一種正、負(fù)和零泊松比相互轉(zhuǎn)換的新策略

陳帥， 王兵， 朱紹偉

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 特種環(huán)境復(fù)合材料技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院， 重慶 400044)

泊松比(Poisson′s ratio，PR)目前廣泛用于表征材料的力學(xué)性能[1]。自然界中材料的泊松比大多介于0.2～0.5，泊松比為負(fù)值或?yàn)榱愕牟牧显谧匀唤缰休^少，需要通過人為設(shè)計(jì)得到。

負(fù)泊松比(negative Poisson′s ratio, NPR)材料在拉伸時呈橫向擴(kuò)張，在壓縮時呈橫向收縮，故又被稱為拉脹材料[2]。與具有正泊松比的傳統(tǒng)材料相比，負(fù)泊松比材料具有優(yōu)異的力學(xué)性能，如抗剪切性[3-4]、抗壓痕性[5]、能量吸收和斷裂韌性[6-7]等可以顯著提高，這使其在各個領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[8-9]，特別是在航空航天、生物醫(yī)療、國防以及智能系統(tǒng)等領(lǐng)域。并已代表性地用于飛機(jī)渦輪發(fā)動機(jī)的葉片中。

自然界中的負(fù)泊松比材料確實(shí)存在，如奶牛乳頭部分皮膚和貓的皮膚[10]。Ting等[11]的工作表明，對于各向異性材料，只要應(yīng)變能密度函數(shù)是正定的，泊松比可以有任意正負(fù)值。因此，泊松比的負(fù)值不僅是假設(shè)的，而且可以在人造材料中實(shí)現(xiàn)。Lakes[3]首次人為造出具有負(fù)泊松比的聚氨酯泡沫。在后續(xù)研究中根據(jù)材料內(nèi)部胞元的變形機(jī)制，負(fù)泊松比材料可分為內(nèi)凹型[8]、手性型[12]、旋轉(zhuǎn)型[13]和穿孔型[14]。

Gibson等[15]提出了內(nèi)凹型蜂窩結(jié)構(gòu)。Master等[16]發(fā)現(xiàn)了二維內(nèi)凹結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比行為。當(dāng)在任一方向施加載荷時，對角肋的移動方式會導(dǎo)致另一個方向的負(fù)泊松比效應(yīng)。另一種由于內(nèi)凹性而表現(xiàn)出負(fù)泊松比效應(yīng)的多胞結(jié)構(gòu)是雙箭頭[17-18]和星形[19]。這些結(jié)構(gòu)中的負(fù)泊松比機(jī)制類似于內(nèi)凹結(jié)構(gòu)。在拉伸過程中，雙箭頭和星形單元打開，導(dǎo)致拉脹效應(yīng)。

Prall等[20]提出手性蜂窩結(jié)構(gòu)的概念。手性是指鏡像上不能重疊，手性結(jié)構(gòu)由等半徑的圓形元素通過與節(jié)點(diǎn)相切的直韌帶(壁)連接而成。這種配置通過節(jié)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)和相關(guān)韌帶的彎曲提供了平面內(nèi)的負(fù)泊松比效應(yīng)，以及允許在組成材料的彈性范圍內(nèi)產(chǎn)生高應(yīng)變的變形機(jī)制。這些結(jié)構(gòu)的泊松比約為-1[12]。

Grima等[13]提出了帶有旋轉(zhuǎn)單元的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)。在此類結(jié)構(gòu)中，負(fù)泊松比行為是由通過鉸鏈相互連接的剛性多邊形的旋轉(zhuǎn)獲得的，如旋轉(zhuǎn)正方形[13]、旋轉(zhuǎn)矩形[21]、旋轉(zhuǎn)平行四邊形和菱形[22]、旋轉(zhuǎn)三角形[23-25]和旋轉(zhuǎn)四面體[26]?；谛D(zhuǎn)剛性單元模型的靈感，負(fù)泊松比行為也在具有菱形或星形開孔[14]的片材中得到驗(yàn)證。

