非線(xiàn)性能量匯胞元減振效率分析1)

李 猛 李孫飚 丁 虎

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200444)

引言

很多情況下,振動(dòng)都是不利因素[1].比如,建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和交通工具運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)會(huì)帶來(lái)不可忽視的安全問(wèn)題[2-3].為了減少有害振動(dòng),人們已經(jīng)設(shè)計(jì)了許多減振裝置[4-5].非線(xiàn)性能量匯(nonlinear energy sink,NES)作為一種非線(xiàn)性的被動(dòng)減振器,因其減振頻帶寬、減振效果好、不需要額外消耗能量等諸多優(yōu)點(diǎn),受到了持續(xù)而廣泛的關(guān)注[6-7].對(duì)NES 的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和力學(xué)特性已經(jīng)有了很多廣泛而深入的研究,但是其工程應(yīng)用的研究卻十分有限.因此,探究使得NES 能夠便捷、可靠和高效地應(yīng)用到工程實(shí)際中的方式十分重要.

近20 年來(lái),眾多研究表明,NES 中存在的非線(xiàn)性剛度可以使得主系統(tǒng)產(chǎn)生豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[8-9],包括混沌、分岔和調(diào)制響應(yīng)等[10-13].特別是,NES 可以使得系統(tǒng)產(chǎn)生高效的能量靶向傳遞現(xiàn)象,使得主系統(tǒng)的能量以不可逆轉(zhuǎn)的方式傳遞至NES 中,最終轉(zhuǎn)化為NES 的機(jī)械能和阻尼耗散能[14-18].作為非線(xiàn)性減振器,NES 可以在寬頻范圍內(nèi)穩(wěn)定吸收主系統(tǒng)的能量,以此達(dá)到良好的減振效果[6].為了進(jìn)一步的研究和應(yīng)用,人們也對(duì)NES 的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了眾多的設(shè)計(jì),包括軌道型NES[19]、杠桿型NES[20]、具有組合非線(xiàn)性阻尼的NES[21]和黏彈性NES[22]等.

對(duì)于各種振動(dòng)問(wèn)題,NES 均表現(xiàn)出了良好的減振作用.例如對(duì)于整星系統(tǒng)[23]、機(jī)翼結(jié)構(gòu)[24]、深海柔性張力腿[25]、懸臂薄板[26]、線(xiàn)性鏜桿系統(tǒng)[27]和簡(jiǎn)支輸液管道[28]等結(jié)構(gòu)的振動(dòng),NES 均具有良好的減振效果.在應(yīng)用NES 進(jìn)行減振的研究中,也不乏一些實(shí)驗(yàn)研究.劉中坡等[29]通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了NES 具有良好的寬頻減振效果.姚紅良等[30]通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了可調(diào)永磁雙穩(wěn)態(tài)NES 對(duì)懸臂梁的瞬態(tài)時(shí)域響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)頻域響應(yīng)都有很好的振動(dòng)抑制能力.Geng等[31]提出了可以封裝的限幅型NES,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了限幅型NES 在限制NES 振子振幅的同時(shí)產(chǎn)生了比沒(méi)有限位的NES 更好的減振效果,而且能夠?qū)Σ煌B(tài)的振動(dòng)進(jìn)行減振.Ding 等[32]提出了胞元化NES 分布式減振策略,并應(yīng)用于彈性梁的多模態(tài)減振,從理論上證明了該策略的有效性.目前關(guān)于NES 應(yīng)用的探究中,針對(duì)不同振動(dòng)主結(jié)構(gòu)的NES 的設(shè)計(jì)具有個(gè)性化的特性,其普適性并不高.因此,如何將NES 以高效和便捷的方式應(yīng)用于不同工程結(jié)構(gòu)的減振,是目前面臨的挑戰(zhàn).

針對(duì)以上問(wèn)題,本文設(shè)計(jì)了NES 胞元策略,并探討了NES 胞元的減振效果與優(yōu)勢(shì).本文對(duì)NES胞元的減振效果進(jìn)行分析,研究NES 胞元減振的規(guī)律,以期為NES 的工程應(yīng)用提供理論依據(jù).

