“二次函數(shù)”的教學(xué)新設(shè)計(jì)

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528306) 林佳佳

廣東省佛山市順德區(qū)龍山初級中學(xué)(528319) 蘇國勝

為了大力推進(jìn)“科研強(qiáng)師”工程, 加快優(yōu)秀青年教師成長,助推“教壇新秀”和“骨干教師”的培養(yǎng),提升佛山市順德區(qū)龍江鎮(zhèn)青年教師的課堂教學(xué)能力和水平,造就一批青年骨干教師,推動龍江教育高質(zhì)量發(fā)展,龍江鎮(zhèn)教育辦和華南師范大學(xué)粵港澳大灣區(qū)教師教育學(xué)院等合作單位聯(lián)合開展義務(wù)教育階段青年教師科研強(qiáng)師專題暨大灣區(qū)“同一課堂”活動.本課例于2021年11月25日在順德區(qū)龍江外國語學(xué)校面向全區(qū)初中教師開展了公開示范課, 并進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)直播.此次活動達(dá)到了示范教學(xué)、反思研討、達(dá)成共識、掌握標(biāo)準(zhǔn)的目的,深受一線教師的好評.以下是活動結(jié)束后我們反思研討、推陳出新的教學(xué)設(shè)計(jì).歡迎大家批評指正.

1 教材分析

二次函數(shù)這一節(jié)選自北師大版九年級下冊第二章第一節(jié).二次函數(shù)是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和三角函數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的另外一類重要的函數(shù),且學(xué)生在前期已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程;而二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí),讓學(xué)生從實(shí)際問題中提煉出二次函數(shù)關(guān)系式,感受二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,也是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ),所以本節(jié)課在整個知識體系中起著承上啟下的重要作用.二次函數(shù)是非?；镜某醯群瘮?shù),對二次函數(shù)的研究將對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù),進(jìn)而體會函數(shù)的思想奠定基礎(chǔ),也是繼續(xù)學(xué)習(xí)解析幾何的重要內(nèi)容,為以后高中研究各種曲線打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2 學(xué)情分析

(1)龍江外國語學(xué)校中上層次的學(xué)生.

(2)認(rèn)知基礎(chǔ)

①已掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念和性質(zhì);

②會分析、識別、寫出簡單的二次函數(shù)模型問題中的自變量和因變量之間的關(guān)系式.

(3)認(rèn)知困難

①二次函數(shù)概念的理解容易忽視二次項(xiàng)系數(shù)必須非零的條件;

②函數(shù)概念中變量表示的多樣性;

③含參數(shù)問題的二次函數(shù)概念理解,與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念容易混淆.

3 教學(xué)目標(biāo)

(1)知識與技能

①掌握二次函數(shù)的概念;

②進(jìn)一步理解函數(shù)概念中變量表示的多樣性;

③會從實(shí)際問題中列出二次函數(shù)數(shù)學(xué)模型.

(2)過程與方法

①經(jīng)歷二次函數(shù)概念的提出過程,學(xué)習(xí)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

②經(jīng)歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系以及解決實(shí)際問題的過程,學(xué)習(xí)描述變量之間關(guān)系的方法和模型思想.

③通過4 個追問的過程,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,通過教學(xué)環(huán)節(jié)2、3、4、5 培養(yǎng)代數(shù)眼光.

(3)情感態(tài)度價值觀

①感受二次函數(shù)模型的概括性和統(tǒng)一性.

②強(qiáng)化數(shù)學(xué)信念: 追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂!

③感受數(shù)學(xué)的魅力,相信數(shù)學(xué)是來源于生活又服務(wù)于生活的!

4 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)突破

教學(xué)重點(diǎn): (1)從不同的問題情境中概括出二次函數(shù)的概念;(2)二次函數(shù)的基本應(yīng)用.

難點(diǎn)突破: (1)通過4 個追問以及小節(jié)中的問題3 來突破難點(diǎn)1 和難點(diǎn)2;(2)通過例1 例2 及其練習(xí),對比一次函數(shù)、反比函數(shù)和二次函數(shù)概念的特征,從而突破含參數(shù)問題的二次函數(shù)概念的理解問題.

5 教學(xué)方法與教學(xué)手段

教學(xué)方法

本節(jié)課是數(shù)學(xué)概念課,采用“情境引入——概括概念——鞏固新知——課堂小結(jié)”的教學(xué)模式.從實(shí)際問題入手,創(chuàng)設(shè)豐富的實(shí)際問題情境,使學(xué)生理解二次函數(shù)的概念,能夠用二次函數(shù)表示實(shí)際問題,從而更好地理解二次函數(shù)概念和建立起二次函數(shù)模型.

