核心素養(yǎng)視角下構(gòu)建“隱圓”模型巧求線段最值

廣東省云浮市云浮中學(xué)(527300) 黎 麗

“隱圓問題”是近年來中考熱點(diǎn)問題,是以動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題及線段最值問題為載體,考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力,對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提出更高的要求.廣東中考數(shù)學(xué)考卷2020年與2021年連續(xù)兩年的第17 題都考查了“借助隱圓求線段最值”的動(dòng)態(tài)問題,那么如何在題設(shè)條件發(fā)現(xiàn)隱藏的圓呢? 怎樣借助圓的知識(shí)進(jìn)行解題呢? 本文基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的理解,對中考數(shù)學(xué)考卷出現(xiàn)的新題型“隱圓”問題進(jìn)行剖析,歸納概括解決這類問題的策略: 理解題意→剖析問題→建立模型→驗(yàn)證模型→應(yīng)用模型,幫助學(xué)生建立解決隱圓問題的思維路徑.

1 隱圓問題的歸類

學(xué)生要解決“隱圓問題”,必要的知識(shí)儲(chǔ)備不可少,在題目中沒有給出圓的有關(guān)信息時(shí),需要對教材中圓的定義與性質(zhì)的有深刻的理解,通過對題意的深度思考,發(fā)現(xiàn)隱藏的圓,并能結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.筆者分析近年來中考考題,可把隱圓問題分為以下類型: (1)定點(diǎn)定長;(2)定弦對定角;(3)直角所對的直徑;(4)四點(diǎn)共圓.本文重點(diǎn)探討定點(diǎn)定長、定弦定角這兩種類型的“隱圓求最值問題”.

2 中考試題剖析

2.1 定點(diǎn)定長問題

根據(jù)圓定義,平面上到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓,這是找出隱圓的其中一個(gè)依據(jù).

例1(2020年廣東)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑,一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠,等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn),模型如圖,∠ABC = 90°,點(diǎn)M,N 分別在射線BA,BC 上,MN 長度始終保持不變,MN = 4,E 為MN 的中點(diǎn),點(diǎn)D 到BA,BC 的距離分別為4 和2.在此滑動(dòng)過程中,貓與老鼠的距離DE 的最小值為____.

圖1

(1)分析題意

已知ΔBMN 是直角三角形,B、D 是定點(diǎn),梯子MN是動(dòng)線,老鼠E 位于MN 的中點(diǎn),隨著MN 的位置變化而變化,E 是動(dòng)點(diǎn),因此DE 也是動(dòng)線段.

未知梯子MN 在滑動(dòng)的過程中老鼠E 的運(yùn)動(dòng)軌跡.

目標(biāo)貓離老鼠最近時(shí)DE 的最短距離.

(2)問題剖析

問題1老鼠E 運(yùn)動(dòng)軌跡是是什么,是如何產(chǎn)生的?

問題2思考老鼠E 在何處時(shí),DE 最短,你如何聯(lián)系到已學(xué)的知識(shí).

(3)建立模型

如圖2 所示, E 是RtΔBMN 中斜邊MN 的中點(diǎn),連接BE, 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得= 2, 根據(jù)圓的定義, B 是定點(diǎn), 動(dòng)點(diǎn)E 的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B 為圓心2 為半徑的圓弧HN.

圖2

(4)驗(yàn)證模型

E 在圓弧HN 上運(yùn)動(dòng), 由三角形三邊關(guān)系可知BD ≤BE + DE, 因此當(dāng)B、E、D 三點(diǎn)共線時(shí), DE 最短.連接BD 交圓弧交于點(diǎn)F, 當(dāng)E 與F 重合時(shí), 則DF 的長度即為所求的最小值.如圖2 所示, 過點(diǎn)D作DH⊥AB 于點(diǎn)H, 則DH = 4,BH = 2, 由勾股定理可得所以

點(diǎn)評本題中考數(shù)學(xué)填空壓軸題第17 題,是全卷難度的一個(gè)小高峰.題目的背景是一個(gè)“貓捉老鼠”的故事,用簡煉的數(shù)學(xué)語言描述情景,貼近實(shí)際生活,題型新穎,是一道有區(qū)分度的好題.這道題要求學(xué)生有勾股定理、圓、最短路徑等知識(shí)儲(chǔ)備.本題的關(guān)鍵在于畫出老鼠E 的運(yùn)動(dòng)軌跡是到定點(diǎn)B的距離等于定長2 的“隱圓”.

(5)應(yīng)用模型

變式訓(xùn)練如圖3,∠MON =90°,矩形ABCD 的頂點(diǎn)A,B 分別在邊OM、ON 上,當(dāng)點(diǎn)B 在邊ON 上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)A 隨之在OM 上運(yùn)動(dòng),矩形ABCD 的形狀保持不變,其中AB =8,BC =2.在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)D 到點(diǎn)O 的最大距離為______.