2 動(dòng)力學(xué)方程及近似解析解

本節(jié)將首先建立偏心轉(zhuǎn)子激勵(lì)下n個(gè)NES 胞元耦合單自由度振子組成的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,之后采用復(fù)化平均法獲得系統(tǒng)響應(yīng)的近似解析解.最后給出對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的近似解析解進(jìn)行穩(wěn)定性判斷的方法.

2.1 動(dòng)力學(xué)方程

偏心轉(zhuǎn)子激勵(lì)下n個(gè)NES 胞元耦合單自由度振子組成的系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1 所示.

圖1 力學(xué)模型圖Fig.1 Mechanical model diagram

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中,M1,c1和k1分別代表主振子的質(zhì)量、阻尼和剛度,n代表NES 胞元的個(gè)數(shù),mp(p=1,2,···,n),mk,cpN(p=1,2,···,n)和kpN(p=1,2,···,n)分別代表第p個(gè)NES 胞元振子的質(zhì)量、框架的質(zhì)量、阻尼和非線(xiàn)性剛度,me,e和ω分別代表偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量、偏心距和頻率,x1,xp+1(p=1,2,···,n)和t分別代表主振子的位移、第p個(gè)NES胞元質(zhì)心的位移和時(shí)間.NES 的參數(shù)滿(mǎn)足如下條件

2.2 近似解析解

為了運(yùn)算方便,引入如下變量替換

其中,φ10和 φ20分別為系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí) φ1和φ2的值.將變換(4)代入方程組(1),再將每個(gè)方程兩端同時(shí)乘以eiωt,之后在一個(gè)激勵(lì)周期上對(duì)方程進(jìn)行平均,可以得到如下慢變方程組

對(duì)式(6)和式(7)組成的方程組的不動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值滿(mǎn)足的非線(xiàn)性方程組

方程組(8)是非線(xiàn)性方程組,可以用偽弧長(zhǎng)法求解.此外,方程組(8)的第二式是系統(tǒng)的慢不變流形(slow invariant manifold,SIM).將所求得的| φ10|和|φ20|代入式(5)可以得到主振子和NES 的位移幅值x1max和x2max分別為

將位移幅值乘以ω2,得到主振子和NES 的加速度幅值a1max和a2max分別為

2.3 穩(wěn)定性分析

對(duì)解(9)的穩(wěn)定性可以通過(guò)非線(xiàn)性微分方程組式(6)和式(7)來(lái)判斷.將微分方程(7)代入式(6),消去 φ1,可以得到僅關(guān)于φ2的微分方程

將代換(12)代入式(11),得到僅關(guān)于擾動(dòng)量δ的微分方程.將擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程線(xiàn)性化之后,得到該方程的一次近似微分方程.可以通過(guò)判斷一次近似微分方程雅可比矩陣特征值實(shí)部的正負(fù)來(lái)判斷解的穩(wěn)定性.若雅可比矩陣的特征值全為負(fù),則方程的解穩(wěn)定;若雅可比矩陣的特征值存在正值,則方程的解不穩(wěn)定;若雅可比矩陣的特征值全為0,則方程的解處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界情況.

2 NES 胞元的減振效果分析

將系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置為:M1=15.9273 kg,c1=3.36163 N·s/m,k1=33795.8 N/m,e=0.0092 m,me=0.0362 kg,cN=1 N·s/m,mk=0.05 kg.對(duì)于小重量NES 胞元,取m=0.1101 kg;對(duì)于大重量NES 胞元,取m=0.2541 kg.假設(shè)NES 胞元的個(gè)數(shù)在0～4 之間變化.下面考察NES 胞元的非線(xiàn)性剛度kN對(duì)減振效率的影響規(guī)律.采用1.1 節(jié)給出的方法,可以求出主振子耦合不同個(gè)數(shù)NES 胞元時(shí)的幅頻曲線(xiàn),如圖2所示.與此同時(shí),利用龍格-庫(kù)塔法對(duì)方程組(1)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算來(lái)求得系統(tǒng)幅值,以驗(yàn)證近似解析結(jié)果的正確性.而小重量NES 占主振子重量的比例βs以及大重量NES 胞元占主振子重量的比例βl如表1 所示.