教學(xué)手段板書、PPT.

6 教學(xué)過程

教學(xué)流程

(1)溫故知新(約3 分鐘)

問題1關(guān)于函數(shù),您知道多少?

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)的概念: 在某個變化過程中,有兩個變量x 和y,每給定一個x 的值,都有惟一的y 值與它對應(yīng),我們把y 叫做x 的函數(shù).其中是x 自變量,y 是因變量.

設(shè)計(jì)意圖通過復(fù)習(xí)函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)概念,為學(xué)習(xí)二次函數(shù)概念做認(rèn)知上的準(zhǔn)備.

(2)情景引入,探究新知(約8 分鐘)

情境1已知正方體的邊長為a,寫出正方體的表面積s與a 的關(guān)系式:____.

情境2龍江某家具企業(yè)今年一月份的利潤為10 萬元,預(yù)計(jì)利潤的月平均增長率為x.設(shè)二月份的利潤為y 萬元,則y =____.設(shè)三月份的利潤為z 萬元,z =____.

情境3兩個數(shù)的和為20,設(shè)其中一個數(shù)為t,兩數(shù)之積為h,寫出h 與t 的關(guān)系式:____.

問題2上述變量間的關(guān)系是函數(shù)嗎? 你能把他們分類嗎?

問題3觀察函數(shù): s = 6a2; y = 10x + 10; z =10x2+ 20x + 10; h = -t2+ 20t, 它們有什么共同特征?(強(qiáng)調(diào)函數(shù)的定義與自變量和因變量的字母表示無關(guān))

問題4你能類比一次函數(shù)的概念,嘗試給二次函數(shù)下定義嗎?

歸納出二次函數(shù)的定義: 一般地,若兩個變量x,y 的對應(yīng)關(guān)系可以表示成____的形式, 則稱y 是x 的____函數(shù).其中,a 是____次項(xiàng)的系數(shù),b 是____次項(xiàng)的系數(shù),c 是____項(xiàng).

設(shè)計(jì)意圖通過三個不同的問題情境,概括出二次函數(shù)的概念.體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)的方法描述變量之間的關(guān)系,領(lǐng)悟由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

(3)辨析新知,深化新知(約4 分鐘)

一般地,形如y = ax2+bx+c(a,b,c 是常數(shù),a0)的函數(shù)叫做y 關(guān)于x 的二次函數(shù).

追問(1)為什么a0? (2)b = 0 或c = 0 可以嗎? (3)自變量x 能取哪些值?

(4)結(jié)合上述3 個情境,請你說說二次函數(shù)自變量的取值范圍是否都是任意實(shí)數(shù)?

強(qiáng)調(diào)(1)等號左邊是變量y,右邊是關(guān)于自變量x 的整式;(2)a,b,c 為常數(shù),且a0;

(3)等式的右邊自變量的最高次數(shù)為2;(4)函數(shù)是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,而變量的表達(dá)形式可以是多種多樣的,可以是不同的字母.

設(shè)計(jì)意圖通過4 個追問,深入理解二次函數(shù)的概念,尤其是變量字母表示的等價性,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,為概念的運(yùn)用奠定基礎(chǔ).

(4)知識應(yīng)用,鞏固新知(約20 分鐘)

例1(約4 分鐘)下列函數(shù)中,哪些是關(guān)于x 的二次函數(shù)? 若是關(guān)于x 的二次函數(shù),分別指出其二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng).

設(shè)計(jì)意圖在解答(6)(8)(9)過程中,順帶問: 如果x 是常數(shù),那么哪些是關(guān)于m 的二次函數(shù)? 以此突出本節(jié)課的重點(diǎn): 深刻理解二次函數(shù)的概念,并理解函數(shù)概念中變量表示的多樣性.

例2(約5 分鐘)y =(m+3)xm2-7.

(1)m 取什么值時,此函數(shù)是關(guān)于x 的一次函數(shù)?

(2)m 取什么值時,此函數(shù)是關(guān)于x 的反比例函數(shù)?

(3)m 取什么值時,此函數(shù)是關(guān)于x 的二次函數(shù)?

練習(xí)(約3 分鐘)已知函數(shù)y = (m2+2m)x2+mx+m+1.