零泊松比(zero Poisson′s ratio, ZPR)材料在受單向拉壓時，不會出現(xiàn)橫向收縮和擴(kuò)張。自然界中軟木等材料所呈現(xiàn)的泊松比被觀察到等于或接近于零[27-28]。零泊松比材料因其不同尋常的特性和在醫(yī)學(xué)[29]、組織工程[30]和航空[31]等不同領(lǐng)域的潛在應(yīng)用而備受關(guān)注。在航空領(lǐng)域，變形機(jī)翼中使用的柔性蒙皮需要提供足夠的協(xié)同變形以承受空氣載荷。此外，根據(jù)光滑度的要求，需要對柔性蒙皮的不變形方向進(jìn)行限制。在這些方案中，泊松比為零的材料更為可取[32]。目前針對零泊松比材料的設(shè)計(jì)主要有2種思路：1)通過材料胞元的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)零泊松比效應(yīng)；2)混合正、負(fù)泊松比胞元獲得重組后的具有零泊松比效應(yīng)的新型胞元。

程文杰等[32]提出一種新型十字型混合零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)并進(jìn)行了理論驗(yàn)證。何玉龍等[33]通過折紙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出新型零泊松比結(jié)構(gòu)，并對其進(jìn)行了幾何分析及其耗能性能研究。Huang等[34]提出了一種由六邊形部分和薄板部分組成的新穎的平面內(nèi)零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)。六邊形結(jié)構(gòu)用于承受面外壓縮并產(chǎn)生面內(nèi)柔性，而薄板用于產(chǎn)生面外柔性。這2個部分對有效力學(xué)性能有不同的貢獻(xiàn)，需要分別設(shè)計(jì)平面內(nèi)和平面外的性能。

針對正、負(fù)泊松比胞元混合構(gòu)型的設(shè)計(jì)也有廣泛的研究。Olympio[35]提出的構(gòu)型可以實(shí)現(xiàn)整體微元的零泊松比效應(yīng)。當(dāng)周期微元受到一個方向的載荷時，微元中的正、負(fù)泊松比胞元分別收縮(膨脹)和膨脹(收縮)相同的橫向變形量，整個周期微元的等效橫向變形為零，即表現(xiàn)出零泊松比效應(yīng)。Gong等[36]設(shè)計(jì)了一種零泊松比蜂窩，可以實(shí)現(xiàn)沿2個正交方向的變形，并通過抑制非變形方向的泊松變形，避免了變形方向的有效剛度大幅增加。

本文基于曲桿/板組成的內(nèi)凹式十邊形多孔結(jié)構(gòu)提出了一種正、負(fù)和零泊松比相互轉(zhuǎn)換的新策略。即通過改變桿的曲率，結(jié)構(gòu)的泊松比可實(shí)現(xiàn)為正、負(fù)和零。

1 結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與制備

1.1 幾何構(gòu)型設(shè)計(jì)

本文提出的內(nèi)凹式十邊形蜂窩結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，由4×10個胞元組成。其內(nèi)凹十邊形胞元如圖1(b)所示。胞元的每條邊均由如圖1(c)所示的正弦梁組成。當(dāng)豎向力作用于蜂窩結(jié)構(gòu)時，曲梁會偏轉(zhuǎn)和彎曲，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的大變形行為。通過改變曲梁的曲率參數(shù)可以在整個蜂窩結(jié)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)不同的泊松比效應(yīng)。余弦梁的幾何形狀可以表示為:

(1)

式中：t為余弦梁的函數(shù)形式；L為余弦梁的長度；k為余弦梁的曲率。2個胞元之間均由橫向直梁連接。橫向直梁的存在可以聯(lián)動整個結(jié)構(gòu)的橫向變形。

圖1 內(nèi)凹式十邊形蜂窩結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)型設(shè)計(jì)Fig.1 Geometric configuration design of re-entrant decagonal honeycomb structure

1.2 樣品制備

制備樣品的材料體系選用熱塑性聚氨酯。熱塑性聚氨酯是增材制造技術(shù)中最常用的聚合物之一，在世界上應(yīng)用廣泛。具有來源廣、韌性好、強(qiáng)度高、成本低、耐高溫等優(yōu)點(diǎn)。且熱塑性聚氨酯是一種成熟的環(huán)保材料，具有優(yōu)良的耐磨性、耐老化性和安全性等優(yōu)點(diǎn)。采用熔融沉積(FDM)3-D打印技術(shù)(HORI Z500，北京匯天威科技有限公司)對樣品進(jìn)行制備。圖2(a)為樣品的3-D打印示意圖。制備的樣品實(shí)物如圖2(b)所示。這種增材制造技術(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)：可以制造不同材料和尺寸的復(fù)雜實(shí)體或腔體結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)的打印精度極高(可達(dá)0.05 mm)，制造成本較低。根據(jù)ASTM D638-14拉伸實(shí)驗(yàn)測試標(biāo)準(zhǔn)，獲得了原材料熱塑性聚氨酯的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線，如圖3所示，其材料基本力學(xué)性能如表1所示。