表1 NES 胞元重量占比Table 1 NES cell weight ratio

圖2 非線(xiàn)性剛度對(duì)NES 胞元減振效果影響的分析Fig.2 Analysis of the influence of nonlinear stiffness on NES cell damping effect

可以看出,NES 胞元占主振子的最高比重也僅為6.4%,表明NES 胞元對(duì)主系統(tǒng)重量的影響較小.

在本文中,NES 胞元的減振效率采用如下表達(dá)

其中,a1max和a1max(withNEScells)分別表示有無(wú)加裝NES 胞元時(shí)主振子的加速度幅值.而激勵(lì)頻率以f表示,其和對(duì)應(yīng)的角頻率ω的關(guān)系為

從圖2 可以得出4 條規(guī)律.(1) 存在最佳的非線(xiàn)性剛度,使得相同數(shù)量的NES 胞元具有最佳的減振效率,高于或低于此值都會(huì)降低其減振效率.例如,在采用大重量NES 胞元的情況下,當(dāng)n2=2 時(shí),kN=7×107N/m3時(shí)的減振效率最高,當(dāng)kN大于此值時(shí),會(huì)由于系統(tǒng)在共振峰左側(cè)鞍結(jié)分岔的出現(xiàn)導(dǎo)致其減振效率慢慢降低;當(dāng)kN小于此值時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)越來(lái)越穩(wěn)定,但是由于其剛度較小,NES 胞元彈性恢復(fù)力的作用也越來(lái)越小,導(dǎo)致其減振效率變低.(2) NES胞元的最佳減振非線(xiàn)性剛度隨著其個(gè)數(shù)的增加而增加.從圖2 可以看出,增加NES 胞元的個(gè)數(shù)會(huì)抑制其SN 分岔以及頻率島的產(chǎn)生.而NES 胞元最佳非線(xiàn)性剛度的增加不能持續(xù)增加其減振效率正是由于SN 分岔的存在.所以NES 胞元的個(gè)數(shù)越多,其最佳非線(xiàn)性剛度也越高.(3) NES 胞元可以具有良好的減振效率.小重量NES 胞元和大重量NES 胞元的最大減振效率分別達(dá)到了83.87%和85.8%.(4) 一般來(lái)講,NES 胞元的減振效率隨著個(gè)數(shù)的增加而增加.

由于NES 沒(méi)有線(xiàn)性剛度,自身不存在共振頻率,因而能夠?qū)崿F(xiàn)振動(dòng)能量從主結(jié)構(gòu)向NES 的靶向轉(zhuǎn)移,這也是NES 能夠胞元化共同作用減振的原因.也正是因?yàn)檎駝?dòng)能量的靶向轉(zhuǎn)移,NES 胞元化后,振動(dòng)能量分布到各個(gè)NES 胞元中,從而減小了單個(gè)NES 的能量接收,避免了強(qiáng)激勵(lì)環(huán)境中NES 強(qiáng)非線(xiàn)性引起的SN 分岔和頻率島現(xiàn)象,提高了減振的效率.另外,NES 對(duì)共振頻率的自適應(yīng)性能夠使得NES 胞元適用于多模態(tài)結(jié)構(gòu)不同位置處不同頻率的減振.這是調(diào)諧質(zhì)量阻尼器所不具備的.

相對(duì)單個(gè)NES 來(lái)說(shuō),NES 胞元具有多種優(yōu)勢(shì).首先,NES 的減振需要一定的質(zhì)量比,而當(dāng)主系統(tǒng)質(zhì)量很大時(shí),需要很大的NES 質(zhì)量.但是對(duì)應(yīng)于大質(zhì)量NES 所需要的強(qiáng)非線(xiàn)性剛度在實(shí)現(xiàn)上存在很大困難.NES 胞元能以較小的單個(gè)胞元質(zhì)量克服這一困難.其次,在對(duì)不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振時(shí),NES 胞元具有極大的靈活性和多變性,便于以各種形式進(jìn)行布置.另外,多個(gè)胞元共同作用,也能夠增強(qiáng)應(yīng)用中的可靠性.這些優(yōu)勢(shì)都便于NES 胞元的工程應(yīng)用.

