新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的低頻跳躍穩(wěn)定性分析

王勝杰， 韓翻珍， 郭翔鷹

(1.北京工業(yè)大學(xué) 材料與制造學(xué)部， 北京 100124； 2.國(guó)家知識(shí)產(chǎn)權(quán)局專利局， 北京 100088)

雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)具有2個(gè)穩(wěn)定的平衡態(tài)，當(dāng)外界輸入載荷達(dá)到其跳躍突變所需的臨界值時(shí)，將從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)跳躍突變到另一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)能量的轉(zhuǎn)移及消耗。雙穩(wěn)態(tài)可通過(guò)磁鐵、彈簧、屈曲梁等結(jié)構(gòu)產(chǎn)生，由于屈曲梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量輕、體積小、適應(yīng)性強(qiáng)，以及雙穩(wěn)態(tài)跳躍位移大等特性，受到學(xué)者們的廣泛青睞，用在能量吸收和耗散的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中[1-2]，尤其在能量采集[3-4]、隔振[5-6]等機(jī)械裝置[7-9]方面有了大量的研究報(bào)道。Vangbo[10]建立了一個(gè)理論模型來(lái)跟蹤雙夾緊預(yù)壓屈曲梁在中心力作用下的快速跳變路徑。趙和賈等[11-12]基于廣義變分原理，借助半純函數(shù)公式解析地給出了預(yù)壓屈曲梁雙穩(wěn)態(tài)跳躍過(guò)程中橫向力與位移間的非線性關(guān)系式。Camescasse等[13-14]對(duì)雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的跳變機(jī)制進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，分析了梁受到中心載荷和偏心載荷作用下的力與位移的關(guān)系，研究了力的施加點(diǎn)對(duì)靜態(tài)分叉的影響，并得到了分叉驅(qū)動(dòng)力的最小值。Su等[15]研究了力矩輸入驅(qū)動(dòng)的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁，建立了理論模型預(yù)測(cè)必要的輸入力矩，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。肖和黃[16]對(duì)帶有初始小撓度的兩端固支屈曲梁進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)在初始小撓度屈曲下，梁的反對(duì)稱模態(tài)并未被激發(fā); 而隨著外激勵(lì)力的變化，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生倍周期分岔和鞍結(jié)分岔，導(dǎo)致解的突變。Jin等[17]理論分析了石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料板后屈曲夾層梁的非線性彎曲和強(qiáng)迫振動(dòng)，得到了不同軸向壓縮條件下彎曲缺陷靈敏度和主共振特性。此外，還有一些學(xué)者通過(guò)設(shè)計(jì)不同的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)形式的快速跳變[18-19]，用于振動(dòng)能量的俘獲和采集[20-21]。

目前雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)大部分用于俘能裝置的設(shè)計(jì)中，將雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)應(yīng)用于吸振裝置方面報(bào)道比較少。本文主要探索新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)跳變的最小勢(shì)能阱，分析隨著中間鉸支約束位置變化時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁發(fā)生跳變的最小力矩變化趨勢(shì)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)在低頻外部激勵(lì)下的跳變，并分析能產(chǎn)生良好跳變的頻率范圍。

1 新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁理論模型

基于Euler-Bernoulli梁模型，考慮小撓度假設(shè)，建立如圖1所示雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁模型?？紤]彈性簡(jiǎn)支邊界條件，并在梁中間施加鉸支約束，無(wú)外力作用時(shí)如圖1(a)所示，梁原始長(zhǎng)度為L(zhǎng)0。沿x軸兩端施加相同的軸向壓力P，當(dāng)壓力大于其臨界屈曲載荷時(shí)梁會(huì)發(fā)生屈曲，被壓縮為L(zhǎng)，被壓縮長(zhǎng)度為d0，軸向壓縮比為η=d0/L0。在移動(dòng)鉸支處施加驅(qū)動(dòng)力矩，誘導(dǎo)屈曲梁產(chǎn)生跳變。屈曲梁的2個(gè)穩(wěn)定平衡狀態(tài)如圖1(b)Ⅰ位置和Ⅱ位置所示。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的理論示意Fig.1 Schematic diagram of pre-compressed bistable buckling beam theory

根據(jù)Euler-Bernoulli梁模型，梁的抗彎剛度為EI，抗拉模量為EA，在軸向壓力P作用下梁的控制方程為:

w(4)+n2w″=0

(1)

式中：w為梁的橫向位移；n2=P/EI；E為楊氏模量；I為梁的慣性矩。

當(dāng)x=xM時(shí)，簡(jiǎn)支梁的邊界條件為：

(2)

將邊界條件代入梁的控制方程(1)可得梁的振型函數(shù)為：

(3)

考慮驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)屈曲梁跳變的影響，屈曲梁在2個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)間跳變表示為梁的不同階屈曲模態(tài)的疊加：

(4)

首先，通過(guò)能量法來(lái)求解雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁在2個(gè)穩(wěn)態(tài)之間的跳躍突變行為，在軸向壓力和外加力矩作用下，系統(tǒng)的總勢(shì)量為：