圖2 樣品的制備過程示意Fig.2 Schematic diagram of the preparation process of the sample

圖3 原材料熱塑性聚氨酯的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 The stress-strain curve of the base material TPU

表1 熱塑性聚氨酯的彈性屬性Table1 The elastic properties of thermoplastic polyurethane

2 研究方法

2.1 有限元方法

為了研究和探索結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下的變形特征及力學(xué)性能，采用商用有限元(FE)計(jì)算軟件ABAQUS/Explicit求解器進(jìn)行了數(shù)值模擬。首先通過建模軟件SOILDWORKS建立了結(jié)構(gòu)的三維CAD模型，并導(dǎo)入到ABAQUS中。在有限元模型中，由于結(jié)構(gòu)的瞬變特性，考慮了幾何非線性。采用適用于求解大應(yīng)變問題的八節(jié)點(diǎn)線性減縮積分六面體單元(C3D8R)對蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分。采用線性減縮積分單元的優(yōu)點(diǎn)是：當(dāng)網(wǎng)格發(fā)生畸變時，分析精度不會受到很大影響[37-38]。在每個模型中，結(jié)構(gòu)橫截面上都有3個以上的單元，以滿足網(wǎng)格收斂性要求。表1中列出的熱塑性聚氨酯(TPU)材料的力學(xué)參數(shù)應(yīng)用到有限元模型中。拉伸試驗(yàn)的有限元模型如圖4所示。蜂窩上下表面用卡具固定，并采用體積中心有參考點(diǎn)的離散剛體對拉伸卡具進(jìn)行模擬。在模擬過程中，卡具與試樣之間進(jìn)行綁定。同時，頂部參考點(diǎn)受豎向位移載荷作用，其他5個自由度均固定。同時，限制底部卡具基準(zhǔn)點(diǎn)的所有自由度。為了消除邊界效應(yīng)，在結(jié)構(gòu)中間設(shè)置4個參考點(diǎn)作為測量點(diǎn)，用于監(jiān)測結(jié)構(gòu)的橫向變形和豎向變形。

圖4 蜂窩結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.4 The FE model of the honeycomb structure

2.2 實(shí)驗(yàn)方法

為了驗(yàn)證有限元結(jié)果的有效性，采用INSTRON 5569試驗(yàn)機(jī)對結(jié)構(gòu)沿垂直方向進(jìn)行了準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試驗(yàn)。準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試樣的實(shí)驗(yàn)裝置如圖5(a)所示，試樣上下兩端通過特制夾具進(jìn)行固定，以便和試驗(yàn)機(jī)夾頭進(jìn)行連接。實(shí)驗(yàn)過程采用位移加載控制，恒定位移速率設(shè)置為1 mm/min，避免了動態(tài)影響。在試驗(yàn)過程中，監(jiān)測試樣的橫向變形和縱向變形。為了準(zhǔn)確測量試樣的泊松比值，提出一種簡易的DIC技術(shù)方法。拉伸試驗(yàn)前，在樣品中心標(biāo)記點(diǎn)，如圖5(b)所示。在拉伸過程中，使用高分辨率數(shù)碼相機(jī)對拉伸試樣進(jìn)行視頻記錄，如圖5(a)所示。然后將視頻裁剪成反映整個拉伸過程的一系列連續(xù)圖片，利用圖像處理技術(shù)得到每個標(biāo)記點(diǎn)中心的運(yùn)動軌跡，通過軌跡的計(jì)算即可得到試樣的縱向應(yīng)變-橫向應(yīng)變圖，繼而得到結(jié)構(gòu)泊松比值，其整個方法過程如圖6所示。實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果也用于驗(yàn)證有限元結(jié)果。

