基于“三教”理念培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)
——以二次函數(shù)與一元二次方程、不等式為例

邵 澤

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南昆明，650500)

培育學(xué)生核心素養(yǎng)是我國教育的應(yīng)然要求，數(shù)學(xué)作為高中階段的一門重要學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)中培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不容忽視.教育部印發(fā)的《全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》明確指出將立德樹人長(zhǎng)效地貫徹在教育的每一個(gè)階段，對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育即是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的主要要求之一.教師教學(xué)應(yīng)從關(guān)注知識(shí)的傳授上升為關(guān)注學(xué)生人格的培養(yǎng)，在發(fā)展關(guān)鍵能力的基礎(chǔ)上，形成正確的價(jià)值觀和必備的品格.數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)，也是參加社會(huì)生產(chǎn)和生活的基礎(chǔ)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)至關(guān)重要.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)[1].在高中數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)壓力大的形勢(shì)下，數(shù)學(xué)教學(xué)中“唯分?jǐn)?shù)論”現(xiàn)象明顯，教學(xué)以關(guān)注學(xué)生知識(shí)的掌握、考試成績(jī)?yōu)橹?，與立德樹人根本目標(biāo)背道而馳.現(xiàn)代教育背景下，改變?cè)摤F(xiàn)象迫在眉睫.

貴州師范大學(xué)呂傳漢教授于2014年提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)(簡(jiǎn)稱“三教”)的教育理念，在“三教”教育理念的引領(lǐng)下讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)和表達(dá)數(shù)學(xué)，進(jìn)一步培育學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)[2].教思考，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；教體驗(yàn)，旨在突出學(xué)生的主體地位；教表達(dá)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力.教思考、教體驗(yàn)與教表達(dá)“三教”并舉，讓學(xué)生在體驗(yàn)中思考，思考中體驗(yàn)，最終進(jìn)行規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)，并在表達(dá)中進(jìn)行再思考、再體驗(yàn).

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，人教A版數(shù)學(xué)新教材二次函數(shù)與一元二次方程、不等式是由初中較為具體的數(shù)學(xué)知識(shí)到高中較為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的過渡并與初中數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)聯(lián)系，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).二次函數(shù)與一元二次方程、不等式內(nèi)容與舊教材一元二次不等式及其解法內(nèi)容相比變動(dòng)較大，加強(qiáng)了與初中知識(shí)的聯(lián)系，將其與二次函數(shù)和一元二次方程結(jié)合起來，更具邏輯性.而在一定的程度上，教師教學(xué)該內(nèi)容時(shí)仍不能脫離舊教材的形式，僅把一元二次不等式解法作為該節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)，此背景下學(xué)生對(duì)其學(xué)習(xí)也存在一定困難，往往局限于求解一元二次不等式的形式上.為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，本文選取二次函數(shù)與一元二次方程、不等式為例，借助呂傳漢教授的“三教”教學(xué)理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在設(shè)計(jì)落實(shí)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例，以期為一線教師提供參考.

1 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 內(nèi)容分析

一元二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式貫穿函數(shù)、方程及不等式內(nèi)容，具有廣泛應(yīng)用性，是學(xué)好后續(xù)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)等內(nèi)容的基礎(chǔ).本節(jié)內(nèi)容用函數(shù)的觀點(diǎn)把方程和不等式聯(lián)系起來，突出函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)過程中不僅要關(guān)注不等式的解法，更要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的傳遞.事實(shí)上，在初中的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次函數(shù)及方程，掌握了用一次函數(shù)看一元一次方程和不等式的方法，且在前面等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中對(duì)不等式有了深刻的認(rèn)識(shí).該節(jié)內(nèi)容在學(xué)生已有認(rèn)知上提升了對(duì)數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的要求，突出數(shù)學(xué)思想方法，教師教學(xué)必須利用學(xué)生已有基礎(chǔ)，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，再次強(qiáng)調(diào)用函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的思想方法.