(1)當(dāng)m 為何值時,此函數(shù)是關(guān)于x 的一次函數(shù)? (2)當(dāng)m 為何值時,此函數(shù)關(guān)于x 的二次函數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖通過例2 和練習(xí),突破本節(jié)課的難點(diǎn)之一,含參數(shù)的二次函數(shù)的概念問題.學(xué)生通過本例題,深入理解二次函數(shù)概念,更好地達(dá)成理解二次函數(shù)的概念的知識與技能目標(biāo).

例3(約3 分鐘)(課本第31 頁練習(xí)2)圓的半徑是1cm,假設(shè)半徑增加rcm 時,圓的面積增加了scm2.

(1)寫出s 與r 之間的關(guān)系式;

(2)當(dāng)圓的r 分別增加1cm,2cm 時,圓的面積各增加多少?

(3)當(dāng)s=24πcm2,求r.

練習(xí)(約5 分鐘,課本31 頁第3 題)

1.某工廠計(jì)劃為一批長方體形狀的產(chǎn)品涂上油漆,長方體的長和寬相等,高比長多0.5m.

(1)長方體的長和寬用x(m)表示,長方體需要油漆的表面積s(m2)如何表示?

(2)如果涂漆每平方米所需要的費(fèi)用是5 元,油漆每個長方體所需費(fèi)用c(元)表示,那么c 的表達(dá)式是什么?

2.嘗試舉出一個生活中二次函數(shù)的例子.

設(shè)計(jì)意圖 解釋面積增量這個二次函數(shù)模型的概括性:以一個簡單的模型就可以描述、掌控?zé)o窮無盡的面積變化!強(qiáng)化數(shù)學(xué)信念: 追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂! 相信數(shù)學(xué)是來源于生活又服務(wù)于生活的!

(5)課堂小結(jié)和布置作業(yè)(約5 分鐘)

課堂小結(jié)

1.提出3 個問題:

(1)二次函數(shù)的模型是什么? y =____;

(2)理解這一數(shù)學(xué)模型要注意什么?____;

(3)在某個變化過程中, 有兩個變量t, z, 每給定一個t值,都有惟一的z 值與它對應(yīng),我們把____叫做____的函數(shù).其中____是自變量,____是因變量.

函數(shù)是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,而這兩個變量用什么字母表示都可以.關(guān)鍵是由哪個變量來確定另一個變量.

2.本節(jié)課我們從幾個具體的例子出發(fā),由特殊到一般概括出了二次函數(shù)的概念,體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法;

3.例3 及其練習(xí)表明,現(xiàn)實(shí)世界中的許多問題是可以通過數(shù)學(xué)模型來描述并求解的.這種建立數(shù)學(xué)模型來求解問題的思想叫做數(shù)學(xué)建模思想.

4.這節(jié)課,我們一共學(xué)習(xí)了幾個二次函數(shù)? (呈現(xiàn)所有的具體例子)

通過明確每一個例子中的,,是多少,以及三個系數(shù)取值的無限性來強(qiáng)化二次函數(shù)模型的概括性和統(tǒng)一性.

5.我好喜歡二次函數(shù)模型!

理由之一: 那么多無窮無盡的二次函數(shù),居然被這個模型全部統(tǒng)一起來,了不起的、威力無比的二次函數(shù)模型!

理由之二: 有了這個模型,我們可以通過建立二次函數(shù)模型來解決自然界和人類社會中無窮無盡的問題,為人類創(chuàng)造財(cái)富!

理由之三: 一旦研究清楚這個函數(shù)的性質(zhì),我們就可以搞定所有的二次函數(shù)的性質(zhì),實(shí)現(xiàn)了以一個有限的模式駕馭無窮的具體! 好一個化繁為簡的二次函數(shù)模型! !

同學(xué)們,讓我們一起共同期待下一次課的到來! 下課!

設(shè)計(jì)意圖把書讀薄,畫龍點(diǎn)睛,強(qiáng)化教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.

課后作業(yè)

A 組(基礎(chǔ)問題共5 題，具體略)

B 組(拓展題目共2 題，其中第7 題是能力提升題)

7.(能力提高)如圖(單位:米),等腰直角三角形ABC 以2 米/秒的速度沿直線L 向正方形移動,直到AB 與CD 重合.設(shè)x 秒時,三角形與正方形重疊部分的面積為y.

(1)寫出y 與x 的關(guān)系式;(2)當(dāng)x = 2,3.5 秒時,y 分別是多少?

(3)當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時,三角形移動了多長時間?

(4) 請你自己改變題目條件, 例如如果把“直線AB 與CD 重合”去掉,求y 與x 的關(guān)系式.

