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    一道圓錐曲線試題的再探究

    2014-04-29 00:44:03童殷
    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)

    童殷

    摘 要:本文通過(guò)研究某校的一道涉及圓錐曲線的月考試題,得到一個(gè)有用的結(jié)論,并將此結(jié)論進(jìn)行了一般化推廣.

    關(guān)鍵詞:圓錐曲線;試題探究

    在平時(shí)的教學(xué)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多有價(jià)值的題目,教師不能就題論題,而應(yīng)認(rèn)真挖掘題目的豐富內(nèi)涵和背景,通過(guò)對(duì)一個(gè)有價(jià)值的基本問(wèn)題的研究,以變換問(wèn)題的條件、結(jié)論、設(shè)問(wèn)等方式可以有效提升學(xué)生的思維品質(zhì),激發(fā)學(xué)生的探索興趣.

    試題呈現(xiàn)

    已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,Q1, 在橢圓C上,A,B為橢圓C的左、右頂點(diǎn).

    (1)求橢圓C的方程;

    (2)若P是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AP,PB并延長(zhǎng),分別與右準(zhǔn)線l相交于M1,M2. 問(wèn):是否存在x軸上定點(diǎn)D,使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D?若存在,求點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

    解:(1)由e= 得:a=2c,b= c,從而有:C: + =1(c>0)

    又Q1, 在橢圓C上,故有 + =1,解得c=1.

    所以橢圓C的方程為: + =1.

    (2)設(shè)P(x1,y1),由(1)知:A(-2,0),B(2,0),l:x=4,

    則直線AP的方程為:y= (x+2),由x=4得y= ,所以M14, ;同理得:M24, .

    假設(shè)存在點(diǎn)D(t,0),使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D?圳 ⊥ =0?圳 · =0,即:(4-t)2+ =0.

    又P(x1,y1)在橢圓C上,所以3x +4y =12,所以 =- . 代入上式得(4-t)2+12×- =0,解得t=1或7.

    所以,存在D(1,0)或D(7,0),使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D.

    點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò):“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目,還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題的過(guò)程中,提高他們的才智與推理能力.” 仔細(xì)研究第2問(wèn)的結(jié)果,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問(wèn)題,即t=1= = ,t=7= = . 由此,我們便會(huì)想這樣的結(jié)論是否適合一般方程,雙曲線是否具有類(lèi)似的結(jié)論?下面我們對(duì)此進(jìn)行研究.

    推廣探究

    結(jié)論1:已知橢圓C: + =1(a>b>0),A,B為橢圓C的左、右頂點(diǎn). 若P是橢圓上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AP,PB并延長(zhǎng),分別與右準(zhǔn)線l相交于M1,M2,則存在x軸上定點(diǎn)D,使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D,且D的坐標(biāo)為 ,0或 ,0.

    證明:設(shè)P(x1,y1),A(-a,0),B(a,0),l:x= ,則直線AP的方程為:y= (x+a),由x= 得y= · ,所以M1 , · ;同理得:M , · .

    假設(shè)存在點(diǎn)D(t,0),使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D?圳 ⊥ =0?圳 · =0,即: -t2+ · =0.

    又P(x1,y1)在橢圓C上,所以b2x +a2y =a2b2,所以 =- .

    代入上式得 -t2- · =0,解得t= 或t= .

    所以,存在D ,0或D ,0,使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D.

    結(jié)論2:已知雙曲線C: - =1(a>0,b>0),A,B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn). 若P是雙曲線右支上異于B的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AP,PB并延長(zhǎng),分別與右準(zhǔn)線l相交于M1,M2,則存在x軸上定點(diǎn)D,使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D,且D的坐標(biāo)為 ,0或 ,0.

    證明:設(shè)P(x1,y1),A(-a,0),B(a,0),l:x= ,則直線AP的方程為:y= (x+a),由x= 得y= · ,所以M1 , · ;同理得:M2 , · .

    假設(shè)存在點(diǎn)D(t,0),使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D?圳 ⊥ =0?圳 · =0,即: -t2+ · =0.

    又P(x1,y1)在雙曲線C上,所以b2x -a2y =a2b2,所以 = .

    代入上式得 -t2+ · =0,解得t= 或t= . 所以,存在D ,0或D ,0,使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D.

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