1.2 教學(xué)目標(biāo)及重、難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)及重、難點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心所在，教學(xué)過程設(shè)計(jì)往往是圍繞目標(biāo)及重難點(diǎn)設(shè)計(jì)展開的.筆者在仔細(xì)研讀普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合“三教”教育理念及學(xué)生已有認(rèn)知設(shè)計(jì)合理的教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn).

教學(xué)目標(biāo)：從實(shí)際數(shù)學(xué)情境中認(rèn)識(shí)一元二次不等式的定義；根據(jù)實(shí)際問題引發(fā)學(xué)生思考，為解決實(shí)際問題進(jìn)行再思考再體驗(yàn)；體驗(yàn)具體二次函數(shù)的作圖過程，回顧一元二次方程的解，通過觀察二次函數(shù)圖象建立二次函數(shù)與方程的聯(lián)系，層層遞進(jìn)建立二次函數(shù)與一元二次不等式的聯(lián)系；經(jīng)歷特殊推廣到一般的過程，掌握二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的對(duì)應(yīng)關(guān)系；用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)解一元二次不等式的步驟，建立數(shù)學(xué)自信.

教學(xué)重點(diǎn)：了解一元二次不等式的定義，會(huì)求解一元二次不等式并用集合表示解集.

教學(xué)難點(diǎn)：掌握二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想方法.

1.3 教學(xué)過程

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，該教學(xué)設(shè)計(jì)主要圍繞教材展開，以教材為主線貫穿教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教學(xué)過程主要包含一元二次不等式定義構(gòu)建、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式關(guān)系構(gòu)建；二次函數(shù)與一元二次方程、不等式關(guān)系表達(dá)；一元二次不等式應(yīng)用及再思考四部分.以問題串的形式對(duì)每部分的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生在問題中思考、體驗(yàn)并表達(dá).

1.3.1 一元二次不等式定義建構(gòu)

思考問題1：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個(gè)矩形區(qū)域種植花卉.若柵欄的長(zhǎng)度是24 m，圍成的矩形面積要大于20 m2，則這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少米？

首先將矩形一條邊長(zhǎng)設(shè)為x，根據(jù)面積公式結(jié)合題意的(12-x)x>20，其中x∈{x|0

設(shè)計(jì)意圖：以生活中的實(shí)際問題為導(dǎo)向，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活.課堂一開始，立即激發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)引發(fā)學(xué)生的“數(shù)學(xué)思考”，在“數(shù)學(xué)思考”的過程中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界的思維習(xí)慣.并在具體問題的解決過程中發(fā)現(xiàn)問題，提出新問題，抽象出一元二次不等式的定義.

值得注意的是，解決思考問題1這類問題的核心在于提取問題關(guān)鍵信息，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.教師應(yīng)該著重引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中構(gòu)建出柵欄模型，把文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)信息，使實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、直觀化，既做到把實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題緊密結(jié)合，又能培養(yǎng)學(xué)生邏輯抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).另外關(guān)于變量x的取值范圍學(xué)生也易忽視，應(yīng)該著重強(qiáng)調(diào)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

事實(shí)上，思考問題1屬于創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，引入課例環(huán)節(jié).此環(huán)節(jié)中，教師容易忽視數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，僅以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣作為情境目標(biāo)顯然是不夠的.問題情境必須緊緊圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)，以教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考為目標(biāo)，在此基礎(chǔ)上激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣.因此必須對(duì)提出的問題深入探究直至解決.

1.3.2 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式關(guān)系建構(gòu)

思考問題2：要解決思考問題1，必須求出思考問題1中得到的不等式解集，即能得出種植花卉的柵欄矩形的邊長(zhǎng)，問題1中不等式的解集應(yīng)該如何求解？通過初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握了從一次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式(三個(gè)“一次”)的思想方法，所以先解決如下問題：

a) 解方程2x+3=0.

b) 作函數(shù)圖象y=2x+3.

c) 解不等式2x+3>0及2x+3<0.

