仿蝴蝶形蜂窩結(jié)構(gòu)夾層板的振動特性研究

關(guān)淮桐， 田瑞蘭， 張子文

(1.石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，河北 石家莊 050043； 2.石家莊鐵道大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，河北 石家莊 050043)

近年來，人們設(shè)計出各種的超材料，如聲學(xué)超材料，電磁超材料和機(jī)械超材料等[1-3]。其中機(jī)械超材料指的是一組具有反直覺力學(xué)性能的人造結(jié)構(gòu)。隨著增材制造技術(shù)的快速發(fā)展，負(fù)泊松比超材料因其巨大的應(yīng)用潛力而受到廣泛關(guān)注[4-6]。Shen等[7]采用電子束熔煉(EBM)方法設(shè)計并制造一種新型的Ti-6Al-4V三維可重入晶格負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，將二維結(jié)構(gòu)構(gòu)件組合成三維可重入的點(diǎn)陣生成結(jié)構(gòu)，通過梁理論推導(dǎo)出幾何設(shè)計參數(shù)與結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的關(guān)系，與經(jīng)典的可重入點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)相比，發(fā)現(xiàn)新型三維可重入點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)具有更好的力學(xué)性能、更強(qiáng)的吸能能力和更大的設(shè)計范圍。張子文等[8]在蝴蝶圖案結(jié)構(gòu)和星形蜂窩結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一種新型的仿蝴蝶蜂窩(BSH)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)負(fù)泊松比與面內(nèi)剛度的耦合改進(jìn)，探討泊松比與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，并采用Gamultiobj多目標(biāo)遺傳算法，選出最優(yōu)解作為新型結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的解，發(fā)現(xiàn)BSH結(jié)構(gòu)的相對彈性模量和仿形效應(yīng)均有較大提高，同時在保持高仿形效應(yīng)的同時，結(jié)構(gòu)的剛度也有所提高。Bacigalupo等[9]提出適當(dāng)?shù)臄?shù)值技術(shù)解決機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)在聲學(xué)超材料中的優(yōu)化設(shè)計問題，研究低頻帶隙振幅的最大化，討論徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)和Quasi-Monte Carlo方法插值這類優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)的可行性和有效性，并給出了它們在具有四手性微觀結(jié)構(gòu)的特定聲學(xué)超材料中的數(shù)值應(yīng)用。Zhang等[10]設(shè)計并表征一種新型的二維(2D)輕型旋轉(zhuǎn)排列仿形結(jié)構(gòu)。通過理論計算、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)方法，對新型結(jié)構(gòu)的彈性性能、塑性破壞應(yīng)力和比能吸收(SEA)進(jìn)行系統(tǒng)研究。旋轉(zhuǎn)排列的形狀和單元胞內(nèi)穩(wěn)定的三角形設(shè)計使其具有優(yōu)異的能量吸收能力，顯著高于傳統(tǒng)的星形蜂窩和可重入六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)。

尋找更高負(fù)泊松比蜂窩拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)早已成為當(dāng)前超材料領(lǐng)域的重要研究主題之一。在實(shí)際應(yīng)用中，對負(fù)泊松比蜂窩夾層結(jié)構(gòu)動力學(xué)行為的研究也具有現(xiàn)實(shí)意義。蜂窩夾層板是由上下蒙皮和蜂窩芯通過膠粘劑粘接而成的一種層狀復(fù)合夾芯結(jié)構(gòu)，在航空航天和建筑等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[11-12]。Lai[13]通過實(shí)驗(yàn)和三維模型分析表明在彎曲振動分析中可以將蜂窩芯層等效為正交各向異性層。Reddy[14]提出板位移場和相關(guān)平衡方程理論，并建立層合各向異性復(fù)合材料板的理論。彭博等[15]利用有限元模型研究蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)中導(dǎo)波的傳播特性，并進(jìn)行蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)中蒙皮與蜂窩芯脫粘損傷檢測的實(shí)驗(yàn)研究，建立基于實(shí)際蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)的有限元模型。利用COMSOL Multiphysics軟件模擬導(dǎo)波在完好結(jié)構(gòu)和含有脫粘損傷結(jié)構(gòu)中的傳播規(guī)律。結(jié)果表明，導(dǎo)波在蜂窩夾層板中傳播時具有頻散和多模態(tài)特性，可通過頻散關(guān)系確定導(dǎo)波的各階模態(tài)。齊佳旗等[16]通過有限元仿真軟件ANSYS/LS-DYNA分析半球頭圓柱低速沖擊鋁蜂窩夾層板的損傷變形，建立含蒙皮、蜂窩芯和膠層的鋁蜂窩夾層板精細(xì)化仿真模型，并研究鋁蜂窩芯單元尺寸、高度以及金屬、碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)2種蒙皮材料對蜂窩夾層板沖擊響應(yīng)的影響。朱成雷等[17]以艦船的雙層底板架單元為基礎(chǔ)，在保證夾層板總質(zhì)量和主尺寸與原板架相同的前提下，建立36種不同尺寸的四邊形蜂窩夾層板模型，利用仿真算法進(jìn)行聲學(xué)性能分析。朱秀芳等[18]研究內(nèi)凹六邊形蜂窩夾層板幾何參數(shù)變化對板振動頻率的影響，并得到頻率隨泊松比的變化規(guī)律。董寶娟等[19]研究具有梯度的負(fù)泊松比蜂窩夾層板自由振動時的頻率，及其隨蜂窩芯層梯度和板幾何參數(shù)的變化規(guī)律。朱紹濤等[20]發(fā)展高維Melnikov方法研究含參非線性動力系統(tǒng)的多周期解分岔問題，并應(yīng)用于負(fù)泊松比蜂窩夾層板的多周期運(yùn)動等復(fù)雜非線性動力學(xué)行為的研究。

