基于軌道擬平根的合作目標(biāo)機(jī)動(dòng)跟蹤UKF相對(duì)導(dǎo)航方法

楊盛慶 陳筠力 王 禹 賈艷勝 崔 佳 王嘉軼

1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109 3.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109

0 引言

高精度的導(dǎo)航數(shù)據(jù)處理是實(shí)現(xiàn)航天器智能自主控制的基礎(chǔ)[1]，航天器的高精度相對(duì)導(dǎo)航則是實(shí)現(xiàn)自主編隊(duì)軌控任務(wù)的基礎(chǔ)。不同的編隊(duì)控制任務(wù)，譬如近程交會(huì)對(duì)接、編隊(duì)保持、編隊(duì)重構(gòu)，其導(dǎo)航所需獲取的狀態(tài)信息也不盡相同。由于任務(wù)時(shí)間較短，交會(huì)對(duì)接的近程導(dǎo)引段與接近段一般采用CW制導(dǎo)。使用Hill方程進(jìn)行相對(duì)導(dǎo)航，即能夠獲取較高精度的制導(dǎo)率所需的相對(duì)位置、速度信息。對(duì)地測繪領(lǐng)域，合成孔徑雷達(dá)(synthetic aperture radar, SAR)載荷的干涉成像分布式衛(wèi)星則需要實(shí)現(xiàn)長期的在軌自主編隊(duì)保持和必要的編隊(duì)重構(gòu)。目前，在軌的分布式SAR衛(wèi)星編隊(duì)主要有PRISMA[2-3]、天繪二號(hào)[4]等。參考文獻(xiàn)[5-6]提出了基于相對(duì)軌道擬平根的編隊(duì)動(dòng)力學(xué)模型。該模型通過定義編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)，將Hill坐標(biāo)系這類周期變化的相對(duì)狀態(tài)參數(shù)轉(zhuǎn)化為了僅具有長期項(xiàng)變化的相對(duì)軌道擬平根。由相對(duì)軌道擬平根構(gòu)造的相對(duì)導(dǎo)航濾波算法能盡可能降低周期相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的導(dǎo)航誤差，從而減小導(dǎo)航誤差導(dǎo)致的控制代價(jià)。編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)中軌道面內(nèi)的沿跡向漂移和半長軸偏差，反映了雙星在軌道面內(nèi)的平均化的相對(duì)運(yùn)動(dòng)特征。但是，星間的半長軸偏差并非直接可測的物理量，其相關(guān)的觀測方程具有較高的非線性，因此半長軸偏差的準(zhǔn)確獲取存在困難。參考文獻(xiàn)[7]提出了一種基于約化相對(duì)軌道擬平根的衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航方法，基于沿跡向漂移的歷史數(shù)據(jù)估計(jì)半長軸偏差，針對(duì)控制頻率固定、控制間隔時(shí)間充分的多脈沖自主編隊(duì)保持[8-10]，能夠?qū)崿F(xiàn)長期穩(wěn)定的高精度衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)導(dǎo)航。參考文獻(xiàn)[7]所述方法，采用相對(duì)位置作為觀測量，基于約化相對(duì)軌道擬平根構(gòu)造了擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)濾波算法。該方法所采用的EKF濾波算法相較無跡卡爾曼濾波算法(unscented Kalman filter, UKF)，在處理非線性較強(qiáng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)存在不足[11]。當(dāng)存在軌道機(jī)動(dòng)時(shí)，EKF濾波算法中的狀態(tài)估計(jì)和測量信息不符導(dǎo)致狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣的偏差累積，最終導(dǎo)致濾波發(fā)散，無法跟蹤控制過程中構(gòu)型參數(shù)的變化。參考文獻(xiàn)[12]基于改進(jìn)的編隊(duì)Lawden方程構(gòu)造UKF相對(duì)導(dǎo)航濾波，編隊(duì)狀態(tài)估計(jì)精度明顯優(yōu)于采用EKF的濾波方法。參考文獻(xiàn)[13]構(gòu)造了基于相對(duì)軌道擬平根的UKF濾波算法，該方法將雷達(dá)體制的測距測角信息轉(zhuǎn)化為相對(duì)位置、速度信息，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為相對(duì)軌道擬平根作為濾波算法的狀態(tài)變量。參考文獻(xiàn)[14]針對(duì)航天器氣動(dòng)輔助變軌問題，采用UKF進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化估計(jì)。但是，上述方法均未考慮軌道機(jī)動(dòng)對(duì)相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生的影響。