設(shè)計(jì)意圖：突破數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教師為主體的復(fù)習(xí)導(dǎo)入法，以問題解決的形式對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行回顧，再次引發(fā)學(xué)生深入思考回顧，喚起元認(rèn)知，加深對(duì)已有知識(shí)的把握，同時(shí)為引出本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容(三個(gè)“二次”)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，因此在解決問題2的同時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合問題1，以數(shù)學(xué)的眼光看待和發(fā)現(xiàn)問題，提出新問題3.

通過初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)擁有了獨(dú)立解決該問題的能力，教師應(yīng)該充分把時(shí)間還給學(xué)生，跳出“一言堂”的教學(xué)模式，時(shí)刻把學(xué)生的主體地位牢記于心并在實(shí)際教學(xué)中付諸實(shí)踐.教學(xué)中秉承不拋棄不放棄每一個(gè)學(xué)生的教學(xué)原則，針對(duì)本課例中銜接新舊知識(shí)的思考問題2，應(yīng)該保證每一位學(xué)生都能準(zhǔn)確解決，在解決問題的同時(shí)有所思考，這實(shí)質(zhì)上也是一種把培養(yǎng)核心素養(yǎng)落到實(shí)處的教學(xué)行為.

思考問題3：與思考問題2類似，能否從二次函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法？考察探究以下問題：

d)解方程x2-12x+20=0.

e)作函數(shù)圖象y=x2-12x+20.

f)解不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在思考問題2的基礎(chǔ)上通過類比的思想思考、解決上述問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，從已有的事實(shí)出發(fā)，類比推理得到不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0的解.

值得一提的是對(duì)于思考問題3的教學(xué)難點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生通過觀察二次函數(shù)圖象y=x2-12x+20找到其與之對(duì)應(yīng)得一元二次方程x2-12x+20=0解的聯(lián)系，在此過程中抽象出一般二次函數(shù)的零點(diǎn)概念，即使得ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).此基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象觀察得出不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0的幾何意義并表示出兩個(gè)一元二次不等式的解，通過這一過程的思考探究最終促使學(xué)生可以獨(dú)立抽象出求解一般的一元二次不等式解集的方法.

1.3.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式關(guān)系表達(dá)

思考問題5：回顧以上探索過程，對(duì)于一般的一元二次方程、一元二次函數(shù)和一元二次不等式(三個(gè)“二次”)它們?nèi)咧g有什么關(guān)系？并把下面的表格表1補(bǔ)充完整，把它們之間的關(guān)系以表格的形式表達(dá)出來.

表1 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：以表格的形式引導(dǎo)學(xué)生梳理二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生清晰、有條理地表達(dá)所學(xué)知識(shí)，在表格填寫中突出數(shù)學(xué)中“自然語言”“符號(hào)語言”“圖形語言”的轉(zhuǎn)換.

問題5：回顧探究過程，我們是如何求解一元二次不等式的，請(qǐng)大家思考并交流求解一元二次不等式的具體步驟.提示學(xué)生思考時(shí)借助流程圖表達(dá)解一元二次不等式步驟，使其可視化，其中求解過程如圖1所示.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧上述求解一元二次不等式的數(shù)學(xué)體驗(yàn)過程，達(dá)到在體驗(yàn)中思考，在思考中體驗(yàn)，并能夠最終把其具體步驟數(shù)學(xué)的表達(dá)的效果，把“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”很好地融合起來，貫穿于教學(xué)活動(dòng)的始終.這一教學(xué)環(huán)節(jié)實(shí)質(zhì)上也是對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育過程.

圖1 一元二次不等式求解步驟

2 一元二次不等式應(yīng)用及再思考

思考問題6：解下列不等式：(1) 3x2-7x≤10；(2) -2x2+x<-3.