目前，研究的焦點(diǎn)聚焦在內(nèi)凹六邊形蜂窩芯層夾板。本文研究仿蝴蝶形蜂窩夾層矩形板的自由振動問題。將BSH夾層板等效為正交各向異性層合板，對于有軟芯的蜂窩夾層板來說，由于不能忽略其橫向剪切變形的影響，導(dǎo)致一階剪切板理論不再適用。采用Reddy高階剪切變形理論和Hamilton原理推導(dǎo)四邊簡支邊界條件下的BSH夾層矩形板的自由振動問題。利用Navier法假設(shè)模態(tài)函數(shù)，計算出系統(tǒng)的固有頻率，在自由振動情況下，得出BSH夾層板蜂窩芯層各幾何參數(shù)對BSH夾層板系統(tǒng)的固有頻率ω的影響。

1 BSH夾層矩形板理論模型

圖1為BSH胞元結(jié)構(gòu)。圖2(a)是1/4 BSH胞元結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)，蝴蝶形胞元的1/4結(jié)構(gòu)是由3根長度分別為L1、L2和L3(厚度分別為t1、t2和t3)的胞壁與4個邊長為t的正方形連接組成，正方形連接處之間的位置由角度α1、α2、β1和β2確定?？紤]四邊簡支邊界條件下的BSH夾層矩形板，其力學(xué)模型如圖2(b)所示。以蜂窩夾芯層的中面為x-y平面建立坐標(biāo)系，z軸垂直于x-y平面。夾層板x和y在方向的長度分別為l1和l2。板厚為h，蜂窩夾層芯厚度為hc，k=1，2和3分別表示上表層(上蒙皮)，蜂窩夾芯層和下表層(下蒙皮)。

圖1 BSH結(jié)構(gòu)的細(xì)胞和周期性排列Fig.1 Cellular and periodic arrangement of BSH structures

圖2 BSH結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Structure diagram of BSH

基于Reddy高階剪切變形理論，正交各向異性板或正交各向異性層合板，位移場可表示為[11]:

(1)

式中：u、v和w是中平面上的點(diǎn)位移；φx和φy是繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角度；u1、v1和w1分別表示夾層板中任一點(diǎn)沿x、y和z方向上的位移。由Von-Karman大變形理論，與上述位移場相關(guān)的非零應(yīng)變可表示為：

(2)

因BSH夾層板等效為3層層合各向異性板，其本構(gòu)方程為:

(3)

式中:

(4)

根據(jù)式(1)代入式(2)，得BSH夾層板應(yīng)變-位移關(guān)系為：

(5)

式中:

內(nèi)力和彎矩可以分別表示為：

(6)

內(nèi)力-應(yīng)變之間的關(guān)系式為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中正交對稱的BSH層合板的各剛度矩陣為:

根據(jù)計算有：A16=A26=0，D16=D26=0，F(xiàn)16=F26=0，H16=H26=0，Bij=0，Eij=0。

利用Hamilton原理:

(12)

系統(tǒng)廣義位移運(yùn)動方程為:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

2 計算BSH夾層矩形板固有頻率

考慮四邊簡支邊界條件下BSH夾層板的自由振動：

(18)

利用Navier法求解系統(tǒng)的固有頻率，將位移分量表示為雙三角級數(shù)形式:

(19)

式中：λ=mπ/l1；β=nπ/l2；Umn(t)；Vmn(t)、Wmn(t)、φXmn(t)和φYmn(t)為一組關(guān)于時間t的函數(shù)。

設(shè)其解形式為：

(20)

式中ω為系統(tǒng)的固有頻率，將式(19)和式(20)代入式(13)～(17)中，得到關(guān)于ω的代數(shù)方程為:

K-ω2M=0

(21)

式中M和K分別為相對應(yīng)的系數(shù)矩陣。

表1 2種負(fù)泊松比蜂窩夾層板的固有頻率

為了研究BSH夾層板固有頻率ω和芯厚與板厚之比hc/h(芯層厚度系數(shù))之間的變化關(guān)系，取板厚h=0.01，0.05，0.1和0.15 m。對4種不同厚度的夾層板進(jìn)行研究，圖3所示為BSH夾層板的固有頻率隨芯層厚度系數(shù)的變化曲線。

