基于深度學(xué)習(xí)的GeoGebra軟件與立體幾何的教學(xué)融合研究

莫宗迪

(中山市龍山中學(xué)，廣東中山，528471)

在立體幾何教學(xué)中，視覺思維占了主導(dǎo)地位.對(duì)學(xué)生的空間思維想象能力要求很高，而學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中常遇到生活體驗(yàn)有限、空間識(shí)別力低、空間形象感知力不足等問題，是高中立體幾何教學(xué)的老大難問題.筆者通過實(shí)踐探索得知：教師通過多方位、多維度的探究兼并動(dòng)手操作，讓學(xué)生得到多種感官刺激強(qiáng)化，可以有效地提高學(xué)生的空間觀念，重構(gòu)正確的空間知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).本文以深度學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，以“正方體截面情況”為例，探索GeoGebra平臺(tái)與立體幾何融合教學(xué)的方法和手段，嘗試提供一種立體幾何教學(xué)的參考.

1 問題的提出

在平時(shí)的練習(xí)中，我們經(jīng)常遇到下面這樣的題目：

圖1

(1) 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，如圖：P，Q為所在棱的中點(diǎn)，求過三點(diǎn)D1，Q，P的截面面積？

(2) 正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，P為BC中點(diǎn)，Q為CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截正方體所得的截面為S，則下面命題中正確的是

( )

對(duì)于這類有關(guān)正方體截面的立體幾何題，學(xué)生的正確率很低，原因在于學(xué)生空間思維尚未形成，直觀想象不夠，空間形象感知力不足.甚至有相當(dāng)一部分學(xué)生直接將過三點(diǎn)的三角形當(dāng)做截面.一部分學(xué)生能通過四點(diǎn)共面的方法找到平面與正方體的截面，但截面情況變化時(shí)，仍然受阻.

2 問題分析

初中的平面幾何思維到高中的空間思維對(duì)學(xué)生的認(rèn)知是一個(gè)重大的跨越.學(xué)生還沒脫離根深蒂固的初中平面幾何思維方式，特別是高一的學(xué)生，缺乏空間想象力，繼而造成空間思維受阻.筆者認(rèn)為借助實(shí)物模型和信息技術(shù)可以幫助學(xué)生突破空間思維壁障，實(shí)現(xiàn)空間問題可視化和直觀化.教師可以通過教具和GeoGebra軟件的3D功能等工具，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)從抽象到直觀的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生能夠輕松地在直觀、生動(dòng)的學(xué)習(xí)中發(fā)展空間思維，形成空間意識(shí)和觀念.筆者翻閱教材，發(fā)現(xiàn)：人教A版的教材中并沒有專門針對(duì)截面情況的課時(shí).只對(duì)四點(diǎn)共面的證明作了要求.學(xué)生的空間感知力的提升需要教師引導(dǎo)學(xué)生親身通過實(shí)驗(yàn)操作或空間思維“可視化”的展示，在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象力和觀察力.

3 解決問題

深度學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)生的深度學(xué)習(xí)是對(duì)知識(shí)的深度理解、由低階思維轉(zhuǎn)化為高階思維、實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和實(shí)踐創(chuàng)新的學(xué)習(xí)過程[2].

3.1 讓學(xué)生經(jīng)歷由低階思維轉(zhuǎn)化成高階思維

筆者借助實(shí)物模型讓學(xué)生建立二維與三維的聯(lián)系，感知空間實(shí)物的形態(tài)與變化.

準(zhǔn)備材料：正方體模型框架、繩子和雙面膠、電池、泡沫正方體模型、電熱絲和自制的切割裝置.

問題1：如果我們拿一個(gè)平面去截一個(gè)正方體那么會(huì)得到什么形狀的截面圖形呢？

動(dòng)手操作1：用電熱絲切割正方體泡沫模型，如下圖2和圖3.

圖2

圖3

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生自己動(dòng)手操作，了解截面形成過程.使學(xué)生對(duì)正方體的截面情況有了初步的圖象表征，在大腦中有了大致的空間觀念.

動(dòng)手操作2:用繩子捆綁正方體模型，觀察繩子形成的截面情況？

設(shè)計(jì)意圖：通過紅繩捆綁正方體模型體驗(yàn)截面的變化，總結(jié)截面出現(xiàn)的情況，以及出現(xiàn)的弊端.然由捆綁繩子形成截面很容易出現(xiàn)偏差，因?yàn)槔K子捆綁的可能不是一個(gè)面，可能仍是空間圖形.但學(xué)生在親身經(jīng)歷截面形成的過程中初步構(gòu)建了空間觀念.

學(xué)生通過自己的動(dòng)手操作，調(diào)動(dòng)了各種感官，多方位、多角度觀察、認(rèn)知事物，進(jìn)而獲得更清晰、牢固的空間觀念.通過實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確想象出幾何圖形形成現(xiàn)實(shí)空間.通過實(shí)例進(jìn)化思維，把空間中的實(shí)體高度抽象在大腦中，并在大腦中進(jìn)行分析推理.這種方法提高了學(xué)生動(dòng)手能力，提高了學(xué)生主動(dòng)探索的意識(shí)，是培養(yǎng)空間想象力的一個(gè)有效途徑.

