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    一種預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)振動帶隙特性分析

    2022-10-09 09:02:58郭振坤溫佳琦張軍董挺
    關(guān)鍵詞:單胞架結(jié)構(gòu)端點(diǎn)

    郭振坤, 溫佳琦, 張軍, 董挺

    (1.北京建筑大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院, 北京 102616; 2.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院, 北京 100081)

    工程減振問題在現(xiàn)代工程研究中十分常見[1],為滿足工業(yè)和運(yùn)輸業(yè)高速發(fā)展的需求,各種機(jī)械裝置、精密儀器受到振動的影響愈加突出[2],同時(shí)為加快國防現(xiàn)代化的腳步,要求飛機(jī)、坦克、艦船等能夠在最為惡劣的環(huán)境中工作[3],其工作性能都與減振技術(shù)密切相關(guān)。因此,關(guān)于如何減振的研究一直在持續(xù),最行之有效的方法是究其原因?qū)ΠY下藥,學(xué)者們做出了很多有價(jià)值的研究[4-5]。

    周期結(jié)構(gòu)因?yàn)槠洫?dú)特的減振優(yōu)勢,在許多工程領(lǐng)域越來越受到關(guān)注,例如聲子晶體和光子晶體。Kushwaha等[6]利用平面波展開法研究了聲子晶體帶隙,即可以在某些頻率范圍內(nèi),阻止彈性波或聲波的傳播。這些阻止波傳播的頻率范圍稱為頻率禁帶,而那些允許波傳播的頻率范圍稱為頻率通帶;當(dāng)振動或波的頻率處于周期結(jié)構(gòu)的頻率帶隙內(nèi)時(shí),將無法被傳遞。這樣的禁帶特性吸引了國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行研究,溫激鴻等[7]利用周期彈簧振子結(jié)構(gòu)簡化了聲子晶體,研究了聲子晶體的振動特性,此后眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上研究了多種結(jié)構(gòu)的振動帶隙并將其應(yīng)用于振動抑制和減振降噪等工程領(lǐng)域。

    對于周期性聲子晶體結(jié)構(gòu),通??梢酝ㄟ^改變部件的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、剛度、密度或在某些局部增加共振器來優(yōu)化振動和彈性波的傳播特性。Yu等[8]利用傳遞矩陣法(TMM)研究了局域共振超材料梁的彎曲波衰減特性,其中局域振子是由軟橡膠環(huán)和銅環(huán)設(shè)計(jì)而成。在此基礎(chǔ)上,為提高工程適用能力和減振效果,針對如何根據(jù)實(shí)際工程環(huán)境靈活調(diào)整帶隙位置和寬度,學(xué)者們完成了大量的設(shè)計(jì)和研究工作[9-11]。

    周期剛架結(jié)構(gòu)作為在工程建筑、機(jī)械中常見的結(jié)構(gòu)也受到了廣泛的關(guān)注。吳志靜等[12]采用譜元法研究了周期桁架結(jié)構(gòu)的振動帶隙特性,這種方法具有在中高頻區(qū)域計(jì)算誤差小、劃分單元少且計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)?;谠摲椒?,Zuo等[13]通過進(jìn)一步改變結(jié)構(gòu)構(gòu)型和幾何參數(shù)等對周期剛架結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化,并討論了影響帶隙特性的因素。一些學(xué)者還提出了較為新穎的超材料結(jié)構(gòu)。蔡昌琦等[14]利用準(zhǔn)零剛度理論設(shè)計(jì)出一種具有低頻帶隙區(qū)間嵌入式準(zhǔn)零剛度振子的新型超材料梁。Muhammad等[15]提出了一種具有超寬帶隙的周期性和非周期性3D復(fù)合超結(jié)構(gòu),采用聚合物外殼的設(shè)計(jì)和球形/圓柱形鋼塊的嵌入,提高共振的動態(tài)特性和機(jī)械性能,使其擁有非常明顯的低頻帶隙。進(jìn)一步,一些研究者發(fā)現(xiàn)還可以通過結(jié)構(gòu)元件的特定預(yù)變形來控制周期結(jié)構(gòu)的振動和波傳播特性。Mellmann等[16]提出一種預(yù)變形網(wǎng)格結(jié)構(gòu),計(jì)算了波在這種網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中的傳播特性,發(fā)現(xiàn)可以通過結(jié)構(gòu)預(yù)變形靈活地調(diào)控波帶隙的位置和寬度。受此啟發(fā),本文設(shè)計(jì)了一種預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu),通過內(nèi)部構(gòu)件的預(yù)變形實(shí)現(xiàn)剛度的調(diào)節(jié),進(jìn)而控制波帶隙特性。此外,利用有限元方法進(jìn)行了模態(tài)分析和振動透射率的計(jì)算,驗(yàn)證譜元法的正確性。

