考研數(shù)學中的冪級數(shù)求和函數(shù)問題

吳德福，李艷春

(吉林建筑科技學院基礎科學部，吉林長春，130000)

冪級數(shù)求和函數(shù)是考研數(shù)學中的重要內容，其中涉及到的方法與技巧非常多，處理起來也非常靈活，本文根據(jù)歷年考研真題總結歸納出了一些求和函數(shù)的常見方法和題型.

1 預備知識：冪級數(shù)的和函數(shù)的分析性質

2 冪級數(shù)求和函數(shù)的常用方法總結

方法1：套常用公式

把常見函數(shù)展開成的麥克勞林級數(shù)反過來用，就得到了一些具有特定形式的冪級數(shù)的求和函數(shù)公式.下列基本公式就是解題中頻繁出現(xiàn)的，也是命題人出題的依據(jù)，應該熟稔于心.

分析對照常用公式，發(fā)現(xiàn)此級數(shù)與公式(5)比較類似，所以可以從此公式入手，將所求級數(shù)構造成公式(5)的形式，從而借助公式(5)完成解題.

方法2：先導后積

利用冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質，對于級數(shù)的系數(shù)是分數(shù)，且分母中含有n的一些類型，可以先逐項求導消去系數(shù)分母中的n，利用方法1中的公式求出和函數(shù)，然后再逐項積分還原求得原級數(shù)的和函數(shù).

從而S(x)=xarctanx，x∈[-1,1].

方法3：先積后導

利用冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質，對于級數(shù)的系數(shù)是關于n的多項式的這種類型，可以先逐項積分消去系數(shù)中的n，利用方法1中的常用公式求出和函數(shù)，然后再逐項求導還原求得原級數(shù)的和函數(shù).

一般地，形如∑(kn+b)xkn的冪級數(shù)求和問題都可以采用先積后導的方法解決.

分析形如∑(kn+b)xkn的冪級數(shù)，可以分解為∑(kn+b)xkn=∑(kn+1)xkn+(b-1)∑xkn，其中∑(kn+1)xkn可以用先積后導的方法求和函數(shù)，∑xkn可以用等比級數(shù)的結論求和函數(shù).

方法4：驗證冪級數(shù)滿足所給的微分方程，并通過解微分方程求和函數(shù)

對于某些冪級數(shù)，想直接求解出和函數(shù)有難度，為了降低難度，命題人一般會分兩步來命制試題：(1) 驗證和函數(shù)滿足所給的微分方程；(2) 求和函數(shù).這類問題可以利用和函數(shù)S(x)可以逐項求導的性質，求出S′(x),S″(x),…，驗證其滿足所給的微分方程.在解微分方程求和函數(shù)時，注意隱藏的初始條件，根據(jù)冪級數(shù)的表達式，不難得到S(0),S′(0),S″(0),…的值，根據(jù)這些初始條件就可以確定微分方程通解中的任意常數(shù)從而求得和函數(shù).

分析題干中給出了系數(shù)的遞推式，因而可以求出系數(shù)an的具體表達式，進而尋找求和函數(shù)的方法.但本題第一問讓證明S(x)滿足的微分方程，這樣就指明了解題方向，降低了難度.實際上，本題可以去掉第一問，讓學生自己去找S(x)所滿足的微分方程，這樣設置就加大了題目難度.

(Ⅱ) 解微分方程并注意到初始條件S(0)=a0=3，S′(0)=a1=1，得S(x)=2ex+e-x，-∞

方法5：建立和函數(shù)滿足的微分方程并求和函數(shù)

某些冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)用常規(guī)方法很難求得，這時可以考慮求出S′(x),S″(x),…，根據(jù)所給的系數(shù)an,an+1,an+2,…的關系式建立起S(x)所滿足的微分方程，并根據(jù)隱藏的初始條件S(0),S′(0),S″(0),…的值求出和函數(shù).

分析根據(jù)所給的冪級數(shù)系數(shù)的遞推式求解{an}的表達式是比較困難的，可以利用它來構建和函數(shù)所滿足的微分方程，并通過求解微分方程的方法求出和函數(shù).

以上僅列舉了考研數(shù)學中使用較多的方法，事實上，有些求和函數(shù)的問題需要多種方法綜合使用，需要讀者對各種方法能夠熟練運用，融會貫通.