設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)以上作業(yè)的目的是鞏固本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),為了達(dá)成本節(jié)課的知識與技能目標(biāo);同時設(shè)計(jì)一些不同背景的實(shí)際問題,讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價值和數(shù)學(xué)的簡潔之美: 學(xué)好一個數(shù)學(xué)模型竟然可以解決千千萬萬動態(tài)的問題! 第7 個題目(4)的設(shè)計(jì),是為了發(fā)散學(xué)生的思維能力,讓學(xué)生學(xué)會自己編題,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

教學(xué)設(shè)計(jì)反思

1.數(shù)學(xué)三維目標(biāo)落后了嗎?

高中的六條數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)只是一些宏觀的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,它們不是操作性定義,不能機(jī)械地直接套用作為中小學(xué)一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)設(shè)計(jì)的框架,備課時僅作宏觀參考.

中小學(xué)數(shù)學(xué)課應(yīng)該以體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)三個層次的知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀這一框架的操作性定義進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)[1]:

知識與技能知道什么,理解什么,會做什么;

過程與方法數(shù)學(xué)的思想、眼光、能力(包括高中的六條數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)中的部分關(guān)鍵詞的操作性定義,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力等)、思維品質(zhì)、問題解決和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn);

情感態(tài)度價值觀數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)興趣、數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的喜好感受.

本節(jié)課為以上追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)成的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)做出了實(shí)踐探索,起到了明確標(biāo)準(zhǔn),示范引領(lǐng),達(dá)成共識的培訓(xùn)作用.

2.為“數(shù)學(xué)眼光”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)培養(yǎng)做出了創(chuàng)新設(shè)計(jì)

代數(shù)眼光即:“要學(xué)會以數(shù)的眼光看待代數(shù)字母和代數(shù)式.對于代數(shù)字母a, 一要會‘看死a’: 把a(bǔ) 理解為一個確定的數(shù)值,a 就是一個具體的數(shù),‘小鮮數(shù)’,不要在心理再問a =? ; 二要會‘看活a’: 看活a, 它就是一個變數(shù)、變量, 可大,可小,可正,可負(fù);三要跳出代數(shù)看a,理解它在四種空間中的幾何意義: a 是某一點(diǎn)的坐標(biāo), 某一線段的長度, 某一圖形的面積,某一幾何體的體積,這些度量的正負(fù)是有意義的,表明了對象所處的方位;四要看破代數(shù)字母之間的等價性: 表示數(shù)的所有字母的變與不變的雙重性質(zhì)都是一樣的,a ≡b ≡c ≡··· ≡x ≡y ≡z.不要總是默認(rèn)a、b、c 是常數(shù),x、y、z 是未知數(shù)、是變量,x 是自變量、y 是因變量[2].”

關(guān)于函數(shù)概念,幾十年來,我們已經(jīng)習(xí)慣于教科書、練習(xí)冊、考試卷默認(rèn)x 是自變量、y 是因變量.其實(shí),函數(shù)概念與用什么字母表達(dá)兩個變量毫無關(guān)系,這是函數(shù)概念理解的難點(diǎn).為突破這一難點(diǎn),我們多管齊下,通過環(huán)節(jié)2 中的情境1、2、3 與問題2、3、4,環(huán)節(jié)3 的思辨,環(huán)節(jié)4 中的例1、例3、課堂練習(xí),環(huán)節(jié)5 中問題(3)和課后作業(yè)中的相應(yīng)問題,來解決這一教學(xué)難題,突破難點(diǎn)的效果明顯.

3.“雙減”背景下的分層作業(yè)設(shè)計(jì)

“雙減”背景要求教師提高課堂的質(zhì)量,減少學(xué)生的課后負(fù)擔(dān).基于“雙減”的背景,本節(jié)課針對重點(diǎn)和難點(diǎn)給學(xué)生設(shè)置了分層作業(yè),A 組作業(yè)為了鞏固本節(jié)課的重點(diǎn)知識——二次函數(shù)的概念和突破本節(jié)課的難點(diǎn)——含參數(shù)的二次函數(shù)概念問題和實(shí)際應(yīng)用問題.設(shè)置B 組作業(yè)是提供給學(xué)有余力的同學(xué),特別是最后一題最后一問,要求學(xué)生自己改編題目,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力,符合“雙減”對作業(yè)的要求.

致謝: 感謝華南師范大學(xué)何小亞教授的建設(shè)性意見.多謝佛山市教育局教研室和佛山市順德區(qū)龍江外國語學(xué)校數(shù)學(xué)科組為此次全市公開課提供的一切幫助!