一類三角形范圍問題的解法探究課堂實(shí)錄*

廣州第七中學(xué)數(shù)學(xué)科(510080) 陳武生 陸曼麗

1 學(xué)生作業(yè)的一道題

設(shè)銳角ΔABC 的內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,若的取值范圍.

由于這題的作答情況不理想,出現(xiàn)了各種問題(基本功不扎實(shí)、方法不合理等),所以想用一節(jié)課專門講這道題.

2 問題分析

本題涉及內(nèi)角范圍的確定,邊角轉(zhuǎn)化,以及如何合理處理目標(biāo)b2+c2+bc,最后是如何轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)問題.應(yīng)該說切入口很寬.很考學(xué)生的基本功.

3 課堂教學(xué)實(shí)錄(節(jié)選)

師: 作業(yè)中這道題,做得不是很理想,今天,我們?cè)俅握鲬?zhàn)這道題,請(qǐng)同學(xué)生拿出紙,重做這道題.

師: 好,經(jīng)過10 分鐘時(shí)間,有一部分同學(xué)做出了這題,有還不少同學(xué)沒有完成.我們一起來分析一下.

(1)從問題的設(shè)置來說,解題目標(biāo)b2+c2+bc 的處理,是第一個(gè)關(guān)口.直接邊化角,會(huì)出現(xiàn)角B、C 的正弦的平方的化簡問題,通常會(huì)無功而返.從結(jié)構(gòu)來看,余弦定理的出場(chǎng)顯得很合時(shí)宜.

問1: 請(qǐng)大家思考, 有沒有別的手段進(jìn)行化簡? 聯(lián)想所學(xué)公式, 有哪些公式涉及兩角的正弦的積? (生作答:cos(B+C))

問2: cos(B+C)展式中,除了sin B sin C,還有什么? 能不能消除? )

問3: 你看你就得到了一個(gè)積化和差公式.

學(xué)生嘗試后,大獲喜悅,這減少不少計(jì)算量,而且公式也不用背.

問4: 如果此處改為: cos B cos C 呢?

問5: 如果改為: sin B cos C 呢?

(學(xué)生都找到了問題的答案,此處略)

師生總結(jié): 積化和差公式,本質(zhì)上是利用A+B 與A-B的展式中的對(duì)偶性,利用方程組的思想進(jìn)行構(gòu)造解決的.

(3)解決bc 的范圍問題,只有化為角一條路嗎?

學(xué)生回答: 因?yàn)橛没静坏仁?只能得到范圍的一端,而兩邊之和大于第三邊,又會(huì)把鈍角的情況包括進(jìn)來.

問1: 能不能解決它是銳角三角形這個(gè)限制問題?

生: 我只想到這樣做: 如圖1.我覺得當(dāng)A 在BC 中垂線與圓的交點(diǎn)時(shí), bc 有最大值; 當(dāng)A移動(dòng)到A′且A′C 垂直于BC時(shí),bc 有最小值.

問2: 為什么一個(gè)取到最大值一個(gè)取到最小值?

生: 初中時(shí)這樣做過,理由我不知道.

問3: 你這是用數(shù)形結(jié)合的辦法作為切入點(diǎn),很好.特別是兩個(gè)特殊位置把握得很到位.只是bc 作為邊長的積,沒有什么明顯的幾何意義作為呼應(yīng),很可惜.你認(rèn)為有沒有可能bc 也可以有明確的幾何意義的嗎?

師: 很利害哦.這算是“無中生有”吧.生大笑.如何準(zhǔn)確的表達(dá),我們需要注意,讓看我們答案的人一下子就知道我們?cè)谥v什么,你認(rèn)為要講清哪幾點(diǎn)最重要?

生:“無中生有”最重要,當(dāng)然還有面積的變化,在底BC不變的情況下,主要看高,又受銳角三角形的限制,點(diǎn)A 能移動(dòng)的位置也被限制,這樣就可以了.(師生板書略)

(4)面積改周長

問4: 如果改為求周長的范圍呢?

生: 那相當(dāng)于求b+c 的范圍,我想用基本不等式(其它學(xué)生提醒只能求一端),再用兩邊之和大于第三邊.

問5: 這能排除鈍(直)角三角形的情況嗎?

生: 不能,但我可以按剛才的圖解.

問6: 為什么這時(shí)候兩個(gè)特殊位置對(duì)應(yīng)著兩個(gè)取值范圍的端點(diǎn)呢?

生: 這個(gè)我沒想過,但我覺得是對(duì)的.(其它生笑)

師: 看來這題我們只能轉(zhuǎn)化為角: 2R(sin B +sin C)來解了.這個(gè)大家都會(huì)吧? (會(huì))有沒有快捷方法化簡呢? 這個(gè)問題給大家課后解決啊.我還是不死心,為什么b+c 就沒有幾何意義呢? 它不能象bc 那樣可以和面積聯(lián)系在一起.

問7: b+c 表面看來是兩條折線的和,無法解決剛才的問題.你能不能給b+c 賦予一定的幾何意義? 它和面積有關(guān)嗎?

生: 怎么可能和面積有關(guān)?

生: 我想,b+c 與bc,它們的關(guān)系,只能靠平方來解決,但(b+c)2=b2+c2+2bc,但那平方和不知怎么想.

生: 你把它用余弦定理解就行了,對(duì)了,和原來的問題是一樣了.(b+c)2=b2+c2+2bc=3+3bc,接下來就可以轉(zhuǎn)化為之前的問題了.(全班學(xué)生鼓掌)

不知不覺,一節(jié)課時(shí)間到了.

師: 這節(jié)課,我們對(duì)一道作業(yè)題,進(jìn)行了多方面多角度的分析與研究,做過的題,你再想想,總是還有一些問題有待解決.所以,請(qǐng)多多回顧一些典型的題,從不同角度,不同切入點(diǎn)考慮,“明知山有虎,偏向虎山行”.知此可為,知彼不可為,如庖丁解牛.則你距離成功更近了.

這題如果再作一些變化,又會(huì)怎么樣呢? 請(qǐng)你試試.

4 課后反思

這算是一節(jié)習(xí)題課,以作業(yè)中出現(xiàn)的典型問題為切入點(diǎn),試圖解決一些學(xué)生重做題輕反思總結(jié)的不良習(xí)慣,通過問題串,層層引導(dǎo),不斷的在學(xué)生困惑或思維受阻時(shí),利用設(shè)問、反問等手段引起學(xué)生的進(jìn)一步思考,在這個(gè)過程中,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).個(gè)人認(rèn)為,讓數(shù)學(xué)課多點(diǎn)數(shù)學(xué)味道,在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行設(shè)問,既有效鞏固了知識(shí)與方法,又提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,有利于學(xué)生形成解題后反思的習(xí)慣.