攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)積分滑模飽和制導(dǎo)律

陳寶文 孫經(jīng)廣

1. 深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 軟件學(xué)院，深圳 518172 2. 江蘇自動(dòng)化研究所，連云港 222061

0 引言

高速飛行器技術(shù)的快速發(fā)展，對攔截導(dǎo)彈的飛行速度和機(jī)動(dòng)性能提出了更高的要求[1-3]。目前導(dǎo)彈末端的主要攔截方式不再適用于攔截高速飛行的機(jī)動(dòng)目標(biāo)[4-5]。

目前防御武器的攔截方式是攔截者的速度大于目標(biāo)的速度時(shí)，采用尾追攔截，相反采用迎頭攔截。與高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)相比，攔截導(dǎo)彈不再具有速度上的優(yōu)勢，因此，傳統(tǒng)的制導(dǎo)方式很難保證高攔截概率。為攔截高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，文獻(xiàn)[6]首次提出前向制導(dǎo)方式，使得彈目運(yùn)動(dòng)速度相對較小，末端制導(dǎo)時(shí)間變長，增大攻擊區(qū)域。滑?？刂茖ο到y(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的攝動(dòng)和外界的干擾具有強(qiáng)的魯棒性，因此，在飛行器制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用[7-9]。文獻(xiàn)[10-11] 針對二維平面內(nèi)攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)，采用前向制導(dǎo)方式設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[12]以攔截高速飛行器為目標(biāo)，通過聯(lián)合滑?？刂坪妥赃m應(yīng)技術(shù)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模三維制導(dǎo)律，但沒有考慮執(zhí)行器輸入受限情況。文獻(xiàn)[13]針對攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)，利用逆軌攔截方式，結(jié)合最優(yōu)控制理論和雙曲正弦函數(shù)，設(shè)計(jì)了帶有角度約束的三維最優(yōu)制導(dǎo)律。

在實(shí)際制導(dǎo)過程中，導(dǎo)彈的加速度指令具有一定的物理約束條件，若在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過程中不考慮輸入受限，則可能導(dǎo)致制導(dǎo)系統(tǒng)性能的下降，甚至引起整個(gè)制導(dǎo)閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定[14]。文獻(xiàn)[15-16]在制導(dǎo)律中引入雙曲正切函數(shù)解決了導(dǎo)彈執(zhí)行器輸入受限問題。文獻(xiàn)[17-18]基于指令濾波反步控制方法，分別設(shè)計(jì)了滿足輸入飽和約束的二維和三維制導(dǎo)律。

為了攔截高速飛行目標(biāo)，本文采用前向制導(dǎo)方式，基于自適應(yīng)方法、積分滑模控制理論和輔助系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模三維制導(dǎo)律和抗飽和的自適應(yīng)滑模三維制導(dǎo)律。

1 問題描述

采用前向制導(dǎo)方法，三維的彈目相對運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 三維彈目相對運(yùn)動(dòng)幾何示意圖

則攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的三維彈目相對運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[12]如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，T為目標(biāo)，M為攔截彈。Vt和Vm分別是目標(biāo)的速度和攔截彈的速度；θL和φL分別是視線關(guān)于參考坐標(biāo)系的仰角和方位角。θt和φt為目標(biāo)速度矢量前置角；θm和φm為攔截彈速度矢量前置角。ayt和azt是目標(biāo)的加速度，aym和azm是攔截彈的加速度。

在設(shè)計(jì)過程中要求下式成立

θm=n1θt

(8)

φm=n2φt

(9)

其中，n1和2均為大于1的常數(shù)。保證式(8)和(9)中θm和φm分別隨著θt和φt的衰減而衰減。

(10)

(11)

E=

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對制導(dǎo)模型式(10)和(11)，利用積分滑?？刂评碚?、自適應(yīng)方法和輔助系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)積分滑模制導(dǎo)律和自適應(yīng)飽和積分滑?？刂坡?。

2.1 自適應(yīng)積分滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為滿足前向制導(dǎo)條件，令

ei=xi-niyi(i=1,2)

(12)

設(shè)計(jì)帶有自適應(yīng)增益的積分滑模面為

(13)

對式(13)求導(dǎo)可得

(14)

其中，niMi為系統(tǒng)干擾項(xiàng)。

為方便制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)，給出以下相關(guān)假設(shè)和引理。

假設(shè)1：假設(shè)系統(tǒng)干擾項(xiàng)niMi存在未知上界，即|niMi|≤dMi，且dMi為未知正常數(shù)。

為有效處理外部擾動(dòng)，利用自適應(yīng)算法對干擾上界進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)式(14)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)積分滑模三維前向制導(dǎo)律。

(15)

(16)

(17)

其中，k2，k3，1，γi和pi為正常數(shù)，0<β<1。

定理1：針對系統(tǒng)式(11)，在假設(shè)1條件下，當(dāng)外部擾動(dòng)上界未知時(shí)，在制導(dǎo)律(15)和自適應(yīng)律式(16)～(17)的作用下，滑模變量si是實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的，則ei在有限時(shí)間內(nèi)收斂到任意小區(qū)域內(nèi)。

證明：選取Lyapunov函數(shù)

(18)

對式(18)求導(dǎo)可得

(19)

根據(jù)

(20)

將式(20)代入(19)中可得

(21)

對滿足δ1>1/2的正常數(shù)δ1，可使得下列不等式成立

(22)

將式(22)代入(21)中，整理可得

(23)

選擇李雅普諾夫函數(shù)

(24)

