異側和最小,同側差最大在二次函數(shù)中的運用

云南師范大學數(shù)學學院(650500) 雷 茹

為什么要以二次函數(shù)為背景來運用異側和最小,同側差最大.一是該模型經常出現(xiàn)在以二次函數(shù)為背景的試題中,其次以二次函數(shù)為背景講解異側和最小同側差最大,能充分把函數(shù)與幾何聯(lián)系起來,體現(xiàn)數(shù)形結合,動靜結合,還能加強我們對二次函數(shù)的理解和應用.總之使得所選擇的問題更能突出數(shù)學思想和數(shù)學本質,加強學生對數(shù)學學科特點的認識,同時進行相應專題的學習還更具有針對性[1].

1 異側和最小,同側差最大

異側和最小, 同側差最大, 是基于兩個經典的最值模型[2].異側和最小是由兩點之間線段最短的“距離公式”或者三角形兩邊之和大于第三邊得到.而同側差最大則是由三角形兩邊之差小于第三邊得到,總的來說該最值問題是以三角形三邊的性質得到的.

模型1如圖1 所示,已知A,B 兩點在直線l 的異側,點C 為直線l 上一動點,求當點C 在什么位置時,AC+BC 有最小值[2].

如圖1 所示, 點C 逐步向C1,C2,C3,C4移動過程中可發(fā)現(xiàn), 當移動到C2即A,B,C 三點在一條直線上時,AC +BC 有最小值, 利用的是兩點之間線段最短; 也可利用三角形三邊的性質,由圖1 可知AC +CB > AB;AC1+C1B > AB;AC3+C3B > AB;AC4+C4B > AB, 因此由圖可歸納為ACn+CnB ≥AB.當點C 移動到C2時即AC2+C2B =AB,此時AC+BC 達到最小值.

圖1

模型1 特點: 定點A,B 位于動點C 運動軌跡的兩側,需求AC+BC 的最小值.結論: 當A,B,C 三點在同一條直線上時,AC+BC 的值最小.

模型2如圖2 所示,已知A,B 兩點在直線l 的同側,點C 為直線l 上一動點,求當點C 在什么位置時,|AC -CB|有最大值[2].

圖2

如圖2 所示, 由三角形三邊的性質可得|AC -CB| < AB;|AC1-C1B| < AB; |AC3-C3B|

模型2 特點: 定點A,B 位于動點C 運動軌跡的同側,需求|AC -CB|的最大值.結論: 當A,B,C 三點在一條直線上時,|AC-CB|的值最大.

兩模型的共同特點是,當三點在同一條直線上時,可求其最小和最大值.但是在平時應用過程中,遇到的試題并不滿足定點A,B 位于動點運動軌跡的同側或者是異側,比如求線段和的最小值時,試題給的已知條件是兩定點在動點運動軌跡的同側,因此就不滿足模型的特點.當遇到這種情況時,沒有條件需要創(chuàng)造條件,構建出滿足模型的特點,故需要根據(jù)試題中的已知條件將其中一條線段移動到動點運動軌跡的另外一側.

2 在二次函數(shù)中的應用

2.1 異側和最小

例1拋物線y = ax2+bx+c 與x 軸交于B 兩 點(點B 在 點A的左側) , 與y 軸交于點C, 且OB = 3OA =的平分線AD 交y 軸于點D,過點A 且垂直與AD 的直線l 交y 軸于點E,點P 是x軸下方拋物線上的一個動點,過點P 作PF ⊥x 軸,垂足為F,交直線AD 于點H.

(1)求拋物線的解析式;

(2)設點P 的橫坐標為m,當FH =HP 時,求m 的值;

圖3

2.2 同側差最大

例2已知拋物線+2 與x 軸交于點A,B 兩點, 交y 軸于C 點, 拋物線的對稱軸與x 軸交于H點,分別以OC,OA 為邊作矩形AECO.

(1)求直線AC 的解析式;

(2)P 為直線AC 上方拋物線上的任意一點,在對稱軸上有一動點M,當四邊形AOCP 面積最大時,求|PM -OM|的最大時,點M 的坐標.

解析(1)AC 的解析式為過程略;

(2)首先需要解決的是在什么情況下四邊形AOCP 面積最大? 再求|PM -OM|最大時,點M 的坐標;

如圖4 所示, 過點P 作x 軸的垂線交AC 于點D, 發(fā)現(xiàn)四邊形AOCP 面積可由ΔAOC 和ΔAPC 兩部分組成,而ΔAOC 的面積是恒定不變的, 因此目前只需要ΔAPC面積最大即可; 因為點P 在拋物線上, 設P 點的坐標為故G 點坐標為

圖4

圖5

其次需要解決的是線段差的絕對值的最大值,P 點和O點為定點,動點M 在二次函數(shù)的對稱軸上運動,因此動點軌跡為題目中二次函數(shù)的對稱軸.此時定點P 點和O 點在動點M 運動軌跡的兩側,并不滿足同側差最大的模型特點,則需要將其中一個定點移動到動點M 運動軌跡的同側,將其轉化后使其滿足模型特點.

小結該題則是利用二次函數(shù)本身的對稱性, 將線段PM 轉化為了P1M,使其滿足兩定點在動點運動軌跡的同側,再使用模型求其最大值.

3 拓展與總結

該模型的運用不止在二次函數(shù)中,也可單獨在幾何中進行運用.在例1 和例2 中只使用了相似三角形和二次函數(shù)的對稱性,還能涉及到其它知識點.除此以外還可以將其與GeoGebra 軟件相結合,使函數(shù)和幾何在GeoGebra 中精確的展示出來,還能展示其動點運動的過程,能很好的促進學生的理解和學習.其例題中的展示圖就是使用GeoGebra 軟件繪制的.

在以二次函數(shù)為背景求兩線段和的最小值以及差的最大值時,需考慮異側和最小同側差最大的模型.而在求最值的試題中往往不會直接給出求兩線段的最值問題,比如求三角形周長的最小值,此時三角形有一條邊是定值,因此三角形周長的最小值就轉化為了求另外兩條線段和的最小值,最后再觀察是否滿足模型特點,若不滿足特點則根據(jù)試題的已知條件需進行相應的轉化.轉化過程中又可結合相似三角形、全等三角形、二次函數(shù)的對稱性等知識點要么把同側邊的兩條線段轉化為異側,要么把異側邊的兩線段轉化為同側.總之,如果遇到該類型的試題,我們需要靈活運用所學的知識點逐步進行轉化,使其滿足模型的特點.