    1 動力學(xué)模型

    圖1(a)所示為左端固支的預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)包含20個(gè)單胞,每個(gè)單胞由11根梁/桿結(jié)構(gòu)組成,由圖1(b)看出,該單胞結(jié)構(gòu)是通過將X型結(jié)構(gòu)進(jìn)行折斷所形成,變形角用α表示。

    圖1 預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of the pre-deformed periodic rigid frame structure

    1.1 桿單元求解

    軸向振動桿件的偏微分運(yùn)動方程表示為:

    (1)

    式中:u(x,t)為軸向位移;E和ρ分別是材料彈性模量和密度;A是桿件橫截面積。式(1)的解可以假設(shè)成:

    (2)

    式中:Un(x,ωn)為微元的軸向位移;ωn為桿的圓頻率。

    將式(2)代入(1)中可以得到對于每個(gè)離散的頻率ωn的特征值問題:

    EAU″+ω2ρAU=0

    (3)

    假設(shè)其通解為:

    U(x)=be-ik(ω)x

    (4)

    將式(4)代入式(3)中得到色散關(guān)系:

    (5)

    即可得到2個(gè)實(shí)根k1和k2:

    k1=-k2=kL

    (6)

    將式(6)代回式(4)可得:

    U(x)=b1e-ikLx+b2eikLx

    (7)

    則對于長度為L的桿可以用矩陣形式來表示:

    U(x)=e(x,ω)b

    (8)

    用U1和U2表示桿件兩端的節(jié)點(diǎn)位移,則有U1=U(0)和U2=U(L),可以記為:

    (9)

    (10)

    令dR=HR(ω)b,則有:

    (11)

    用N1和N2表示桿件兩端節(jié)點(diǎn)力,桿的節(jié)點(diǎn)力函數(shù)為N(x)。

    整理可得:

    (12)

    式中:NR1(x,ω)=csc(kLL)sin(kL(L-x));NR2(x,ω)=csc(kLL)sin(kLx)。

    (13)

    軸向力分量與U(x)有關(guān),即:

    N(x)=EAU′(x)

    (14)

    將節(jié)點(diǎn)位移代入式(4),可得:

    U(x)=NR1U1+NR2U2

    (15)

    類似地,軸向力也可以寫成譜表達(dá)式,表示為:

    (16)

    節(jié)點(diǎn)軸向力和由材料強(qiáng)度定義的內(nèi)部力之間的平衡條件有:

    (17)

    則有:

    SR(ω)dR=fc(ω)

    (18)

    根據(jù)軸向力與位移的關(guān)系,可以得到頻域上位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系:

    (19)

    式中SR(ω)為桿單元的剛度矩陣,可以表示為:

    (20)

    (21)

    整理可得:

    (22)

    1.2 梁單元求解

    類似地,可以推導(dǎo)出梁單元位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系。Timoshenko梁的橫向振動需要考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形,用譜表達(dá)式對橫向位移w(x,t)和轉(zhuǎn)角θ(x,t)分別進(jìn)行表示:

    (23)

    (24)

    梁的橫向振動偏微分方程為:

    (25)

    (26)

    式中:κ的取值與截面形狀有關(guān);G是剪切模量;A是橫截面積;I是截面慣性矩。

    將式(23)和(24)代入偏微分方程(25)、(26)中得:

    (27)

    (28)

    式(27)、(28)的通解分別假設(shè)為:W(x)=ae-ik(ω)x和Θ(x)=βeik(ω)x,可得:

    (29)

    則有:

    (30)

    求解方程(30)可以得到4個(gè)根:

    k1=-k2=

    (31)

    k2=-k4=

    (32)

    代入式(29)中可得:

    (33)

    (34)

    由此,式(27)和(28)的通解可得:

    W(x,ω)=a1e-iktx+a2eiktx+a3e-ikex+a4eikex=

    ew(x,ω)a

    (35)

    Θ(x,ω)=β1a1e-iktx+β2a2eiktx+β3a3e-ikex+

    β4a4eikex=eθ(x,ω)a

    (36)

    其中:

    (37)

    (38)

    eθ(x,ω)=ew(x,ω)B(ω)

    (39)

    梁的兩端節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角可以表示為:

    (40)

    將式(35)和(36)代入式(40)可得:

    (41)

    式中:

    (42)

    (43)

    將式(41)代入到式(35)和(36)中可得:

    (44)

    (45)

    梁的節(jié)點(diǎn)力為:

    (46)

    將節(jié)點(diǎn)力表示為譜表達(dá)形式:

    (47)

    (48)

    es(x,ω)=[-ktrte-iktx-ktrteiktx-keree-ikex-kereeikex]。

    則有端點(diǎn)位移與力的關(guān)系為:

    (49)

    即:

    SB(ω)dB=f

    (50)

    式中SB(ω)為Timoshenko梁的單元剛度矩陣:

    (51)

    其中:

    最終推導(dǎo)出總的力與位移的關(guān)系為:

    FB=SB(ω)UB

    (52)

    式中:FB和UB為節(jié)點(diǎn)力矩陣和節(jié)點(diǎn)位移矩陣;SB(ω)為剛度矩陣。

    1.3 整體結(jié)構(gòu)組裝

    利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,將上述梁、桿結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移從局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系,并采用有限元組裝和矩陣組合的方法,可得到每一個(gè)子結(jié)構(gòu)在整體坐標(biāo)系下的動力學(xué)剛度矩陣:

    (53)

    (54)

    式中n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。進(jìn)而可以得到圖1(a)所示周期剛架結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系:

    F=S(ω)U

    (55)

    式中:S(ω)為3(7m+2)×3(7m+2)的動力學(xué)剛度矩陣;m是單胞周期數(shù)。對式(55)進(jìn)行求解,即可完成結(jié)構(gòu)動力學(xué)計(jì)算。

    2 數(shù)值模擬

    為分析預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)振動帶隙特性,取20個(gè)單胞組成整體結(jié)構(gòu),一端施加固定約束,每個(gè)單胞均由實(shí)心圓截面桿組成,其中橫桿和豎桿長度分別用l1和l2來表示,且l1=l2=1 m,圓截面半徑r=0.04 m,變形角α=π/12。材料參數(shù)為:ρ=7 800 kg/m3,E=210 GPa。通過求解式(10)特征值問題,可以得到結(jié)構(gòu)的固有頻率。

    為驗(yàn)證SEM建模和編程求解的正確性,采用有限元商業(yè)軟件ANSYS進(jìn)行仿真計(jì)算。此外,還計(jì)算了無預(yù)變形的X型周期剛架結(jié)構(gòu)(如圖1(b)虛線所示,即α=0)固有頻率。為保證合理性,基于質(zhì)量守恒定律,在確定2種結(jié)構(gòu)單胞跨度相等的前提下,調(diào)整X型結(jié)構(gòu)桿件的圓截面半徑,令其等于0.040 7 m。

    表1 2種不同剛架結(jié)構(gòu)固有頻率

    圖2 預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)前四階振型Fig.2 The first fourth vibration modes of the pre-deformed periodic rigid frame structure

    圖4表示的是周期剛架結(jié)構(gòu)的頻域分析,在固定端施加豎直向下、大小為1 N的簡諧力,通過求解式(55),取自由端點(diǎn)響應(yīng)與固定端位置響應(yīng)的比值,可以得到振動透射率??梢园l(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)的頻響曲線具有多處低谷,即振動帶隙,F(xiàn)EM結(jié)果較好地驗(yàn)證了SEM計(jì)算得到的振動帶隙結(jié)果的正確性。