圖5 實(shí)驗(yàn)技術(shù)方法Fig.5 Experimental techniques and methods

3 結(jié)果分析與討論

3.1 胞元構(gòu)型的確定

圖7對比了正常凸式六邊形胞元、內(nèi)凹式六邊形胞元和內(nèi)凹式十邊形胞元的幾何特征?？梢钥闯鼋Y(jié)構(gòu)的泊松比效應(yīng)是由A、B和C3個節(jié)點(diǎn)的移動方向共同決定的。對于正常凸式六邊形和內(nèi)凹式六邊形胞元，3個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)在x方向的位置滿足:xA=xC≠xB。在y向拉伸載荷下，節(jié)點(diǎn)B在x方向的坐標(biāo)xB總是朝向xA和xc坐標(biāo)方向移動。這種外凸(或內(nèi)凹)的機(jī)制使正常六邊形胞元和內(nèi)凹式六邊形胞元呈現(xiàn)相反的泊松比效應(yīng)，分別表現(xiàn)出正泊松比效應(yīng)和負(fù)泊松比效應(yīng)。在內(nèi)凹式十邊形胞元中，3個節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)在x方向的位置滿足:xA=xC=xB。因?yàn)檫@種胞元同時存在內(nèi)凹和外凸的機(jī)制，如果桿是直的，在y向拉伸載荷下節(jié)點(diǎn)B的坐標(biāo)xB依然和節(jié)點(diǎn)A和C的坐標(biāo)一致，即xA=xC=xB，此種情況下胞元的泊松比表現(xiàn)為零。但是，如果桿具有特殊的曲率，則在y方向拉伸情況下節(jié)點(diǎn)B的坐標(biāo)xB將遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)A和C的坐標(biāo)(xA和xc)，即表現(xiàn)出正或負(fù)泊松比效應(yīng)，其具體分析見下節(jié)。因此，本文選用具有不同曲率的內(nèi)凹十邊形胞元組成具有不同泊松比效應(yīng)的蜂窩結(jié)構(gòu)。

圖6 簡易的DIC技術(shù)方法Fig.6 Simple DIC technology method

3.2 曲率的影響

本文考慮了3種桿曲率內(nèi)凹十邊形胞元，如圖8所示。在局部坐標(biāo)系(s,t)中桿的曲率函數(shù)被表達(dá)為式(1)。為簡化分析，把L視為一個常數(shù)。3種胞元桿的曲率k分別取為2、0和-2。限定t′(s)|s=0=t′(s)s=L=0，所以對于不同的曲率k，桿的末端總是具有相同的方向。

為了拓展工程應(yīng)用，曲板也常作為內(nèi)凹十邊形多孔結(jié)構(gòu)的胞元壁，且為說明胞元在拉伸載荷和壓縮載荷下表現(xiàn)出同種性質(zhì)的泊松比效應(yīng)，本節(jié)中3種具有不同曲率k的胞元結(jié)構(gòu)均由曲板組成，且受到壓縮載荷作用，其變形情況如圖8所示?？梢钥闯?，當(dāng)k>0時,胞元結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)正的泊松比；當(dāng)k=0時，胞元結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)零泊松比；當(dāng)k<0時，胞元結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)負(fù)的泊松比。很明顯，對于不同的k，胞元可以實(shí)現(xiàn)正、負(fù)和零泊松比的轉(zhuǎn)換。

圖7 胞元構(gòu)型的對比Fig.7 Comparison of cell configurations

圖8 曲率的影響Fig.8 The effect of curvature

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的對比

本節(jié)在3.2節(jié)單胞研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了蜂窩結(jié)構(gòu)的研究。蜂窩樣品的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：曲梁長度L=10 mm，曲梁面內(nèi)厚度T=1 mm，所有試樣的面外厚度均為b=1.6 mm。圖9展示了k=2情況下蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下的響應(yīng)分析。將實(shí)驗(yàn)得到的蜂窩結(jié)構(gòu)縱向位移(dy)和橫向位移(dx)響應(yīng)與仿真結(jié)果進(jìn)行了對比，如圖9(d)所示。蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下呈現(xiàn)出的變形形態(tài)如圖9(a)、(b)所示。圖9(e)為蜂窩結(jié)構(gòu)在變形過程中表現(xiàn)出的泊松比值。從圖9中可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元預(yù)測在泊松比量值和變形形態(tài)方面表現(xiàn)出定量一致性。其結(jié)果略區(qū)別于單胞結(jié)構(gòu)，即當(dāng)k>0時，蜂窩結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)正的泊松比，隨著真實(shí)應(yīng)變的增大，結(jié)構(gòu)的泊松比呈現(xiàn)減小趨勢，隨后出現(xiàn)負(fù)的泊松比。結(jié)構(gòu)的泊松比從正到零，再到負(fù)，是一條近乎線性的曲線。這是因?yàn)樵谛∽冃螘r，結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位置大致滿足xA=xC=xB，非零泊松比是由桿的曲率效應(yīng)造成的。變形較大時，桿件的曲率減小,xB偏離xA和xC，即出現(xiàn)位錯。隨著位錯的增加和曲率的減小，內(nèi)凹(或凸)機(jī)制將取代曲率效應(yīng)成為影響泊松比的主要因素。在小變形條件下，有限元分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。在較大的變形量下，雖然泊松比的變化趨勢相似，但有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大偏差。其偏差主要由以下2個原因造成的：1)熔融沉積(FDM)3-D打印技術(shù)在結(jié)構(gòu)尺寸過大的情況下，打印質(zhì)量存在一定缺陷；2)在有限元計(jì)算中把材料假設(shè)成了理想彈性，而結(jié)構(gòu)在大變形情況下會有部分塑性變形發(fā)生，這也是造成結(jié)果偏差的原因之一。