3.2 對(duì)空間知識(shí)的深度理解實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

筆者借助信息技術(shù)GeoGebra平臺(tái)，制作正方體截面的動(dòng)態(tài)課件.通過對(duì)滑動(dòng)條的平移操作實(shí)現(xiàn)對(duì)截面的平移、翻轉(zhuǎn)，直接將所得的截面可視化，與動(dòng)手操作得到的空間觀念形成對(duì)比，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知，重新建構(gòu)學(xué)生的空間知識(shí)結(jié)構(gòu).

問題2：截面如果是三角形，有幾種情況？

學(xué)生通過切割模型和繩子捆綁討論研究，老師協(xié)作引導(dǎo)探究.用GeoGebra軟件進(jìn)行信息技術(shù)的準(zhǔn)確截面分析(如圖4).

圖4

設(shè)計(jì)意圖：教具操作有很多情況是不能展示的，借助信息技術(shù)GeoGebra軟件通過3D的空間圖形形式，更直觀地展示截面各種出現(xiàn)的情況.

問題3：如果截面是四邊形，可以截出什么形狀的四邊形？

問題4：能截出五邊形，六邊形嗎？

問題5：能截出七邊形嗎？

問題6：截面多邊形的邊數(shù)最多有幾條？

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的動(dòng)手操作和空間想象，找學(xué)生代表發(fā)言總結(jié)；利用軟件平臺(tái)直接反饋糾正，形成正確的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)知識(shí).

GeoGebra軟件的3D繪圖功能，直觀、生動(dòng)、形象的教學(xué)誘發(fā)學(xué)生展開豐富的聯(lián)想，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，讓學(xué)生真實(shí)地經(jīng)歷數(shù)學(xué)立體幾何問題的產(chǎn)生和解決全過程，既為思維的展開創(chuàng)造了良好條件，也為空間觀念的順利形成打開了大門.

圖5

借助信息技術(shù)GeoGebra軟件、一體機(jī)多媒體平臺(tái)，很直觀地演示各種情況下正方體分截面情況，使得學(xué)生體驗(yàn)到由抽象到具體形象，便于理解，認(rèn)清本質(zhì).特別是用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生突破了認(rèn)知難點(diǎn)：過棱上三點(diǎn)的平面與正方體表面的交線圍成的截面情況.學(xué)生往往認(rèn)為過三點(diǎn)的平面是三角形.其實(shí)面是無(wú)限的，通過操作GeoGebra軟件的平移、翻轉(zhuǎn)等完成截面的形成，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知，重新建構(gòu)學(xué)生的空間知識(shí)結(jié)構(gòu).筆者通過總結(jié)提煉得出Geogebra軟件與立體幾何融合教學(xué)探究流程，如下圖6.

圖6 GeoGebra軟件與立體幾何融合教學(xué)探究流程

4 應(yīng)用推廣

GeoGebra對(duì)立體幾何教學(xué)的一個(gè)重大功能是：幫助學(xué)生直觀化、可視化地突破認(rèn)知難點(diǎn).順利地將試卷上呆板的圖形更立體、生動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生看，構(gòu)建新的空間知識(shí)，最終培養(yǎng)學(xué)生問題解決、知識(shí)遷移和創(chuàng)新的能力.

圖7

例1已知正方體的棱長(zhǎng)為4，如圖，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為多少？

學(xué)生往往比較困惑為何在各棱中點(diǎn)時(shí)，截面取得最大值？筆者借助GGB軟件的動(dòng)態(tài)展示以及截面面積的動(dòng)態(tài)變化分析，大大加強(qiáng)了學(xué)生的直觀感受.教師再進(jìn)行推理證明計(jì)算.學(xué)生受到的感官刺激更大，理解更透徹而且能激起學(xué)生探索的積極性.

5 結(jié)論與展望

現(xiàn)代心理學(xué)研究表明，表象的獲得在于對(duì)實(shí)物的感知，特別是視覺感知.感知的多樣性直接影響著獲得表象的多樣性.筆者認(rèn)為在立體幾何的教學(xué)中，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行多方位和多維度的感官刺激，建構(gòu)學(xué)生的空間感知力，使學(xué)生對(duì)知識(shí)能深度理解，進(jìn)而達(dá)到知識(shí)遷移和實(shí)踐創(chuàng)造能力.鼓勵(lì)教師在課堂上采用學(xué)生動(dòng)手操作、教具模型操作和GeoGebra平臺(tái)動(dòng)態(tài)演示等多種手段結(jié)合.當(dāng)然立體幾何模型是有限的，但是強(qiáng)大功能的GeoGebra軟件平臺(tái)與立體幾何的融合就很有必要了，它能呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生各種感官，多方位、多角度觀察、認(rèn)知事物，獲得更清晰、牢固的空間觀念，實(shí)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)！