    圖3 2種不同單胞結(jié)構(gòu)Fig.3 Two different unit cells

    圖4 2種不同周期剛架結(jié)構(gòu)的頻響透射率曲線Fig.4 Frequency response transmittance of two different rigid frame structures

    此外,通過比較可知,預(yù)變形剛架結(jié)構(gòu)第1個(gè)振動帶隙位置比X型剛架結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在更低頻的位置,前者的頻率范圍大致是210~258 Hz,而后者的頻率范圍是270~338 Hz。并且預(yù)變形剛架結(jié)構(gòu)在1 576~1 753 Hz頻率范圍內(nèi)有一個(gè)更寬的振動帶隙。因此,可以得出結(jié)論,預(yù)變形周期結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)更加低頻的振動帶隙。

    圖4中通過透射率,即自由端點(diǎn)位置響應(yīng)與固定端位置響應(yīng)的比值來判斷結(jié)構(gòu)的振動帶隙范圍,當(dāng)自由端點(diǎn)的位置響應(yīng)較小時(shí),頻響曲線出現(xiàn)低谷,且響應(yīng)越小對應(yīng)的透射率也就越小,這就會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)恰好不處于帶隙區(qū)間范圍內(nèi)而選擇的自由端點(diǎn)因受迫振動產(chǎn)生的響應(yīng)很小的情況,這種情況可以通過觀察帶隙區(qū)間外和區(qū)間內(nèi)對應(yīng)的模態(tài)進(jìn)行比較來辨別。比如從圖4中發(fā)現(xiàn)預(yù)變形結(jié)構(gòu)的第1個(gè)振動帶隙區(qū)間為210~258 Hz,所以選取了120 Hz和222 Hz 2個(gè)頻率,如圖5(a)、(b)分別為對應(yīng)頻率的模態(tài),可以看出120 Hz頻率下自由端點(diǎn)的位置響應(yīng)較大,且這種模態(tài)不屬于帶隙區(qū)間內(nèi),因?yàn)闆]有抑制振動波在結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播;相對而言222 Hz頻率下自由端點(diǎn)的位置響應(yīng)很小,幾乎沒有,對應(yīng)的模態(tài)表明振動受到了抑制,后面幾個(gè)周期的單胞幾乎沒有受到影響,符合了結(jié)構(gòu)的帶隙特性,可以進(jìn)一步證明帶隙的存在以及結(jié)果正確性。

    圖5 預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)Fig.5 Vibration modes of the pre-deformed rigid frame structures

    3 結(jié)論

    1)分析確定了結(jié)構(gòu)的振動帶隙,預(yù)變形結(jié)構(gòu)的剛度比X型結(jié)構(gòu)的剛度更低,證明了預(yù)變形結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)更低頻的振動帶隙的同時(shí),在高頻區(qū)域產(chǎn)生更寬頻的帶隙;

    2)在仿真計(jì)算中取自由端點(diǎn)響應(yīng)與固定端位置響應(yīng)的比值,得到振動透射率,通過FEM驗(yàn)證了上述理論結(jié)果,并定性分析了預(yù)變形結(jié)構(gòu)固有頻率更低的原因;

    3)通過自由端點(diǎn)位置響應(yīng)與固定端位置響應(yīng)的比值來判斷結(jié)構(gòu)的振動帶隙范圍,會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)恰好不處于帶隙區(qū)間范圍內(nèi)而選擇的自由端點(diǎn)因受迫振動產(chǎn)生的響應(yīng)很小的情況,這種情況可以通過觀察模態(tài)進(jìn)行辨別,禁帶范圍內(nèi)振動波在經(jīng)過幾個(gè)周期內(nèi)就會得到充分抑制,可以進(jìn)一步證明帶隙的存在以及結(jié)果正確性;

    4)在此基礎(chǔ)上,可以在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中考慮調(diào)節(jié)變形角α的大小,來改變結(jié)構(gòu)的剛度,以獲得更符合條件的振動帶隙特性,但要兼顧結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的問題。

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