未來，隨著電推進(jìn)的普及，自主編隊(duì)保持的控制間隔將更短。高比沖的電推進(jìn)，也為自主編隊(duì)構(gòu)型重構(gòu)的應(yīng)用提供了必要的基礎(chǔ)，上述自主控制任務(wù)都對(duì)相對(duì)導(dǎo)航提出了更高的要求。但是，目前基于相對(duì)軌道擬平根的導(dǎo)航方法中沒有考慮軌道機(jī)動(dòng)跟蹤的濾波算法。軌道機(jī)動(dòng)的跟蹤有多種方式，濾波器設(shè)計(jì)層面有漸消因子自適應(yīng)濾波等方式[15]。但核心的問題還是建立更準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型。參考文獻(xiàn)[16]采用交互式多模型UKF算法，研究了地空導(dǎo)彈武器指控系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方法。參考文獻(xiàn)[17]采用自適應(yīng)交互式多模型UKF算法，研究了小行星探測任務(wù)中小推力變軌過程的自主導(dǎo)航方法?？紤]到合作目標(biāo)的編隊(duì)通常具有星間鏈路，能夠有效測量雙星之間的相對(duì)位置、速度和傳遞機(jī)動(dòng)加速度信息。編隊(duì)運(yùn)動(dòng)方程基于Hill坐標(biāo)系，相對(duì)運(yùn)動(dòng)具有軌道周期特征。自然攝動(dòng)下(主要是地球中心引力)的三軸相對(duì)加速度呈周期性，且數(shù)值大于機(jī)動(dòng)控制產(chǎn)生的影響，基于Hill方程的濾波中機(jī)動(dòng)加速度近乎于測量噪聲，無法有效跟蹤半長軸偏差變化。針對(duì)上述情況，充分利用可測信息，構(gòu)造基于高斯攝動(dòng)方程的相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和高維狀態(tài)觀測方程能夠有效跟蹤軌道機(jī)動(dòng)過程中構(gòu)型參數(shù)的變化情況，有利于星上自主策略的快速生成和更新。

本文針對(duì)存在軌道機(jī)動(dòng)的編隊(duì)導(dǎo)航問題，提出了基于高斯攝動(dòng)方程進(jìn)行相對(duì)軌道擬平根狀態(tài)估計(jì)的方法。同時(shí)，充分利用星間測量的相對(duì)位置、速度信息，建立高維觀測方程，保證了導(dǎo)航濾波的實(shí)時(shí)穩(wěn)定性，不再需要?dú)v史數(shù)據(jù)進(jìn)行星間半長軸偏差的估計(jì)。本文方法能夠有效跟蹤軌道機(jī)動(dòng)對(duì)編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響，給出連續(xù)穩(wěn)定的相對(duì)導(dǎo)航結(jié)果。

1 相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)與導(dǎo)航方法

1.1 Hill方程與相對(duì)導(dǎo)航

航天器編隊(duì)在軌道系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)滿足[5]

(1)

下標(biāo)1,2為航天器編號(hào)，式(1)可以化簡為

(2)

其中，

Hill坐標(biāo)系與軌道坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為常值矩陣

式(2)兩側(cè)同乘Aoh可以得到Hill坐標(biāo)系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。式(2)兩側(cè)均為一次多項(xiàng)式，因此Hill方程在軌道系和Hill坐標(biāo)系下的形式一致。

圖1 衛(wèi)星編隊(duì)與Hill坐標(biāo)系定義[7]

不同于交會(huì)對(duì)接近程段的線性逼近，橢圓編隊(duì)的相對(duì)速度呈周期性變化，其相對(duì)加速度解析公式如式(2)所示。該項(xiàng)系統(tǒng)固有的相對(duì)加速度大于一般電推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)施軌道控制所產(chǎn)生的加速度。因此，基于Hill方程的相對(duì)導(dǎo)航中加入推力效應(yīng)等效于系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)的噪聲，無法體現(xiàn)對(duì)相對(duì)軌道特征的影響。

