• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    圓錐曲線“最值問題”的解題表設計探究
    ——基于波利亞“怎樣解題”的思想

    2022-10-31 04:52:34◎溫
    數學學習與研究 2022年25期
    關鍵詞:代數方程最值問題波利亞

    ◎溫 定

    (華南師范大學數學科學學院,廣州 510000)

    一、簡介

    在歐洲文藝復興期間,數學也得到了極大的發(fā)展,Rene Descartes和Pierre de Fermat等數學家開時代之先河,創(chuàng)立并發(fā)展了解析幾何這一全新的幾何學分支,實現了代數與幾何的完美融合在高中數學的知識體系中,以圓錐曲線為主要研究對象的平面解析幾何占據了極其重要的位置,其中的“最值問題”更是在近些年的高考題中頻頻出現,很大程度上考驗了高中生的直觀想象和數學運算等數學核心素養(yǎng)波利亞“怎樣解題”的思想源自匈牙利數學家George Polya,這一思想采取問題引導的形式,循序漸進地啟發(fā)學生對某一問題進行探索,極大體現了元認知策略在解題過程中的應用這一思想不僅能以程序化的形式為學生提供解題思路,更能啟迪學生學會如何思考問題,培養(yǎng)他們獨立探索的能力

    為了更好地引導學生樹立良好的解題習慣,培養(yǎng)正確的解題思路,提高問題解決和知識遷移的能力,筆者基于波利亞“怎樣解題”的思想,以一道高考題為例,探究設計了高中數學圓錐曲線部分關于“最值問題”的解題表

    二、解題表的設計探究——以一道高考題為例

    例題呈現 (2021年全國乙卷數學(理)第21題)

    已知拋物線:=2(>0)的焦點為,且與圓:+(+4)=1上點的距離的最小值為4

    (1)求;(2)若點在上,,是的兩條切線,,是切點,求△面積的最大值

    第二問:這是一個經典的圓錐曲線“最值問題”,本文將以該題為例,基于波利亞“怎樣解題”的思想,探究圓錐曲線“最值問題”解題表的設計

    (一)弄清問題,明確幾何對象和待求最值

    在弄清問題階段,我們的主要工作是明晰已知與未知,理清整個問題的來龍去脈根據波利亞“怎樣解題”的思想,我們將從引導語“未知數是什么”“已知數據是什么”“條件是什么”中得到一些啟發(fā)

    1未知數是什么?

    顧名思義,對于“最值問題”而言,它的未知數是明確的,就是題目需要我們求解的最值因此,這里的引導語可以改寫為“問題需要我們求解的最值是什么?”,具體到例題,它要求我們計算的最值是“△面積的最大值”

    2已知數據是什么?條件是什么?

    圖1 表征題目的草圖

    就研究對象而言,圓錐曲線的“最值問題”仍然屬于幾何學問題的范疇,它具有幾何學問題共有的一些特點,直觀性就是其中之一對于某一具體的幾何問題,常常可以借助繪制草圖的方法對問題進行直觀的描繪和解析,幫助解題者更為直觀明了地理解這個問題因此,在弄清問題這一階段,需要盡可能地畫出相應的草圖,對問題進行可視化表征我們根據題設條件,可以繪制例題對應的草圖如圖1所示

    而后,結合問題描述和草圖呈現,可以對問題中所涉及的幾何對象進行一一羅列,并闡明它們的幾何意義,賦予它們適當的符號假設和代數表示(如表1所示)

    表1 題目所涉及幾何對象及其意義

    同時,為了充分運用問題中的條件,還需要我們結合問題描述和草圖呈現,盡可能完整地羅列出各個幾何對象之間的聯(lián)系具體而言,我們可以在題目中挖掘出以下幾何關系:條件①:點在圓上;條件②:直線,是拋物線的兩條切線,切點分別為,;條件③:直線與拋物線分別交于,兩點

    我們可以為“最值問題”具體地添加這些引導語:“你能繪制出這個問題對應的草圖嗎?”“結合問題描述和草圖呈現,你可以明確哪些幾何對象?它們有相應的符號假設和代數表示嗎?如果沒有,你能否為它們加上?”“這些幾何對象之間有什么關系?你可以把它們一一羅列出來嗎?”