利用式(15)和(17)，對式(24)求導(dǎo)整理得

(25)

根據(jù)

(26)

將式(26)代入(25)中，整理可得

(27)

2.2 自適應(yīng)飽和積分滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

考慮輸入受限，前向制導(dǎo)模型可重寫為

ei=Bisat(ui)+Fi-niMi-niEi

(28)

根據(jù)式(28)對(13)求導(dǎo)可得

Bisat(ui)+Fi-niMi-niEi+

(29)

為了處理飽和約束，引入如下的輔助系統(tǒng)

(30)

其中，Δui=ui-uic，uic為需要設(shè)計(jì)的控制輸入，ηi為輔助系統(tǒng)狀態(tài)量，σ，kη和kη1為正常數(shù)。

設(shè)計(jì)自適應(yīng)抗飽和積分滑模三維制導(dǎo)律

(31)

(32)

(33)

定理2：針對三維制導(dǎo)系統(tǒng)式(28)，在假設(shè)1條件下，當(dāng)外部擾動(dòng)上界未知時(shí)，在制導(dǎo)律式(31)的作用下，滑模面si為實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的，可使得則ei在有限時(shí)間內(nèi)收斂任意小區(qū)域內(nèi)。

證明：選取Lyapunov函數(shù)

(34)

對式(34)求導(dǎo)并代入(31)和(33)整理得

(35)

根據(jù)

siBiΔui-|siBiΔui|≤0

(36)

(37)

將式(36)和(37)代入(35)整理可得

(38)

根據(jù)式(20)和(22)，則式(38)可整理為

(39)

選擇李雅普諾夫函數(shù)

(40)

利用式(32)和(33)，對式(40)求導(dǎo)并整理可得

(41)

3 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證制導(dǎo)律的有效性。初始參數(shù)為：彈目相對距離為5000m，目標(biāo)位置為：(0m,0m,0m)，攔截彈位置為(4820m,1020m,-870m)，視線角值為θL=-10°和φL=-12°，導(dǎo)彈前置角為θm(0)=-20°和φm(0)=-15°，目標(biāo)前置角為θt=-20°和φt=-15°，導(dǎo)彈的速度為1500m/s，目標(biāo)的速度為2100m/s，目標(biāo)的加速度為2g。

3.1 自適應(yīng)積分滑模制導(dǎo)律仿真分析

為表明本文制導(dǎo)策略的魯棒性，與文獻(xiàn)[7]中的簡稱為SMGL的制導(dǎo)律進(jìn)行仿真對比。為對比簡便，自適應(yīng)積分滑模制導(dǎo)律簡寫為ATSMGL。制導(dǎo)參數(shù)選?。簁2=0.2、k3=0.5、1=0.02、γi=0.05、pi=0.01、β=0.62和α1=0.7，其仿真結(jié)果如圖2～3所示。表1給出了2種制導(dǎo)律所產(chǎn)生的脫靶量和攔截時(shí)間。

圖2給出的是視線傾角θm，θt曲線和視線偏角φm，φt曲線，從圖中可看出，在ATSMGL作用下，θm與θt快速保持倍數(shù)關(guān)系且迅速隨著θt收斂到0，而在SMGL作用下，θt收斂速度較慢。圖3給出導(dǎo)彈加速度的曲線，從圖中可看出，在ATSMGL作用下的加速度曲線變化連續(xù)光滑且抖振小。從表1可以看出,這兩種制導(dǎo)律均能使導(dǎo)彈成功攔截目標(biāo)。

圖2 視線傾角和視線偏角曲線

圖3 導(dǎo)彈加速度曲線

3.2 自適應(yīng)飽和積分滑模制導(dǎo)律仿真分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的抗飽和制導(dǎo)律式(31)的有效性，對以下2種目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行仿真分析：

情況1：常值機(jī)動(dòng)azt=ayt=2g；

情況2：余弦機(jī)動(dòng)azt=ayt=2cos(2t)g。

制導(dǎo)律參數(shù)選取σ=0.01，kη1=1.25和kη=0.5。其仿真結(jié)果如圖4～5所示。表2給出了2種目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況下的脫靶量和攔截時(shí)間。

從表2可知，針對不同目標(biāo)運(yùn)動(dòng)形式，導(dǎo)彈都能成功攔截。圖4給出的是視線傾角θm，θt曲線和視線偏角θm和θt曲線，從圖中可以看出，視線傾角和視線偏角在較短時(shí)間內(nèi)能夠快速收斂到,0。從導(dǎo)彈加速度曲線圖5可以看出，針對不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)形式，加速度值被限制在合理的范圍內(nèi)，充分證明了制導(dǎo)律的有效性。

圖4 視線傾角和視線偏角曲線

圖5 導(dǎo)彈加速度曲線

4 結(jié)論

針對高速機(jī)動(dòng)飛行器的攔截問題，利用前向制導(dǎo)方法，對攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)問題進(jìn)行了研究分析，主要結(jié)論如下

1) 在設(shè)計(jì)新型的自適應(yīng)積分終端滑模面基礎(chǔ)上，結(jié)合自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)了自適應(yīng)積分滑模制導(dǎo)律；

2) 通過引入輔助系統(tǒng)處理輸入飽和問題，設(shè)計(jì)了抗飽和的自適應(yīng)積分制導(dǎo)律，能夠保證系統(tǒng)滑模面為實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的；

3) 利用李雅普諾夫函數(shù)對所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律給出了穩(wěn)定性證明，并利用數(shù)字仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的有效性。