一道二元最值問題的探究與拓展

甘肅省武威第八中學(xué)(733000) 王春梅

安振平老師在《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2019年9月上半月課外練習(xí)高二欄目提供了這樣一道題: 已知: x > 0, y > 0,3x2+y2=4.求的最小值.

多元最值問題歷來是高考、高校自主招生和高校強基計劃中的熱點問題,上述問題是一道二元條件最值問題,以下筆者對這道試題進(jìn)行解法探究、變式探究和拓展探究,以供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.

1 解法探究

上述問題配套的參考答案中給出的是均值不等式法,特別巧妙地運用了兩次四元均值不等式,在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)同學(xué)們不易想到,下面給出另外五種解法.

1.1 待定系數(shù)均值不等式法

解法1(待定系數(shù)均值不等式法)設(shè)λ>0,由均值不等式可得,

評注本解法引入大于0 的待定系數(shù)λ 后,運用了三次均值不等式和不等式的性質(zhì),聯(lián)立均值不等式取等的條件和已知條件先后解出λ、x 和y 的值,最后代入求出p 的最小值.

1.2 三角換元法

評注抓住本題已知條件的結(jié)構(gòu)特征,從形式上來看已知條件為帶約束條件的焦點在y 軸上的橢圓的方程,聯(lián)想到橢圓的參數(shù)方程,運用三角換元法把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于α 分式型三角函數(shù)在給定開區(qū)間上的最值問題,利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)于,求出極值點,從而求出極小值也就是最小值,得出p 的最小值.

1.3 比值代換齊次化法

其中k >0,所以

令f′(k) = 0,可得k = 1,當(dāng)0 < k < 1 時,f′(k) < 0,所以f(k) 在(0,1) 上單調(diào)遞減, 當(dāng)k > 1 時, f′(k) > 0,所以f(k) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增, 所以f(k)min= f(1) =+7 = 16,即當(dāng)x = y = 1 時,p2最小值為16,因為p>0,所以pmin=4.

評注比值換元后,題設(shè)中的雙變量x 和y 實現(xiàn)了分離,再把待求式平方,把p2的最小值轉(zhuǎn)化成求關(guān)于k 的函數(shù)在給定范圍上的最值問題,發(fā)揮導(dǎo)函數(shù)的工具作用,利用導(dǎo)函數(shù)求出極值點,從而求出p2的最小值,從而得出p 的最小值.

1.4 權(quán)方和不等式法

1.5 赫爾德不等式法

解法5(赫爾德不等式法)因為x > 0,y > 0,由赫爾德不等式可得,

2 變式探究

將上述題目已知條件變?yōu)榉质叫? 待求式變?yōu)槎涡?得到變式1:

將上述題已知條件變?yōu)橐淮涡?待求式變?yōu)槿畏质叫偷玫阶兪?:

3 拓展探究