    (二)擬定計劃,將原問題代數化

    在擬定計劃這一階段,旨在找出已知數與未知數之間的聯(lián)系,構思出一個解決問題的計劃具體到圓錐曲線“最值問題”的求解計劃,就是要利用解析幾何的工具,分別將幾何關系和待求最值代數化,得到相應的代數方程和代數式,并建立二者之間的代數學聯(lián)系,將圓錐曲線“最值問題”轉化為代數學意義上的“最值問題”

    1幾何關系代數化

    根據歸納的幾何關系,結合所學知識,我們可以得到如下代數方程:

    (1)條件①的代數化:

    由于點在圓上,故(,)滿足圓的方程,即

    (1)

    (2)條件②的代數化:

    首先,根據條件我們可以認識到,點,在拋物線上,從而有

    從而,直線,的方程可以表示為

    (2)

    (3)條件③的代數化:

    為了研究直線與拋物線之間的相交關系,我們首先要獲得直線的方程,此處可以從前面求得的直線,的方程出發(fā),展開思考由于點既在直線上,又在直線上,故根據(2)式,有

    回到條件③,直線與拋物線分別交于,兩點,那么,聯(lián)立兩者的方程,得

    -2+4=0,

    (3)

    并有

    =(-2)-4·4=4·(-4)>0,

    又由韋達定理,得+=2,=4

    2待求最值代數化

    而后,需要再觀察問題中需要我們求解的最值,它是否為代數式的形式,如果不是,也應將其進行代數化具體到這一例題,“△面積的最大值”的確不是以一個代數式的形式出現,因此,首先需要將其進行代數化,即將其表示為()并且,根據三角形的面積公式,有

    其中,表示點到直線的距離,由點到直線的距離公式可得

    ||表示線段的長度,由弦長公式可得

    那么,有:

    3問題的代數化

    總而言之,解題表中的引導語可以寫為:“你能夠將這些幾何關系進行代數化,得到相應的代數方程嗎?”“待求最值是代數形式嗎?如果不是,你可以將它進行代數化嗎?”“你可以運用代數學的方法,利用所得的代數方程求解得到代數式的最值嗎?”

    (三)執(zhí)行計劃,利用代數學方法求解最值

    這一部分的實現,主要取決于代數方程的完整性和解題者的代數學功底一方面,如果這個“最值問題”本身是可解的,那么只要保證了代數方程的完整性,一般可以借由這些代數方程推導出代數式的最值,即問題中需要我們求解的最值另一方面,這里所涉及的代數方程通常為元一次方程或分式方程,代數式的最值求解用不等式或函數方法一般都可以實現不過,對于不同的問題,其運算量往往是參差不齊的,這就要求學生具有較為良好的數學運算核心素養(yǎng)和扎實的代數學功底

    由代數方程(1),可以得到=1-(+4),且-5≤≤-3

    從而-4=1-(+4)-4=--12-15=-(+6)+21則當=-5時,有:

    (-4)=[-(+6)+21]=-(-5+6)+21=20

    此時,△的面積取得最大值,即

    至此,已經給出了整個問題的完整解答過程

    歸結而言,這一部分的引導語可以改寫為:“按照你的計劃,運用代數學的方法,根據所獲得的代數方程求解代數式的最值,進而獲得問題中的最值”“在求解過程中,檢驗你的演算過程是否正確”

    (四)回顧反思,探索新法,推廣結論

    在回顧反思階段,旨在回溯和反思整個過程,挖掘解題要點,并探索其他解題思路和結論的推廣

    1其他方法的探索

    回溯上文的步驟,我們以平面直角坐標系為依托,基于幾何對象的一般方程,將已知對象和已知條件轉化為相應的代數方程,并利用三角形面積公式,將待求最值轉化為相應的代數式,從而將整個問題進行代數化,最后運用代數學的方法得到了問題的結果此處,我們可以從代數方程的形式和三角形面積的計算方法兩個方面入手,探尋新的解題思路

    一方面,可以適當地將一般方程替換為參數方程對于圓上的一點,可以借由圓的參數方程,將其坐標表示為(cos,-4+sin),那么就有:

    另一方面,可以從三角形的面積計算方法入手,這里主要介紹圖形割補法和三角形面積的向量公式兩種方案

    圖2 圖形割補法示意

    后續(xù)步驟略

    進而有:

    所以得到:

    后續(xù)步驟略

    2問題的一般化推廣

    綜上所述,回顧反思階段的引導語可以表述為“你是否可以采用其他方法得出這一結果?譬如應用不同形式的代數方程或不同類型的計算公式”“你可以將原問題的結論進行推廣嗎?”

