根據(jù)教材內(nèi)容進行適當拓展、提出反問，不僅能夠增加新知的廣度，更有利于學生連貫而理性地思考問題。例如，在問題5 中探究關(guān)于立方和開立方運算結(jié)合的一般規(guī)律是對立方根的又一性質(zhì)探究，若將n次方運算和開n次方運算相結(jié)合，則是對任意次方的探究，需要兼顧等式中每一個字母的取值范圍。此時需要從代數(shù)式的運算角度進行思考，對于含多個字母的等式純代數(shù)推理題，對抽象思維推理能力要求比較高，教學注重廣度的同時，需要兼顧不同層次的學生的推理能力，幫助學生掌握數(shù)學推理的方法，形成理性精神，提升數(shù)學素養(yǎng)。

通過設(shè)問、追問和反問形成較為完整的問題鏈可以驅(qū)動課堂教學的深入和發(fā)展。有效的問題鏈設(shè)計并非幾個問題的簡單堆積，而是由有各自功能價值的問題依據(jù)特定的內(nèi)在聯(lián)系有機組合而成的。［3］在教學過程中，教師要引導學生解決環(huán)環(huán)相扣、螺旋上升的設(shè)問，架構(gòu)完整的相關(guān)代數(shù)概念的知識框架，精準理解數(shù)學符號和數(shù)學運算，拓寬思維的廣度；借助層層遞進、入木三分的追問和反問，理清數(shù)量關(guān)系的運算和變形，將合情推理和演繹推理相結(jié)合，挖掘思維的深度，滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)代數(shù)推理能力。