圖3 BSH夾層板ω-hc/h變化曲線Fig.3 Variation curves ofω-hc/h of BSH sandwich panel

從圖3可知，當(dāng)hc/h<0.6時，系統(tǒng)固有頻率ω隨hc/h的增加而增大；而當(dāng)hc/h>0.6時，系統(tǒng)固有頻率ω隨hc/h的增加而減小。不同板厚時，固有頻率ω隨夾層板總厚度h的增加而增大。對板厚h=0.1 m和h=0.15 m，m和n的改變對系統(tǒng)固有頻率ω影響較大，而對板厚h=0.01 m和h=0.05 m的情況，m和n的改變對系統(tǒng)固有頻率ω影響相對較小。進(jìn)一步地，隨著m和n的改變，曲線的波動區(qū)間基本不變，這種波動變化隨夾層板厚度的增加而更加劇烈?，F(xiàn)代工程上常見的鋁蜂窩夾層板其芯層厚度系數(shù)通常在區(qū)間[0.7,0.9]內(nèi)。對于負(fù)泊松比蜂窩夾層板的不同應(yīng)用，在進(jìn)行蜂窩夾層板的結(jié)構(gòu)設(shè)計及應(yīng)用時要充分考慮到圖3所示的ω-hc/h的變化關(guān)系。

研究BSH夾層板的蜂窩芯層胞元結(jié)構(gòu)角度參數(shù)β對固有頻率ω的影響，角度β的取值范圍應(yīng)小于角度α的取值范圍。如圖4所示為固有頻率ω與β的變化關(guān)系曲線。分別取板厚為h=0.01 m，0.1 m，0.2 m，0.3 m，選取一階模態(tài)進(jìn)行分析，即m=1，n=1。

總體上講，BSH夾層板系統(tǒng)的固有頻率ω隨著芯層厚度系數(shù)hc/h的增加有所減小；隨著角度β的增加，夾層板系統(tǒng)的固有頻率ω增大，且不同芯層厚度系數(shù)hc/h的夾層板，固有頻率差逐漸減小，這種情況對于低芯層厚度系數(shù)(hc/h=0.6，0.7)更為明顯，由此可見，角度β的增加降低芯層厚度系數(shù)hc/h對BSH夾層板固有頻率ω的影響；隨著板總厚度h的增加，系統(tǒng)的固有頻率ω也明顯增大，且隨芯層厚度系數(shù)hc/h的增加其變化趨勢更加明顯。對于板厚h=0.01 m的夾層板，芯層厚度系數(shù)hc/h增大，夾層板結(jié)構(gòu)的固有頻率ω的波動幅度逐漸增大。

為了研究蜂窩芯層結(jié)構(gòu)胞元的長度參數(shù)L3與夾層板的固有頻率ω之間的變化關(guān)系，考慮蝴蝶形內(nèi)凹結(jié)構(gòu)不出現(xiàn)胞壁交叉重疊的情況，L3的長度在區(qū)間[0.001 5,0.004 5]取均勻數(shù)值。夾層板的總厚度分別取h=0.01，0.1，0.2，0.3 m。如圖5所示為固有頻率ω與長度L3的變化關(guān)系曲線，取一階模態(tài)進(jìn)行分析。

對于板厚為h=0.1，0.2和0.3 m，BSH夾層結(jié)構(gòu)的固有頻率ω隨L3的增加呈現(xiàn)拋物線形，先增加后下降，且這種走勢隨著芯層厚度系數(shù)hc/h減小而趨于平緩。對于板厚h=0.01 m時，夾層板的固有頻率ω隨長度L3的增加有略微的增加，且波動幅度隨著芯層厚度系數(shù)hc/h的增加而劇烈。

圖4 BSH夾層板ω-β變化曲線Fig.4 Variation curves ofω-β of BSH sandwich panel

圖5 BSH夾層板ω-L3變化曲線Fig.5 Variation curves ofω-L3 of BSH sandwich panel

3 結(jié)論

2)當(dāng)夾層板的總厚度h不變時，芯層厚度系數(shù)hc/h的增加，固有頻率ω先增加后減小。當(dāng)芯層厚度系數(shù)hc/h不變時，總厚度h的增加，BSH夾層板固有頻率ω增大。隨著m和n的改變，BSH夾層板ω-hc/h曲線的波動隨著夾層板厚度的增加而變得更加劇烈。

3)角度β較大時，芯層厚度系數(shù)hc/h對蝴蝶形蜂窩夾層板固有頻率ω的影響較小，角度β不變時，芯層厚度系數(shù)hc/h增加導(dǎo)致BSH蜂窩夾層結(jié)構(gòu)固有頻率降低。

4)BSH夾層結(jié)構(gòu)的固有頻率ω隨L3的增加呈現(xiàn)拋物線形，當(dāng)長度L3不變時，芯層厚度系數(shù)hc/h增大導(dǎo)致BSH夾層結(jié)構(gòu)的固有頻率降低。

通過深入研究各參數(shù)對BSH夾層板固有頻率ω的影響，結(jié)果對負(fù)泊松比蜂窩夾層板的設(shè)計和應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。