U=Ub+Up+UM

(5)

式中Ub表示彎曲勢(shì)能：

(6)

(7)

壓縮勢(shì)能由胡克定律給出，表示為：

(8)

驅(qū)動(dòng)力矩所做的功表示為：

UM=-Mw′(xM)

(9)

當(dāng)無(wú)中間鉸支約束時(shí)，屈曲梁主要產(chǎn)生一階屈曲，產(chǎn)生高階屈曲比較困難且不穩(wěn)定。本設(shè)計(jì)通過(guò)中間鉸支約束，使簡(jiǎn)支屈曲梁能在一階頻率附近產(chǎn)生穩(wěn)定的二階屈曲雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)型，而其他階屈曲模態(tài)對(duì)其跳變行為影響較小。此時(shí)，只需要取其一階屈曲模態(tài)函數(shù)就足以表明梁的穩(wěn)態(tài)跳變行為，其屈曲形狀函數(shù)為：

(10)

將式(10)代入勢(shì)能方程(5)，即可求得系統(tǒng)的總勢(shì)能。由于梁的平衡狀態(tài)發(fā)生在勢(shì)能最小的位置，因此必須求出最小勢(shì)能的解a1，即求解

?U/?a1=0

(11)

這樣求出a1的同時(shí)，得到相應(yīng)屈曲函數(shù)w1(x)。然后將求解出來(lái)的a1代回方程(10)再結(jié)合梁長(zhǎng)的約束方程，即可求得使雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁跳躍突變的最小驅(qū)動(dòng)力和移動(dòng)鉸支位置之間的關(guān)系式：

(12)

考慮移動(dòng)鉸支位置變化時(shí)，簡(jiǎn)支梁發(fā)生二階屈曲的最小力矩變化情況，取正交鋪設(shè)的碳纖維梁為研究對(duì)象，其中材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1。

表1 梁的材料和尺寸參數(shù)Table1 Material and dimensional parameters of the beam

本文研究了驅(qū)動(dòng)位置在0～L/2內(nèi)，驅(qū)動(dòng)力矩隨驅(qū)動(dòng)位置的變化情況，將表1材料參數(shù)代入方程(11)即可求出不同位置處梁發(fā)生跳變的最小驅(qū)動(dòng)力矩，得到最小驅(qū)動(dòng)力矩和驅(qū)動(dòng)位置的之間的關(guān)系，如圖2所示。

圖2 最小驅(qū)動(dòng)力矩與力矩作用位置的關(guān)系Fig.2 Critical actuation moment versus position of applied moment

圖2中顯示了在相同壓縮條件下最小驅(qū)動(dòng)力矩與驅(qū)動(dòng)位置的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)位置接近梁的末端時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩將會(huì)變得無(wú)窮大，當(dāng)驅(qū)動(dòng)位置接近梁的中點(diǎn)時(shí)，僅需要一個(gè)很小的驅(qū)動(dòng)力矩就可以使屈曲梁發(fā)生跳變，此時(shí)的驅(qū)動(dòng)力矩為0.26 N·m。

2 屈曲梁有限元仿真分析

通過(guò)有限元分析驗(yàn)證理論分析結(jié)果，建立圖1所示的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁模型，其材料參數(shù)同表1相同。以xM=L/2位置為例，對(duì)施加鉸支約束的彈性梁進(jìn)行屈曲分析，首先對(duì)梁進(jìn)行線性屈曲分析，得到彈性梁屈曲的臨界屈曲載荷大小，求得臨界屈曲載荷后，對(duì)梁施加預(yù)壓軸向力(大于臨界屈曲載荷)或者軸向位移，并在梁中點(diǎn)鉸支處施加一個(gè)極小的初始轉(zhuǎn)角，使彈性直梁發(fā)生屈曲，彈性梁后屈曲狀態(tài)如圖3所示。

圖3 彈性梁后屈曲Fig.3 Post-buckling beam

接著對(duì)此屈曲梁進(jìn)行模態(tài)分析，得到簡(jiǎn)支梁前三階固有頻率分別為11.429、127.07、390.42 Hz，得到前三階模態(tài)振型如圖4所示，發(fā)現(xiàn)在一階固有頻率附近能產(chǎn)生穩(wěn)定的二階屈曲雙穩(wěn)態(tài)構(gòu)型，所以雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁可以在較低頻率范圍內(nèi)進(jìn)行跳躍突變。

最后，基于上述模型，當(dāng)鉸支約束位置不同時(shí)，在鉸支約束處施加較小的驅(qū)動(dòng)力矩，模擬預(yù)壓雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的跳轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，使其從初始位置跳躍到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)位置，跳躍突變過(guò)程示意圖如圖5所示，發(fā)現(xiàn)在外部驅(qū)動(dòng)力矩作用下，雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁可以產(chǎn)生跳躍突變。此時(shí)施加的驅(qū)動(dòng)力矩大小分別為0.309、0.291、0.274 N·m。