    三、結果呈現

    綜上所述,可以整理得到圓錐曲線“最值問題”的解題表如表2所示

    表2 圓錐曲線“定值問題”的解題表

    四、應用與推廣

    本文結合了波利亞“怎樣解題”的思想和圓錐曲線“最值問題”的特點,探究設計了“最值問題”的解題表,旨在引導學生理清“最值問題”的結構,對“最值問題”的求解和反思有一個更為清晰的認識具體而言,就是“啟發(fā)式”地運用幾何直觀和代數形式對問題進行表征,明晰問題中的已知與未知,將問題進行代數化,最后借助代數學的方法對幾何問題進行求解,感悟幾何與代數的碰撞這不僅可以為學生的解題和反思提供一定的引導,也可以為教師的題目講授提供一定的教學參考

    在高中階段,圓錐曲線部分的知識涉及面廣,還包括了定值問題、存在性問題等綜合類問題本文設計的解題表主要適用于圓錐曲線部分的“最值問題”,對于其他類型的問題具有較弱的適用性,但仍有一定的參考作用目前,國內大多數運用到波利亞解題思想的研究都是針對某一個具體的題進行分析,對于某一類問題的解題表設計較為少見,值得后來者繼續(xù)研究與探索

    猜你喜歡
    代數方程最值問題波利亞
    波利亞的“解題表”
    ex≥x+1與lnx≤x-1的應用
    高考·上(2019年4期)2019-09-10 02:55:41
    基于置換思想的代數方程求解理論探析
    波利亞——本老師不是變態(tài)
    百科知識(2018年18期)2018-09-12 18:52:52
    未知量符號x的歷史穿越
    淺談高中數學中最值問題的教學
    談最值問題與實際生活
    橢圓中常見的最值問題
    拉格朗日代數方程求解中的置換思想
    三角函數最值問題
    考試周刊(2016年85期)2016-11-11 01:13:34
    黄频高清免费视频| 免费在线观看亚洲国产| 高清毛片免费观看视频网站 | 真人做人爱边吃奶动态| 色婷婷av一区二区三区视频| 久99久视频精品免费| 国产熟女午夜一区二区三区| 一级,二级,三级黄色视频| 又大又爽又粗| 91国产中文字幕| 视频在线观看一区二区三区| 麻豆av在线久日| 嫁个100分男人电影在线观看| 天天操日日干夜夜撸| 免费人成视频x8x8入口观看| 亚洲一区二区三区欧美精品| 在线观看午夜福利视频| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 免费日韩欧美在线观看| 一级a爱片免费观看的视频| 免费高清在线观看日韩| 女人精品久久久久毛片| 咕卡用的链子| 欧美精品高潮呻吟av久久| 岛国毛片在线播放| 操出白浆在线播放| 热re99久久国产66热| 悠悠久久av| 亚洲,欧美精品.| 色精品久久人妻99蜜桃| 久久ye,这里只有精品| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 久久久国产欧美日韩av| 天堂中文最新版在线下载| 99久久精品国产亚洲精品| 91精品国产国语对白视频| 欧美日韩黄片免| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 1024视频免费在线观看| 黑人猛操日本美女一级片| 黑人操中国人逼视频| 99国产精品一区二区三区| 99香蕉大伊视频| 欧美成狂野欧美在线观看| 桃红色精品国产亚洲av| 久久久久视频综合| x7x7x7水蜜桃| 一级片'在线观看视频| 高潮久久久久久久久久久不卡| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 亚洲全国av大片| 美女午夜性视频免费| 国产亚洲欧美在线一区二区| 国产av精品麻豆| 岛国毛片在线播放| 中文字幕人妻丝袜制服| 麻豆av在线久日| 精品无人区乱码1区二区| 久久久国产一区二区| 精品少妇久久久久久888优播| 亚洲欧美一区二区三区久久| 97人妻天天添夜夜摸| 美女视频免费永久观看网站| 新久久久久国产一级毛片| 久久亚洲精品不卡| 国产男靠女视频免费网站| 日韩欧美一区二区三区在线观看 | 成年女人毛片免费观看观看9 | 成年人免费黄色播放视频| 制服诱惑二区| 欧美乱码精品一区二区三区| 欧美黑人精品巨大| 欧美精品一区二区免费开放| av国产精品久久久久影院| 国产一区二区三区视频了| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 欧美成狂野欧美在线观看| 免费观看精品视频网站| 99久久人妻综合| 99国产综合亚洲精品| 两人在一起打扑克的视频| 韩国av一区二区三区四区| 亚洲少妇的诱惑av| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 午夜福利影视在线免费观看| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 亚洲精华国产精华精| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| av免费在线观看网站| 