3 系統(tǒng)響應(yīng)特征分析

多NES 胞元耦合線(xiàn)性振子組成的系統(tǒng)具有多種響應(yīng)機(jī)制,包括穩(wěn)態(tài)響應(yīng),強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)等.本節(jié)將分析NES 處于不同個(gè)數(shù)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)特征.主要針對(duì)頻率島及共振區(qū)附近的響應(yīng)進(jìn)行分析.

3.1 頻率島響應(yīng)特征

如圖2(e)所示,頻率島的上分支為穩(wěn)定響應(yīng),下分支為不穩(wěn)定響應(yīng),而頻率島下方的主曲線(xiàn)為穩(wěn)定響應(yīng).取激勵(lì)頻率f=7.177 Hz,NES 胞元個(gè)數(shù)為1,通過(guò)R-K 方法可以得到圖2(e)中頻率島上分支和其下方主曲線(xiàn)上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)程圖與相位圖,如圖3所示.此時(shí)系統(tǒng)的參數(shù)與圖2(e) 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)相同.而f=7.177 Hz 對(duì)應(yīng)頻率島上分支最高點(diǎn)附近.

圖3 頻率島上分支及其下方主曲線(xiàn)的時(shí)程圖與相位圖Fig.3 Time domain response and phase diagram of the upper branch of the frequency island and main curve below it

從圖3 可以看出,不同的初始條件可以使得系統(tǒng)的響應(yīng)處于不同的穩(wěn)定狀態(tài).改變主振子的初始位移可以使得系統(tǒng)響應(yīng)處于頻率島的上分支.而通過(guò)圖3(a)與圖3(c)可以知道,系統(tǒng)處于頻率島的上分支時(shí),其響應(yīng)幅值比同頻率下頻率島下方主曲線(xiàn)上的響應(yīng)幅值高出很多,且為穩(wěn)定狀態(tài).而在工程實(shí)際中,初始條件往往不能精確控制.因此頻率島的出現(xiàn)在工程實(shí)際中可能帶來(lái)很大的安全隱患.而NES胞元個(gè)數(shù)的增加可以有效抑制頻率島的產(chǎn)生,進(jìn)而具有重要的意義.

3.2 共振區(qū)響應(yīng)特征

通過(guò)圖2(c)可以知道,系統(tǒng)在共振區(qū)的響應(yīng)較為復(fù)雜,可以表現(xiàn)出穩(wěn)定響應(yīng)和不穩(wěn)定響應(yīng).而且隨著胞元個(gè)數(shù)的增加,其響應(yīng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生多種變化.采用圖2(c)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù),并將激勵(lì)頻率固定到共振區(qū),此處取f=7.346 Hz.利用R-K 方法繪制時(shí)程圖和相位圖可以研究系統(tǒng)在共振區(qū)的響應(yīng)特點(diǎn).本小節(jié)繪制出了NES 胞元個(gè)數(shù)分別取1,2,4 和9 時(shí),系統(tǒng)的時(shí)程圖與相位圖,如圖4 所示.

圖4 共振區(qū)的時(shí)程圖與相位圖Fig.4 Time domain response and phase diagram of the resonance region

圖4 共振區(qū)的時(shí)程圖與相位圖 (續(xù))Fig.4 Time domain response and phase diagram of the resonance region (continued)