通過(guò)仿真可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)移動(dòng)鉸支座移動(dòng)到梁的中點(diǎn)時(shí)，所需要的驅(qū)動(dòng)力矩最小，與理論計(jì)算結(jié)果基本一致。

3 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁跳躍突變實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證外力矩對(duì)新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定跳變的影響，設(shè)計(jì)如圖6所示的實(shí)驗(yàn)裝置，基于理論和仿真分析，以xM=L/2為例，建立如圖5所示實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其中由質(zhì)量塊和扭轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)提供屈曲梁跳躍突變的驅(qū)動(dòng)力矩。

圖4 前三階模態(tài)振型Fig.4 The first three mode shapes

隨著外部激勵(lì)幅值的增加，當(dāng)扭轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)吸收的能量大于雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的勢(shì)能壁壘時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁發(fā)生跳躍突變，屈曲梁從第一/第二穩(wěn)定構(gòu)型轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙?第一穩(wěn)定構(gòu)型。由于能量的突然釋放，在2個(gè)穩(wěn)態(tài)之間進(jìn)行跳變時(shí)會(huì)引起屈曲梁的高頻振動(dòng)，從而將外部輸入能量轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)之間進(jìn)行跳躍突變的能量。

為了進(jìn)一步評(píng)估所提出的解析模型和有限元分析的可靠性，本文搭建了一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置來(lái)驗(yàn)證屈曲梁的跳躍突變特性。如圖7所示，將所建立的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头胖迷谛吞?hào)JZK-5T的激振器上，信號(hào)輸入系統(tǒng)由YE1311信號(hào)發(fā)生器和YE5874功率放大器組成，信號(hào)采集系統(tǒng)由計(jì)算機(jī)、信號(hào)采及分析儀和加速度傳感器構(gòu)成。

首先對(duì)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了掃頻分析，發(fā)現(xiàn)在8～13、31和88 Hz附近有一個(gè)共振峰，說(shuō)明在此頻段附近結(jié)構(gòu)與外激勵(lì)頻率發(fā)生了共振。為了觀察屈曲梁在不同頻率激勵(lì)作用下的跳躍突變行為，通過(guò)激振器給所建實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪┘硬煌l率的外部激勵(lì)，觀察屈曲梁在不同頻率激勵(lì)作用下的跳躍突變行為，并用加速度傳感器來(lái)記錄雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁最高點(diǎn)在跳躍突變過(guò)程中的加速度變化，通過(guò)積分變換，得到屈曲梁最高點(diǎn)的位移變化歷程。

圖5 不同作用位置驅(qū)動(dòng)力矩作用下的跳躍突變過(guò)程Fig.5 Snap through process under the concentrated moment

分別對(duì)頻率范圍為8～15 Hz，激勵(lì)力幅值為2 vpp外部干擾下，雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁最高點(diǎn)的加速度進(jìn)行了采集分析，通過(guò)積分變換得到時(shí)間位移曲線如圖8所示。

由上述時(shí)間位移圖可以看出，新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)在低于8 Hz和超過(guò)15 Hz外部激勵(lì)下，并不會(huì)發(fā)生跳躍突變行為，只是做簡(jiǎn)單的微幅振動(dòng)，而在9～14 Hz屈曲梁在扭轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的帶動(dòng)下開始發(fā)生跳變，但在9～12 Hz時(shí)雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁在反向跳變時(shí)會(huì)出現(xiàn)微弱的遲滯現(xiàn)象，是因?yàn)橹亓ψ饔糜绊懴拢まD(zhuǎn)機(jī)構(gòu)在回到初始位置時(shí)，會(huì)有一部分能量耗散。因此可以在此頻率區(qū)間內(nèi)進(jìn)行雙穩(wěn)態(tài)吸振結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。在13～14 Hz時(shí)外激勵(lì)頻率與雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了共振，雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁進(jìn)行穩(wěn)定的跳躍突變，在此頻率區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行俘能結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。

圖6 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)Fig.6 Bistable buckling beam structure

注：1.YE5874功率放大器，2.YE1311信號(hào)發(fā)生器，3.信號(hào)采及分析儀，4.計(jì)算機(jī)，5.加速度傳感器，6.雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁跳轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)，7.JZK-5T激振器圖7 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Fig.7 Experimental equipment

目前僅對(duì)xM=L/2位置下受驅(qū)動(dòng)力矩的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，對(duì)于隨著驅(qū)動(dòng)力矩位置的改變，雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁是否能夠在更寬的低頻范圍內(nèi)進(jìn)行跳躍突變，仍需要進(jìn)一步研究。

圖8 不同頻率下雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁最高點(diǎn)的時(shí)間位移曲線Fig.8 Time-displacement curves of the highest point of a bistable buckling beam at different frequencies

4 結(jié)論

1)理論分析了新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的跳躍突變特性，并通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了可行性，為新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)；

2)實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)新型雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)在低頻外部激勵(lì)下發(fā)生了快速跳轉(zhuǎn)，為低頻減振和俘能結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了新的思路。