午夜福利一区二区在线看| 久久精品91无色码中文字幕| 国产成人av激情在线播放| 国产一区二区三区视频了| 啦啦啦 在线观看视频| 精品熟女少妇八av免费久了| 久久 成人 亚洲| 好男人电影高清在线观看| 成在线人永久免费视频| 亚洲精品国产一区二区精华液| 手机成人av网站| 丰满的人妻完整版| 日韩有码中文字幕| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看 | 黄色 视频免费看| 日本黄色日本黄色录像| 国产单亲对白刺激| 国产视频一区二区在线看| 午夜免费观看网址| 日本一区二区免费在线视频| 老司机亚洲免费影院| 一a级毛片在线观看| 中国美女看黄片| 国产在线精品亚洲第一网站| 乱人伦中国视频| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 欧美另类亚洲清纯唯美| 欧美成人午夜精品| 久久精品人人爽人人爽视色| 大码成人一级视频| 国产精品1区2区在线观看. | 国产日韩一区二区三区精品不卡| 大型黄色视频在线免费观看| 夜夜爽天天搞| 黑人欧美特级aaaaaa片| 中文字幕制服av| 老司机影院毛片| 亚洲精品乱久久久久久| 国产亚洲av高清不卡| 亚洲av美国av| 精品国产一区二区久久| 午夜福利影视在线免费观看| 18禁观看日本| 女性生殖器流出的白浆| 十分钟在线观看高清视频www| 国产精品国产高清国产av | 亚洲精品av麻豆狂野| 涩涩av久久男人的天堂| а√天堂www在线а√下载 | 亚洲精品国产精品久久久不卡| 美女 人体艺术 gogo| 香蕉久久夜色| 亚洲成人国产一区在线观看| av片东京热男人的天堂| 久久久久国产精品人妻aⅴ院 | 日日摸夜夜添夜夜添小说| 国产精品影院久久| 中国美女看黄片| 亚洲色图综合在线观看| 精品一区二区三卡| 久久午夜亚洲精品久久| 无限看片的www在线观看| 一a级毛片在线观看| 大香蕉久久成人网| 香蕉久久夜色| 国产蜜桃级精品一区二区三区 | 男女午夜视频在线观看| 国产成人影院久久av| 欧美最黄视频在线播放免费 | 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 黄片大片在线免费观看| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 婷婷精品国产亚洲av在线 | 美女视频免费永久观看网站| 久久久久久久精品吃奶| 久久午夜综合久久蜜桃| ponron亚洲| 99国产综合亚洲精品| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 成人免费观看视频高清| 午夜久久久在线观看| 动漫黄色视频在线观看| 久久99一区二区三区| 国产精品一区二区免费欧美| 乱人伦中国视频| 久久亚洲真实| 看片在线看免费视频| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 黄片大片在线免费观看| 在线观看舔阴道视频| 国产免费av片在线观看野外av| 久99久视频精品免费| 岛国在线观看网站| 欧美黄色片欧美黄色片| 中出人妻视频一区二区| 三上悠亚av全集在线观看| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| av天堂久久9| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 色精品久久人妻99蜜桃| 欧美人与性动交α欧美软件| 大香蕉久久网| 男女高潮啪啪啪动态图| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 免费人成视频x8x8入口观看| 99精品在免费线老司机午夜| 在线观看免费视频网站a站| 制服诱惑二区| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 日韩欧美三级三区| 性少妇av在线| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 亚洲国产欧美一区二区综合| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 久热这里只有精品99| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 性少妇av在线| 老汉色∧v一级毛片| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 看免费av毛片| 国产真人三级小视频在线观看| 一区在线观看完整版| 国产免费男女视频| 男女床上黄色一级片免费看| 欧美国产精品一级二级三级| 18禁观看日本| 欧美成狂野欧美在线观看| 欧美乱色亚洲激情| 午夜福利免费观看在线| 黄片播放在线免费| 国产一区有黄有色的免费视频| 中文欧美无线码| 亚洲专区字幕在线| 国产午夜精品久久久久久| 国产激情久久老熟女| 国产高清视频在线播放一区| 