圖9 k=2情況下蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下的響應(yīng)分析Fig.9 Response analysis of honeycomb structure under tensile load whenk=2

圖10展示了k=0情況下蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下的響應(yīng)分析。圖10(d)為實(shí)驗(yàn)得到的蜂窩結(jié)構(gòu)縱向位移(dy)和橫向位移(dx)響應(yīng)與仿真的對比結(jié)果。蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下呈現(xiàn)出的變形形態(tài)如圖10(a)、(b)所示。圖10(e)為蜂窩結(jié)構(gòu)在變形過程中表現(xiàn)出的泊松比值。從圖10中可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元預(yù)測在泊松比量值和變形形態(tài)方面表現(xiàn)出定量一致性。即當(dāng)k=0時，蜂窩結(jié)構(gòu)隨著真實(shí)應(yīng)變的增大始終呈現(xiàn)近乎零的泊松比。這是因?yàn)樵诮Y(jié)構(gòu)變形時，節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)大致始終滿足xA=xC=xB。

圖10 k=0情況下蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下的響應(yīng)分析Fig.10 Response analysis of honeycomb structure under tensile load whenk=0

圖11展示了k=-2情況下蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下的響應(yīng)分析。圖11(d)為實(shí)驗(yàn)得到的蜂窩結(jié)構(gòu)縱向位移(dy)和橫向位移(dx)響應(yīng)與仿真的對比結(jié)果。蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下呈現(xiàn)出的變形形態(tài)如圖11(a)(b)所示。圖11(e)為蜂窩結(jié)構(gòu)在變形過程中表現(xiàn)出的泊松比值。從圖11中可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元預(yù)測在泊松比量值和變形形態(tài)方面表現(xiàn)出定量一致性。即當(dāng)k<0時，結(jié)構(gòu)的泊松比從負(fù)到零，再到正。其原因同樣是：在小變形時，結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位置大致滿足xA=xC=xB，非零泊松比是由桿的曲率效應(yīng)造成的；大變形時，內(nèi)凹(或凸)機(jī)制將取代曲率效應(yīng)成為影響泊松比的主要因素。

圖11 k=-2情況下蜂窩結(jié)構(gòu)在拉伸載荷下的響應(yīng)分析Fig.11 Response analysis of honeycomb structure under tensile load whenk=-2

4 結(jié)論

1)當(dāng)曲率k>0時，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)正的泊松比，隨著真實(shí)應(yīng)變的增大，結(jié)構(gòu)的泊松比呈現(xiàn)減小趨勢，隨后出現(xiàn)負(fù)的泊松比。結(jié)構(gòu)的泊松比從正到零，再到負(fù)，是一條近乎線性的曲線。

2)當(dāng)曲率k=0時，結(jié)構(gòu)在整個變形中始終表現(xiàn)為近乎零的泊松比。

3)當(dāng)曲率k<0時，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)負(fù)的泊松比，隨著真實(shí)應(yīng)變的增大，結(jié)構(gòu)的泊松比轉(zhuǎn)變?yōu)檎?。即結(jié)構(gòu)的泊松比從負(fù)到零，再到正。

不同曲率下內(nèi)凹十邊形蜂窩結(jié)構(gòu)的泊松比絕對值隨著有效真實(shí)應(yīng)變的增大，逐漸減小，而后出現(xiàn)了相反的泊松比。對這種現(xiàn)象進(jìn)行了分析，并提出了一種曲率效應(yīng)。結(jié)果表明，在小變形條件下，桿件的非零泊松比是由桿件的曲率效應(yīng)引起的。而在大變形條件下，泊松比的轉(zhuǎn)換是由結(jié)構(gòu)內(nèi)凹(或凸)的機(jī)制取代曲率效應(yīng)成為主導(dǎo)機(jī)制引起的。