解析幾何背景下的交匯融合問(wèn)題

江蘇省如皋市第二中學(xué)(226500) 汪云霞

新高考注重在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題,既注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查,又注重對(duì)數(shù)學(xué)思維深度的考查等.解析幾何問(wèn)題背景下,經(jīng)常和函數(shù)與方程、不等式、平面向量、數(shù)列以及創(chuàng)新情境等其他相關(guān)知識(shí)加以交匯與綜合,在試題設(shè)計(jì)上兼顧了相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)性、靈活性、綜合性與創(chuàng)新性等,可以全面考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng),充分體現(xiàn)選拔性與區(qū)分度.

1 解析幾何背景下的函數(shù)或方程

例1橢圓C :=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)橢圓C 的右焦點(diǎn)F 作x 軸的垂線交直線AB 于點(diǎn)D,若點(diǎn)F 關(guān)于直線OD(O 為坐標(biāo)原點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線AB 上,則橢圓C 的離心率e ∈( )

分析根據(jù)題目條件,先確定直線AB 的方程以及直線DF 的方程,結(jié)合勾股定理確定線段AD 的長(zhǎng)度,結(jié)合條件并利用角平分線性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為涉及e 的高次方程,通過(guò)構(gòu)建函數(shù),結(jié)合求導(dǎo)并利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理來(lái)確定方程的解的取值范圍,即橢圓離心率e 的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)解析幾何中,有關(guān)直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等問(wèn)題中,往往都會(huì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決,特別是涉及解析幾何中的最值、取值范圍等相關(guān)的變量問(wèn)題,往往借助函數(shù)與方程中的韋達(dá)定理來(lái)進(jìn)行求根處理,結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)確定取值情況,利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決取值范圍等問(wèn)題.

2 解析幾何背景下的不等式

例2(2022 屆廣東大聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷(2021年11月25日)·16)己知橢圓C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y 軸上,F1、F2為C 的兩個(gè)焦點(diǎn),C 的短軸長(zhǎng)為4,且C 上存在一點(diǎn)P, 使得|PF1| = 6|PF2|, 試寫出橢圓C 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程:____.

分析根據(jù)平面幾何中的幾何不等式(三角形性質(zhì): 三角形中兩邊之差小于等于第三邊),構(gòu)建對(duì)應(yīng)線段邊長(zhǎng)之間的不等式,結(jié)合橢圓中參數(shù)的關(guān)系來(lái)確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍,從而為橢圓開(kāi)放題的確定提供保障.

點(diǎn)評(píng)解析幾何中求圓錐曲線的離心率的取值范圍,線段的長(zhǎng)度、直線的斜率或三角形面積的最值等問(wèn)題中都涉及不等式的相關(guān)知識(shí).解決此類問(wèn)題往往從函數(shù)的角度出發(fā),先建立目標(biāo)函數(shù),再進(jìn)一步求該函數(shù)的最值問(wèn)題.另外,圓錐曲線的定義、參數(shù)的取值范圍和三角形的三邊關(guān)系也提供了應(yīng)用不等式的條件.

3 解析幾何背景下的平面向量

分析根據(jù)題目條件設(shè)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),引入坐標(biāo)參數(shù),結(jié)合題目條件,經(jīng)常是平面解析幾何中的距離公式、三角函數(shù)的定義、直線的斜率以及點(diǎn)所滿足的圓錐曲線方程等,構(gòu)建有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式,利用方程(組)的求解來(lái)確定對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)參數(shù),從而得以確定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),為進(jìn)一步綜合應(yīng)用提供條件.

點(diǎn)評(píng)平面向量主要作為一個(gè)基本工具,創(chuàng)新綜合與應(yīng)用于解析幾何中,審題時(shí)主要體現(xiàn)在: 利用向量的模給出線段的長(zhǎng)度關(guān)系,利用向量的共線給出直線的平行,利用向量的夾角給出直線的夾角或垂直等.解題時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系,從而借助向量得出解析幾何的相關(guān)結(jié)論.

4 解析幾何背景下的數(shù)列

例4(廣西南寧市2022屆高中畢業(yè)班摸底測(cè)試(10月) 數(shù)學(xué)理科試卷· 16 改編)如圖,已知F1、F2是橢圓的焦點(diǎn),M、N 為橢圓中兩點(diǎn),滿足F1M//F2N,且線段F2N,F2M,F1M 的長(zhǎng)度構(gòu)成以2 為公比的等比數(shù)列,則∠F1MF2的余弦值為_(kāi)___.