嫁个100分男人电影在线观看| 成人永久免费在线观看视频| 美女高潮到喷水免费观看| 国产亚洲欧美精品永久| 国产高清视频在线播放一区| 国产精品偷伦视频观看了| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 99热只有精品国产| 国产精品 欧美亚洲| 老熟女久久久| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 欧美性长视频在线观看| 亚洲中文av在线| 男女高潮啪啪啪动态图| 啦啦啦免费观看视频1| 在线观看日韩欧美| 亚洲精品成人av观看孕妇| 久久中文字幕人妻熟女| 美女福利国产在线| 国产免费av片在线观看野外av| 亚洲成a人片在线一区二区| 国产乱人伦免费视频| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 欧美日韩一级在线毛片| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 午夜福利欧美成人| 久热这里只有精品99| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 精品福利观看| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 午夜福利在线观看吧| 久久ye,这里只有精品| 久久久精品区二区三区| 日韩欧美三级三区| 亚洲熟女精品中文字幕| 啦啦啦在线免费观看视频4| 欧美+亚洲+日韩+国产| 丝袜美腿诱惑在线| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 欧美日韩av久久| 日韩欧美三级三区| 午夜精品久久久久久毛片777| 色播在线永久视频| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 欧美激情高清一区二区三区| 极品教师在线免费播放| 国产91精品成人一区二区三区| 视频区欧美日本亚洲| 在线观看日韩欧美| 免费观看精品视频网站| 成人av一区二区三区在线看| 99国产精品免费福利视频| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 真人做人爱边吃奶动态| 精品亚洲成国产av| а√天堂www在线а√下载 | 久久精品国产a三级三级三级| 99精国产麻豆久久婷婷| 亚洲avbb在线观看| 国产亚洲一区二区精品| 亚洲精品粉嫩美女一区| 精品久久久久久电影网| 欧美乱色亚洲激情| 黄色女人牲交| 成年女人毛片免费观看观看9 | 久久精品亚洲av国产电影网| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 叶爱在线成人免费视频播放| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 午夜福利,免费看| www.精华液| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 成人国语在线视频| 亚洲少妇的诱惑av| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 国产99白浆流出| 久久久久久久久久久久大奶| 欧美人与性动交α欧美软件| 极品教师在线免费播放| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| av有码第一页| av国产精品久久久久影院| 亚洲成人国产一区在线观看| 成人影院久久| 国产又色又爽无遮挡免费看| 久久草成人影院| 精品人妻1区二区| 两性夫妻黄色片| 少妇 在线观看| 男女下面插进去视频免费观看| 亚洲av成人一区二区三| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 亚洲一码二码三码区别大吗| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 日韩视频一区二区在线观看| 91九色精品人成在线观看| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 黑人欧美特级aaaaaa片| 高清视频免费观看一区二区| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 免费在线观看完整版高清| 亚洲精品国产一区二区精华液| 国产一区有黄有色的免费视频| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 老汉色∧v一级毛片| 黄片大片在线免费观看| 动漫黄色视频在线观看| 欧美日韩成人在线一区二区| 一边摸一边做爽爽视频免费| 最新的欧美精品一区二区| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 男女之事视频高清在线观看| 91在线观看av| 91av网站免费观看| 中文字幕精品免费在线观看视频| 