在圖2(c)所示的情況中,單個(gè)NES 胞元的減振效率很低,對(duì)應(yīng)的幅頻曲線(xiàn)共振峰較高,形成了減振惡化區(qū).而此時(shí),在共振區(qū)中f=7.346 Hz 的位置,系統(tǒng)的響應(yīng)為穩(wěn)定狀態(tài),如圖4(a)所示.當(dāng)胞元個(gè)數(shù)增加時(shí),共振區(qū)的穩(wěn)定相應(yīng)變?yōu)椴环€(wěn)定響應(yīng).當(dāng)NES胞元增加至2 時(shí),系統(tǒng)就處于強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)狀態(tài)了,如圖4(c)和圖4(d)所示.此時(shí)主振子的能量以不可逆轉(zhuǎn)的方式靶向傳遞至NES 胞元中.而為了更好地展現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)狀態(tài),在圖4(c)～圖4(f)中,采用主振子與NES 胞元的位移差及速度差來(lái)衡量其運(yùn)動(dòng).當(dāng)胞元個(gè)數(shù)繼續(xù)增加時(shí),系統(tǒng)的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)幅值減小.這一點(diǎn)可以通過(guò)對(duì)比圖4(d)和圖4(f)得出.當(dāng)胞元個(gè)數(shù)從2 增加至4 時(shí),主振子與NES 胞元位移差的幅值減小.而當(dāng)胞元個(gè)數(shù)繼續(xù)增加時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)又從強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)變?yōu)榉€(wěn)定響應(yīng).當(dāng)胞元個(gè)數(shù)增加至9 時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)就已經(jīng)變?yōu)榉€(wěn)定響應(yīng)了,如圖4(g)和圖4(h)所示.

根據(jù)上述分析,可以總結(jié)出胞元個(gè)數(shù)對(duì)共振區(qū)響應(yīng)狀態(tài)的一般規(guī)律:隨著胞元個(gè)數(shù)的增加,共振區(qū)響應(yīng)從穩(wěn)定響應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)調(diào)制響應(yīng),最后又變回穩(wěn)定響應(yīng),而響應(yīng)處于強(qiáng)調(diào)制狀態(tài)時(shí),其幅值隨著胞元個(gè)數(shù)的增加而減小.從能量的角度看,胞元個(gè)數(shù)的增加會(huì)使得主系統(tǒng)傳遞至每個(gè)NES 胞元的能量減小,進(jìn)而減輕了單個(gè)胞元的壓力,因此強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的幅值會(huì)隨著胞元個(gè)數(shù)增加而持續(xù)減小,直至響應(yīng)呈現(xiàn)出穩(wěn)定狀態(tài).而在整個(gè)過(guò)程中,胞元個(gè)數(shù)的增加一般會(huì)使胞元減振效率提升.

4 結(jié)論

本文對(duì)NES 胞元的減振效率進(jìn)行了理論分析.將不同個(gè)數(shù)的兩種重量NES 分別耦合于線(xiàn)性振子上,在偏心轉(zhuǎn)子激勵(lì)的情況下,采用復(fù)化平均法和龍格-庫(kù)塔法探究了NES 胞元的減振效果及系統(tǒng)響應(yīng)規(guī)律.得出的結(jié)論包括:NES 能夠以胞元的形式方便地應(yīng)用于振動(dòng)結(jié)構(gòu)的控制,而且增加NES 胞元的個(gè)數(shù)會(huì)顯著增加NES 對(duì)主結(jié)構(gòu)的減振效果,且振子重量大的NES 胞元具有更好的減振效果.尤其是當(dāng)小重量胞元的數(shù)量較少時(shí),隨著胞元數(shù)量的增加,減振效率會(huì)快速增長(zhǎng).胞元個(gè)數(shù)的增加會(huì)使得系統(tǒng)共振區(qū)響應(yīng)狀態(tài)從穩(wěn)定狀態(tài)、強(qiáng)調(diào)制狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)依次變化.其中,強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的幅度隨著胞元個(gè)數(shù)增加而減小.

本文提出了一種可以使NES 便捷高效地應(yīng)用于工程減振的策略,即將NES 胞元化裝配于主結(jié)構(gòu)中.此外,通過(guò)理論分析NES 胞元的減振規(guī)律,揭示了其減振潛能.未來(lái),將對(duì)NES 胞元的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究和設(shè)計(jì),使其更加可靠和高效,并研究NES 胞元在不同主結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用,為NES 應(yīng)用于工程減振奠定基礎(chǔ).