分析利用橢圓的定義,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)構(gòu)建線段的比例關(guān)系,結(jié)合特殊值的選取確定各線段的長(zhǎng)度問(wèn)題,進(jìn)而結(jié)合橢圓中輔助線的構(gòu)建,利用橢圓的中心對(duì)稱性這一基本性質(zhì),將三條邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中,然后再利用橢圓的定義,結(jié)合余弦定理在等腰三角形中求解∠F1MF2的余弦值大小就很明顯了.

解析根據(jù)橢圓的定義可知F1M +F2M = 2a,又由于線段F2N, F2M, F1M的長(zhǎng)度構(gòu)成以2 為公比的等比數(shù)列, 則有F1M =2F2M, 可得不失一般性, 不妨設(shè)a = 3, 則有F1M = 4, F2M = 2, F2N = 1, 如圖所示, 延長(zhǎng)MF1交橢圓于點(diǎn)P, 連接F2P, 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知F1P = F2N = 1, 根據(jù)橢圓的定義可知F1P + F2P = 2a = 6, 可得F2P = 5, 在ΔMPF2中, MP = F2P = 5, F2M = 2, 根據(jù)余弦定理可得cos ∠F1MF2= cos ∠PMF2=所以∠F1MF2的余弦值為故填答案:

點(diǎn)評(píng)解析幾何與數(shù)列可以互為背景,交匯融合在一起考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng): 以數(shù)列的形式可以給出橢圓的條件或線段間的關(guān)系,以解析幾何為背景可以把曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推關(guān)系,也可以把一系列的線段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)等.解答的關(guān)鍵是能夠熟練的實(shí)現(xiàn)兩者之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

5 解析幾何背景下的創(chuàng)新情境

例5(2021年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷)如圖上半部分為一個(gè)油桃園.每年油桃成熟時(shí),園主都需要雇傭人工采摘,并沿兩條路徑將采摘好的油桃迅速地運(yùn)送到水果集散地C 處銷售.路徑1: 先集中到A處,再沿公路AC 運(yùn)送;路徑2: 先集中到B 處,再沿公路BC運(yùn)送.園主在果園中畫定了一條界線,使得從該界線上的點(diǎn)出發(fā),按這兩種路徑運(yùn)送油桃至C 處所走路程一樣遠(yuǎn).已知AC = 3km,BC = 4km,若這條界線是曲線E 的一部分,則曲線E 為( )

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線

分析利用題目條件,結(jié)合兩種路徑運(yùn)送油桃至C 處所走路程一樣遠(yuǎn),由此構(gòu)建關(guān)系式,通過(guò)變形轉(zhuǎn)化,并結(jié)合已知線段的長(zhǎng)度確定AP -BP 的值,綜合雙曲線的定義加以分析與判斷.

解析由題意,從界線上的點(diǎn)P 出發(fā),經(jīng)A 到C 與經(jīng)B到C,所走的路程是一樣的,則有AP +AC =BP +BC,所以AP -BP =BC-AC,又由BC =4,AC =3,所以AP -BP =4-3=1,又由AB =5,根據(jù)雙曲線的定義可知曲線E 為雙曲線的一部分,故選擇答案: D.

點(diǎn)評(píng)解析幾何中的圓、圓錐曲線是一些創(chuàng)新情境問(wèn)題設(shè)置的基本問(wèn)題景,將一些公式原理、科學(xué)技術(shù)、微觀宏觀問(wèn)題等與解析幾何知識(shí)加以直接聯(lián)系,把“遠(yuǎn)在天邊”、微觀無(wú)法正常識(shí)別以及宏觀無(wú)法觸及的一些問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型來(lái)分析與解決,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的交匯與融合.

解析幾何作為高考中的一大主干知識(shí), 其與函數(shù)與方程、不等式、平面向量、數(shù)列以及創(chuàng)新情境等相關(guān)知識(shí)的交匯應(yīng)用,綜合性強(qiáng),創(chuàng)新性強(qiáng),實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)、不同問(wèn)題場(chǎng)景等之間的“串聯(lián)”,很好突出了數(shù)學(xué)不同知識(shí)間的相互聯(lián)系,有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行解題的能力、創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用等.