編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)與Hill坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(3)

上述編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)能夠較好地反映相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幾何特征。沿跡向漂移l為相對(duì)運(yùn)動(dòng)的橢圓中心與主星的距離，星間的半長軸偏差Δa可以理解為沿跡向漂移的變化速率，是與沿跡向漂移相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量。

使用Hill方程的相對(duì)導(dǎo)航能夠較好地跟蹤軌道機(jī)動(dòng)情況下的相對(duì)位置、速度信息，及部分編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)，但無法快速準(zhǔn)確獲取半長軸偏差。實(shí)時(shí)導(dǎo)航濾波過程中，式(3)中的Δa只能置零處理。構(gòu)型參數(shù)無法跟蹤真實(shí)的變化情況，不能滿足自主軌道控制的控制策略輸入要求。

1.2 基于相對(duì)軌道擬平根的相對(duì)導(dǎo)航

定義相對(duì)軌道擬平根[7]

(4)

式(4)中，ak,ek,ik,ωk,Ωk,uk(k=1,2)均取軌道平根。定義標(biāo)量δe,δi滿足

定義如下編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)，相對(duì)軌道擬平根與編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足

參考文獻(xiàn)[7]提出的基于約化相對(duì)軌道擬平根的衛(wèi)星編隊(duì)導(dǎo)航方法，克服了模型線性化造成的誤差。該方法僅使用相對(duì)位置作為觀測量，且需要使用較長時(shí)間積累的歷史數(shù)據(jù)估計(jì)半長軸偏差。對(duì)于軌道機(jī)動(dòng)情況，無法有效跟蹤相對(duì)擬平根的變化情況。機(jī)動(dòng)后需要重啟導(dǎo)航，實(shí)現(xiàn)新狀態(tài)的建立。

2 軌道機(jī)動(dòng)跟蹤濾波

2.1 高斯攝動(dòng)方程與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

(5)

(6)

(7)

2.2 高維觀測方程

為了克服觀測方程的非線性對(duì)于Δa估計(jì)不準(zhǔn)的問題，設(shè)計(jì)采用高維的觀測方程。即充分利用合作目標(biāo)能夠獲取的相對(duì)位置、速度和機(jī)動(dòng)加速度等測量信息。

考慮軌道機(jī)動(dòng)的相對(duì)軌道擬平根的觀測方程取Y=h(X)，分量滿足式(8)。

(8)

2.3 無跡卡爾曼濾波

UKF采用無跡變換描述非線性方程函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開的二階項(xiàng)和其它高階項(xiàng)，通過少量樣本及其非線性變換后的均值和方差作為狀態(tài)預(yù)測、測量預(yù)測和相應(yīng)的方差陣[15]。UKF可以達(dá)到二階濾波精度，而不必對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，適合本文構(gòu)造的機(jī)動(dòng)跟蹤相對(duì)導(dǎo)航模型。從方法實(shí)現(xiàn)難宜程度和導(dǎo)航精度方面相較EKF都具有優(yōu)勢。

記系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程為

UKF的算法流程如下[18]。

(a) 初始化

其中，l為濾波器狀態(tài)變量的維數(shù)，α,k為可設(shè)濾波器參數(shù)。

(b) 選擇Sigma點(diǎn)

χi,k-1=

(c) 狀態(tài)預(yù)測

χi,k |k-1=f(χi,k-1)

yi,k |k-1=h(χi,k |k-1)

(d) 量測更新

上述式中Qk和Rk分別為系統(tǒng)誤差協(xié)方差矩陣和量測噪聲協(xié)方差矩陣。需要指出，針對(duì)不同工況下的Qk和Rk優(yōu)化是智能控制研究的一個(gè)重要方向。

