一類放寬條件的三元代數(shù)不等式及統(tǒng)一證明

山東省鄒平市第一中學(xué)(256200) 李 猛

山東省鄒平雙語學(xué)校(256200) 姜坤崇

關(guān)于三個(gè)正數(shù)a,b,c 的眾多代數(shù)不等式,是數(shù)學(xué)中不等式分支的基礎(chǔ)內(nèi)容和重要的組成部分,也是各級(jí)各類數(shù)學(xué)競賽特別青睞的不等式.筆者通過研究發(fā)現(xiàn),在這些三元代數(shù)不等式中有一部分若把條件放寬為三個(gè)實(shí)數(shù)兩兩之和大于零也是成立的(這是代數(shù)不等式研究的一個(gè)新方向).本文用一種統(tǒng)一的代換方法結(jié)合二、三元均值不等式及舒爾不等式來證明這些條件放寬后的不等式.

對(duì)于滿足a+b > 0,b+c > 0,c+a > 0 的三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c, 作代換: 令x =(以下稱此代換為代換(*) ) , 則x,y,z > 0,a = y +z -x,b =z+x-y,c=x+y-z,a+b+c=x+y+z.

例1設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),所證不等式可化為

由三元均值不等式得(x + y + z)(x2+ y2+ z2) ≥即不等式(1)成立,所以原不等式獲證.

例2設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),所證不等式可化為

將(x+y+z)[(y+z-x)2+(z+x-y)2+(x+y-z)2]展開整理得

由(4)式,不等式(3)可化為

由二元均值不等式易得不等式(6)成立,從而原不等式得證.

說明不等式(2)與以下4 個(gè)不等式等價(jià)(條件同不等式(2)):

例3設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),不等式(7)可化為

由于不等式(8)關(guān)于x,y,z 對(duì)稱,因此不妨設(shè)x ≥y ≥z,于是x+y-z >0,z+x-y >0.若y+z-x ≤0,則不等式(8)顯然成立(左邊>0,右邊≤0),以下設(shè)y+z-x>0.

說明(i)不等式(7)與以下4 個(gè)不等式等價(jià)(條件同不等式(7)):

(ii)將不等式(8)的右邊展開后即得著名的舒爾不等式:設(shè)x,y,z >0,則

例4(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2016年第12 期數(shù)學(xué)問題2335)設(shè)x,y,z 為實(shí)數(shù),且其中任意兩數(shù)之和大于零,求證:

證明令則a,b,c > 0, x = b +c- a,y = c+a- b,z = a+b -c,所證不等式可化

而

與

都等價(jià)于

這正是舒爾不等式,所以原不等式獲證.

例5設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),所證不等式可化為

將(y+z-x)3+(z+x-y)3+(x+y-z)3展開得

(y+z-x)3+(z+x-y)3+(x+y-z)3

由(12)式,不等式(11)等價(jià)于

由三元均值不等式及不等式(5)得

所以不等式(13)成立,從而原不等式獲證.

例6設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),不等式(14)可化為

將

展開整理得

由(16)式, 不等式(15)可化為不等式(9), 從而不等式(14)獲證.

例7設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),不等式(17)可化為

將(y+z-x)x2+(z+x-y)y2+(x+y-z)z2展開整理得

由(16)及(19)式,不等式(18)可化為不等式(9),從而不等式(17)獲證.

例8設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),所證不等式可化為

將(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)展開整理得

由(19)式及(22)式,不等式(21)可化為不等式(9),從而不等式(20)獲證.

說明由不等式(10)、(14)及(17)可得如下不等式鏈:設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,則

例9設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù),且a+b>0,b+c>0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),所證不等式可化為

由(4)式,不等式(23)可化為

由三元均值不等式及不等式(5)得所以不等式(24)成立,從而原不等式獲證.

例10設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù), 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),所證不等式可化為

由(4)式及(19)式,不等式(25)可化為

由三元均值不等式得

即

由三元均值不等式及不等式(27)知不等式(26)成立,從而原不等式獲證.

例11 設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù), 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),所證不等式可化為

因?yàn)橐陨喜坏仁郊床坏仁?27),所以原不等式獲證.

例12設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù), 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求證: (a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.

證明由代換(*),所證不等式可化為

由(4)式及(22)式,不等式(28)可化為

不等式(9)+(27)即得不等式(29),所以原不等式獲證.

例13設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù), 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求證: (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24abc.

證明由代換(*),所證不等式可化為

由(22)式知不等式(30)等價(jià)于

由不等式(9)×2+(27)即得不等式(31)成立,所以原不等式獲證.

例14設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù), 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求證: (a+b+c)[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]≥36abc.

證明由代換(*),所證不等式可化為

由(22)式知不等式(32)等價(jià)于

由不等式(9)×3+(27)即得不等式(33)成立,所以原不等式獲證.

例15設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù), 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求證:

證明將分式不等式(34)化為整式不等式得

由代換(*),不等式(35)可化為

將x(y+z-x)2+y(z+x-y)2+z(x+y-z)2展開整理得

由(12) 式及(37) 式, 不等式(36) 可化為x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2) ≥6xyz,此即不等式(6),從而原不等式獲證.

說明對(duì)于不等式(34),若條件為正實(shí)數(shù)a,b,c,則為著名的Neshitt 不等式: 已知a,b,c 是正數(shù),則+

歷史上此不等式曾作為1963年莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題出現(xiàn)過.

例16設(shè)a,b,c 是三個(gè)實(shí)數(shù), 且a + b > 0,b + c >0,c+a>0,求證:

證明由代換(*),所證不等式可化為

將

展開整理得

由(39)式,不等式(38)可化為x3+y3+z3+3xyz ≥x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2,這正是不等式(9),所以原不等式獲證.

最后需說明的是,以上所證不等式均當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.