男女之事视频高清在线观看| 女性被躁到高潮视频| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 99久久99久久久精品蜜桃| 五月开心婷婷网| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 啦啦啦 在线观看视频| 精品少妇久久久久久888优播| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 制服人妻中文乱码| 搡老乐熟女国产| 嫩草影视91久久| 亚洲精品自拍成人| 久久国产亚洲av麻豆专区| 村上凉子中文字幕在线| 久久性视频一级片| 精品久久久精品久久久| 1024香蕉在线观看| av片东京热男人的天堂| 亚洲熟女毛片儿| 国产精品一区二区在线观看99| svipshipincom国产片| 国产深夜福利视频在线观看| 亚洲国产欧美一区二区综合| 午夜91福利影院| 99热只有精品国产| 亚洲精品国产一区二区精华液| 欧美+亚洲+日韩+国产| 大香蕉久久成人网| 女性被躁到高潮视频| 国产精品.久久久| av一本久久久久| 极品少妇高潮喷水抽搐| 在线观看免费日韩欧美大片| 欧美精品啪啪一区二区三区| 国产三级黄色录像| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 亚洲成人免费av在线播放| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 免费在线观看影片大全网站| 中文字幕人妻熟女乱码| 午夜精品国产一区二区电影| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 极品少妇高潮喷水抽搐| 777米奇影视久久| 波多野结衣av一区二区av| 国产区一区二久久| 午夜影院日韩av| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | 女人被狂操c到高潮| 亚洲美女黄片视频| 大码成人一级视频| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 久久久久久久久免费视频了| 亚洲精品美女久久av网站| 国产99久久九九免费精品| 国产欧美日韩精品亚洲av| 亚洲欧美日韩高清在线视频| videosex国产| 国产免费男女视频| 日韩人妻精品一区2区三区| 午夜激情av网站| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 99热网站在线观看| 国产成人系列免费观看| 高清av免费在线| 精品一品国产午夜福利视频| av一本久久久久| 日韩欧美三级三区| 黄色毛片三级朝国网站| 久久中文字幕一级| 成年人午夜在线观看视频| a级毛片在线看网站| 国产亚洲精品久久久久久毛片 | 精品人妻1区二区| 久久久国产成人精品二区 | 久久人妻福利社区极品人妻图片| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 老熟妇乱子伦视频在线观看| 久久中文看片网| 欧美另类亚洲清纯唯美| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 免费观看a级毛片全部| 热99国产精品久久久久久7| 欧美黑人欧美精品刺激| 中文字幕色久视频| 久久久久久人人人人人| a在线观看视频网站| av不卡在线播放| 在线天堂中文资源库| 伦理电影免费视频| 国产野战对白在线观看| 亚洲人成电影免费在线| 久久久精品区二区三区| 啪啪无遮挡十八禁网站| 在线观看舔阴道视频| 黄色视频不卡| 欧美精品av麻豆av| 午夜福利欧美成人| 在线av久久热| 午夜精品国产一区二区电影| 久久青草综合色| 黄色女人牲交| 色综合欧美亚洲国产小说| 男人舔女人的私密视频| 满18在线观看网站| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 99国产精品免费福利视频| 精品熟女少妇八av免费久了| 午夜激情av网站| 欧美日本中文国产一区发布| 欧美国产精品一级二级三级| 国产一区有黄有色的免费视频| 精品无人区乱码1区二区| 国产成人欧美| a在线观看视频网站| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 日韩欧美免费精品| 看片在线看免费视频| 亚洲av成人av| 精品第一国产精品| 久久亚洲精品不卡| 久久草成人影院| 精品亚洲成a人片在线观看| 女警被强在线播放| 亚洲精品在线美女| 久久精品成人免费网站| 激情在线观看视频在线高清 | 在线观看免费视频日本深夜| 国产国语露脸激情在线看| 亚洲欧美色中文字幕在线| www.