圖3

分析觀察題目條件,在RtΔAOB 中,取AB 的中點(diǎn)E,連接OD,OE,DE, 可得OE == 4, 可知OE 是定長,可把問題轉(zhuǎn)化為新的以E 為定點(diǎn),以O(shè) 為動(dòng)點(diǎn)之間的距離最大值, 可以建立模型, 以E 為圓心, OE 的長為半徑作圓(見圖4).OE、DE、OD 構(gòu)成一個(gè)三角形,根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊,,因此當(dāng)O、E、D 三點(diǎn)共線時(shí),OD最大(見圖5).而四邊形ABCD 是矩形, AD = BC = 2,∠DAB = 90°,可得DE =即點(diǎn)D到點(diǎn)O 的最大距離=OE+DE =4+

圖4

圖5

2.2 定弦定角

根據(jù)圓周角定理,在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弦相等,可以構(gòu)造“隱圓”.

例2(2021年廣東) 在ΔABC 中, ∠ABC = 90°,AB = 2,BC = 3.點(diǎn)D 為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ADB = 45°,則線段CD 長度的最小值為____.

(1)分析題意

已知在RtΔABC 中, AB 是定長, ∠ADB 是定角, D是動(dòng)點(diǎn).

未知?jiǎng)狱c(diǎn)D 的運(yùn)動(dòng)軌跡.

目標(biāo)求線段CD 的最小值.

(2)問題剖析

問題1動(dòng)點(diǎn)D 是如何產(chǎn)生的? 運(yùn)動(dòng)軌跡是什么?

問題2動(dòng)點(diǎn)D 在何處時(shí),CD 最短,你能否聯(lián)系到已學(xué)的知識(shí)?

(3)建立模型

如圖6 所示,畫線段AB =2,任意取點(diǎn)D,作∠ADB =45°,根據(jù)定弦定角,A、B、D 三點(diǎn)共圓,作ΔABD 的外接圓O,D 的運(yùn)動(dòng)軌跡在ΔABD 的外接圓O 的圓周上.

圖6

(4)驗(yàn)證模型

如圖7 所示,點(diǎn)D 在⊙O 上運(yùn)動(dòng),因求CD 最小值,故圓心O 在AB 的右側(cè),連接OC,當(dāng)O、D、C 三點(diǎn)共線時(shí),CD 的值最小.連接AO、BO、DO、CD、OC,因?yàn)椤螦DB = 45°,得出∠AOB = 90°, 因?yàn)镺A = OB, 可得ΔOAB 是等腰直角三角形, 因?yàn)镺A = OB =過O作OF ⊥BC 于F, 得得出FC =BC-BF =2,所以由三角形三邊關(guān)系知OD+CD ≥OC,當(dāng)點(diǎn)D 運(yùn)動(dòng)到OC 與⊙O 的交點(diǎn)E 時(shí),CD 的值最小,最小值為

圖7

點(diǎn)評本題沒有給出圖,要求學(xué)生自己畫圖,難度較大,綜合性強(qiáng),是典型的定弦定角隱圓問題.解題的關(guān)鍵是如何確定D 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,這道題要結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理、圓周角定理等相關(guān)知識(shí)知識(shí)進(jìn)行推理,通過層層推導(dǎo),撥開迷霧,有種山重水復(fù)疑無路,柳岸花明又一村的感覺.

(5)應(yīng)用模型

變式訓(xùn)練如圖8 所示,正方形ABCD 的邊長為4,點(diǎn)E、F 分別是BC,CD 上的一動(dòng)點(diǎn),且BE = CF,連結(jié)AE,BF,兩線交于點(diǎn)P,連接CP,則CP 的最小值是____.

分析由題意可證明ΔABEΔBCF, 即可得到∠APB = 90°是定角, AB 是定弦, 且可推出AB 是直徑.根據(jù)定弦定角建立模型,取AB 中點(diǎn)H 得點(diǎn)P 在以點(diǎn)H 為圓心, 以HP 為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)(見圖9) , 連接HP、CH, 則在ΔHPC 中, 根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊, CH ≤HP + PC, 因此當(dāng)H、P、C 在同一條直線上時(shí), CP 取最小值, 依據(jù)HP 與CH 的長,RtΔBCH 中,求得HC =即可得出CP 的最小值=HC -HP =

3 數(shù)學(xué)思考

本文從廣東中考數(shù)學(xué)近兩年考卷中的“隱圓求線段最值”熱點(diǎn)問題切入,立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),重視培養(yǎng)學(xué)生建模思想,引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析問題條件和信息,引發(fā)學(xué)生深度思考,經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、類比、抽象、概括等思維過程,透過問題表象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì),回歸知識(shí)原點(diǎn)(定點(diǎn)定長→圓的定義,定弦定角→圓的性質(zhì)),建構(gòu)出“隱圓求線段最值”的數(shù)學(xué)模型.透過直觀可視的數(shù)學(xué)模型,對模型進(jìn)行邏輯推理并論證模型的正確性,再通過變式訓(xùn)練,強(qiáng)化學(xué)生模型意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,歸納概括出隱圓問題解題策略,分為五個(gè)步驟: 理解題意→剖析問題→建立模型→驗(yàn)證模型→應(yīng)用模型,完整清晰的呈現(xiàn)模型解題教學(xué)的全過程,幫助學(xué)生建立的解思隱圓問題的思維路徑.