圖2 機(jī)動(dòng)跟蹤的UKF導(dǎo)航濾波流程圖

3 導(dǎo)航算法的仿真驗(yàn)證

3.1 基于Hill方程的相對(duì)導(dǎo)航

為了充分驗(yàn)證導(dǎo)航算法對(duì)各向軌道機(jī)動(dòng)的跟蹤能力，仿真設(shè)計(jì)了軌道系下徑向、切向、法向這三個(gè)方向的4次機(jī)動(dòng)?？紤]衛(wèi)星質(zhì)量1500kg，配置40mN電推進(jìn)，推力加速度為2.67×10-5m/s2。軌道機(jī)動(dòng)的實(shí)施情況如圖3所示，相較自然攝動(dòng)下相對(duì)周期運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的相對(duì)加速度，軌道機(jī)動(dòng)的加速度相對(duì)較小。

相對(duì)測量考慮差分GNSS體制的測量精度，相對(duì)位置測量單軸精度0.1m，相對(duì)速度測量單軸精度0.001m/s。加速度測量ak考慮10%的偏差，采用如下式的簡易濾波anav(tk)=0.2·ak+0.8·ak-1。

根據(jù)仿真結(jié)果可以觀察到，基于Hill方程的相對(duì)導(dǎo)航，能夠跟蹤Hill坐標(biāo)系下的相對(duì)位置、速度變化，如圖4所示。但是，對(duì)于構(gòu)型參數(shù)中半長軸偏差Δa無法有效跟蹤。如圖5所示，動(dòng)力學(xué)曲線能夠有效反應(yīng)歷次軌道機(jī)動(dòng)的變化過程，體現(xiàn)為構(gòu)型參數(shù)的變化。但是，基于Hill方程的UKF濾波無法精準(zhǔn)確定星間的半長軸偏差。導(dǎo)致采用式(3)計(jì)算編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)時(shí)相關(guān)參數(shù)的失真現(xiàn)象，無法連續(xù)并準(zhǔn)確地確定機(jī)動(dòng)過程中的編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)。

圖3 自然攝動(dòng)和軌道機(jī)動(dòng)在軌道系下各軸變化情況

圖4 基于Hill方程的相對(duì)導(dǎo)航的相對(duì)位置、速度確定精度

3.2 基于軌道擬平根數(shù)的相對(duì)導(dǎo)航

使用本文所述的UKF相對(duì)導(dǎo)航方法，進(jìn)行軌道系下三個(gè)方向軌道機(jī)動(dòng)的跟蹤。UKF濾波器參數(shù)取值α=0.001,k=0。

濾波仿真結(jié)果如圖6和8所示，作為比對(duì)實(shí)驗(yàn)，設(shè)置了未采用機(jī)動(dòng)跟蹤狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的導(dǎo)航濾波仿真，結(jié)果如圖7和9所示。仿真結(jié)果表明，本方法能夠有效跟蹤機(jī)動(dòng)過程中構(gòu)型參數(shù)的變化，半長軸偏差的確定維持了較高的精度。

圖5 基于Hill方程的相對(duì)導(dǎo)航構(gòu)型參數(shù)

圖6 基于本文方法的相對(duì)導(dǎo)航結(jié)果

圖7 未采用機(jī)動(dòng)跟蹤狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的相對(duì)導(dǎo)航結(jié)果

圖8 基于本文方法的相對(duì)導(dǎo)航精度

圖9 未采用機(jī)動(dòng)跟蹤狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的相對(duì)導(dǎo)航精度

4 結(jié)論

提出了一種基于軌道擬平根數(shù)的UKF相對(duì)導(dǎo)航方法。針對(duì)基于Hill方程或者約化相對(duì)軌道擬平根的相對(duì)導(dǎo)航所存在的不足之處，考慮將高斯攝動(dòng)方程引入到相對(duì)軌道擬平根的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。推導(dǎo)了高維的觀測方程，結(jié)合UKF濾波算法，實(shí)現(xiàn)了針對(duì)編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)和星間半長軸偏差的高精度相對(duì)導(dǎo)航。

本文方法充分利用合作目標(biāo)相對(duì)位置、速度和機(jī)動(dòng)加速度等測量信息，能夠跟蹤軌道機(jī)動(dòng)對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響，連續(xù)給出控制策略所需的相對(duì)導(dǎo)航結(jié)果。