熟女人妻精品国产| 日本黄色日本黄色录像| 一本大道久久a久久精品| 色精品久久人妻99蜜桃| 国产精品综合久久久久久久免费 | 国产精品av久久久久免费| 热99国产精品久久久久久7| 又大又爽又粗| av线在线观看网站| 国产亚洲欧美精品永久| 十八禁网站免费在线| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 在线看a的网站| 一边摸一边做爽爽视频免费| 日本wwww免费看| 亚洲国产看品久久| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 午夜福利在线免费观看网站| 国产精品1区2区在线观看. | 天堂俺去俺来也www色官网| 男人操女人黄网站| 国产日韩欧美亚洲二区| 国产高清videossex| 国产亚洲欧美在线一区二区| 国产精品国产高清国产av | 色在线成人网| 黄色丝袜av网址大全| 99在线人妻在线中文字幕 | 大香蕉久久成人网| 涩涩av久久男人的天堂| 久久午夜综合久久蜜桃| 老司机影院毛片| 水蜜桃什么品种好| 一级作爱视频免费观看| 日本欧美视频一区| 黄色怎么调成土黄色| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 嫩草影视91久久| 美女扒开内裤让男人捅视频| 久久中文字幕人妻熟女| 水蜜桃什么品种好| 欧美日韩一级在线毛片| av在线播放免费不卡| 91老司机精品| 黄频高清免费视频| 动漫黄色视频在线观看| 女人被狂操c到高潮| 久久中文看片网| 亚洲欧美一区二区三区久久| 丝袜人妻中文字幕| 99久久人妻综合| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 成年人免费黄色播放视频| www日本在线高清视频| 亚洲人成电影观看| 亚洲全国av大片| www.精华液| 女性生殖器流出的白浆| 国产精品1区2区在线观看. | 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 亚洲免费av在线视频| 国产精品国产av在线观看| 在线国产一区二区在线| 日韩人妻精品一区2区三区| 亚洲 国产 在线| √禁漫天堂资源中文www| 成人免费观看视频高清| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 午夜精品在线福利| 欧美在线黄色| 一级毛片精品| 免费人成视频x8x8入口观看| 伊人久久大香线蕉亚洲五| svipshipincom国产片| videosex国产| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 美女 人体艺术 gogo| 他把我摸到了高潮在线观看| 91精品国产国语对白视频| 国产精品 国内视频| 日韩欧美国产一区二区入口| 久久ye,这里只有精品| 亚洲九九香蕉| 精品国产亚洲在线| 777米奇影视久久| 男女床上黄色一级片免费看| 老司机亚洲免费影院| 在线观看日韩欧美| 久久久精品免费免费高清| 精品卡一卡二卡四卡免费| a在线观看视频网站| 午夜影院日韩av| 我的亚洲天堂| 天天操日日干夜夜撸| 91字幕亚洲| 正在播放国产对白刺激| 欧美激情高清一区二区三区| 免费在线观看影片大全网站| 欧美中文综合在线视频| 老司机影院毛片| 一区二区三区激情视频| 婷婷丁香在线五月| 啦啦啦 在线观看视频| 九色亚洲精品在线播放| 精品国产一区二区久久| a级片在线免费高清观看视频| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 桃红色精品国产亚洲av| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 怎么达到女性高潮| 老鸭窝网址在线观看| 嫩草影视91久久| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 51午夜福利影视在线观看| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 日韩欧美在线二视频 | 国产精品99久久99久久久不卡| 很黄的视频免费| 欧美黑人欧美精品刺激| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 亚洲欧美激情综合另类| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 亚洲色图av天堂| 两人在一起打扑克的视频| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 精品国产一区二区久久| 在线免费观看的www视频| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 欧美日韩一级在线毛片| 欧美午夜高清在线| 在线十欧美十亚洲十日本专区| bbb黄色大片| 精品乱码久久久久久99久播| 欧美激情久久久久久爽电影 | 在线观看免费日韩欧美大片| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 午夜日韩欧美国产| 大香蕉久久成人网| 日韩精品免费视频一区二区三区| 欧美日韩国产mv在线观看视频|