設(shè)計(jì)意圖：在掌握“三個(gè)二次”的關(guān)系的基礎(chǔ)上，了解解一元二次不等式的步驟，通過練習(xí)加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，在解決問題的過程中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)體驗(yàn)，使學(xué)生深刻感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值.在解不等式問題的設(shè)計(jì)中，一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)設(shè)置有正有負(fù)，學(xué)生能夠靈活思考并應(yīng)用已學(xué)知識(shí)得出不等式的解集，這樣設(shè)計(jì)旨在培育學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

值得一提的是，若不將二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的一元二次不等式化為正數(shù)的情形可以直接解一元二次不等式？讓同學(xué)們以小組形式討論，根據(jù)以上從二次函數(shù)圖像看二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式解，討論二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的情形，加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí).這一看似使問題變復(fù)雜的討論事實(shí)上是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，通過學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅要達(dá)到快速解題的目標(biāo)，還應(yīng)該發(fā)展數(shù)學(xué)思維，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)會(huì)多角度思考問題.

思考問題7：設(shè)m為實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式：mx2+2mx-3<0.

設(shè)計(jì)意圖：通過解含參不等式，進(jìn)一步提升對(duì)一元二次不等式解法的應(yīng)用，同時(shí)引發(fā)學(xué)生對(duì)于m<0，m>0或m=0不同種情況的分類思考，分類思考往往是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中容易忽視的地方，教師除正確引導(dǎo)學(xué)生解決問題外，還應(yīng)該引發(fā)學(xué)生對(duì)解一元二次不等式方法步驟的在思考，思考該解法的真正內(nèi)涵所在，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3 結(jié)束語

首先，本課例以“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(四基)”作為問題的出發(fā)點(diǎn)和歸宿設(shè)計(jì)問題串，學(xué)生在7個(gè)思考問題中深度探索，深度思考，獲得基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也提高了基本技能.在思考的過程中教師應(yīng)提倡為學(xué)生“讓學(xué)”的教育理念，其中“讓學(xué)”指在某一時(shí)段老師安排學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的課堂行為[3]，給予學(xué)生充分的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，只有充分思考才能達(dá)到充分理解.

其次，本課例通過搭建“三個(gè)一次”關(guān)系的腳手架展開，學(xué)生以此為支架對(duì)求解一元二次不等式形成認(rèn)識(shí)，最終建立“三個(gè)二次”的關(guān)系.在“三個(gè)一次”關(guān)系的腳手架中體驗(yàn)一次函數(shù)作圖過程，體會(huì)一元二次不等式與一元二次函數(shù)、方程的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行更深層次體驗(yàn)，體驗(yàn)二次函數(shù)作圖及解一元二次方程過程，通過觀察建立“三個(gè)二次”的關(guān)系.通過學(xué)習(xí)掌握解一元二次不等式的方法，用其體驗(yàn)解題的樂趣，建立學(xué)生的數(shù)學(xué)自信.基于體驗(yàn)的學(xué)習(xí)方法認(rèn)為學(xué)習(xí)者獲得技能和構(gòu)建知識(shí)是體驗(yàn)的直接結(jié)果[4]，課例中對(duì)一元二次不等式定義及“三個(gè)二次”關(guān)系的構(gòu)建皆以教師引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建為主，充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)地位和學(xué)生的主體地位，給予學(xué)生充分體驗(yàn)的機(jī)會(huì).

再次，學(xué)生在問題中充分思考和體驗(yàn)后進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)，提升數(shù)學(xué)交流能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.本課例主要涉及“三個(gè)二次”關(guān)系及解一元二次不等式步驟的表達(dá)，教師引導(dǎo)學(xué)生在“三個(gè)二次”關(guān)系中以表格的形式表達(dá)，在解一元二次不等式步驟中以流程圖的形式表達(dá)，更加清晰明了.

總之，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該給予學(xué)生充分思考、體驗(yàn)及表達(dá)的機(jī)會(huì)，學(xué)生能在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)發(fā)展關(guān)鍵能力，其次教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐步形成正確價(jià)值觀及必備的數(shù)學(xué)品格，正確把握“三教”理念，培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[6].