結(jié)構(gòu)的力量：觀念指向的單元整體教學(xué)建構(gòu)
——以小學(xué)數(shù)學(xué)“漫步空間 體積測量”單元學(xué)習(xí)為例

●董文彬

數(shù)學(xué)大觀念作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，能夠把各種數(shù)學(xué)理解聯(lián)系成一個連貫的整體，其本質(zhì)是結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和遷移。 觀念指向下的單元整體教學(xué)就是要發(fā)揮觀念的結(jié)構(gòu)和關(guān)聯(lián)的力量，統(tǒng)整數(shù)學(xué)內(nèi)部的核心知識與思想方法，聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)、核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，整體設(shè)計與把握單元教學(xué)，指向?qū)W生數(shù)學(xué)發(fā)展，以最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)立人。 本文以小學(xué)數(shù)學(xué)北師大版五年級下冊第四單元“長方體（二）”學(xué)習(xí)內(nèi)容為依托，重新確定單元學(xué)習(xí)主題及具體觀念，基于學(xué)生學(xué)情調(diào)研制訂學(xué)習(xí)目標(biāo)及學(xué)習(xí)主線，形成單元學(xué)習(xí)的核心問題及關(guān)鍵子問題， 設(shè)計有意義的單元學(xué)習(xí)活動任務(wù)序列，進(jìn)行素養(yǎng)導(dǎo)向的單元整體教學(xué)建構(gòu)，著力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度理解與自主遷移，促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展。

一、單元學(xué)習(xí)主題與單元具體觀念的確定

(一)對度量的再認(rèn)識

史寧中教授說：“度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)， 是人創(chuàng)造出來的認(rèn)識數(shù)學(xué)進(jìn)而認(rèn)識現(xiàn)實世界的工具。 ” 度量是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的重要核心內(nèi)容， 包括時間、質(zhì)量、角度、長度、面積、體積等的度量，其中長度、面積和體積的度量是主體內(nèi)容（如圖1）。 張丹教授指出：“在這部分內(nèi)容中， 可以體現(xiàn)如下的數(shù)學(xué)大觀念：測量是對現(xiàn)實生活中事物某方面屬性大小的刻畫；測量的基本方法是統(tǒng)一單位的不斷累積， 將多個度量單位組合在一起產(chǎn)生了工具，使得測量更加方便；測量方法和測量單位的選取源于實際生活的需要，以及對測量結(jié)果精確程度的需求； 尋找圖形要素之間的關(guān)系、圖形之間的轉(zhuǎn)化、二維與三維的類比等可以幫助人們獲得常見圖形的公式， 這提供了運(yùn)用推理產(chǎn)生圖形面積公式的角度； 以上過程發(fā)展了度量意識、推理能力和直觀想象，而測量過程發(fā)展了解決問題能力及創(chuàng)新意識。 ”[1]這些對于整體建構(gòu)“體積測量”單元教學(xué)具有很好的指導(dǎo)作用。

圖1 小學(xué)數(shù)學(xué)度量主體教學(xué)結(jié)構(gòu)（以北師大版教材為例）

(二)單元具體觀念

以小學(xué)數(shù)學(xué)北師大版五年級下冊第四單元“長方體（二）”內(nèi)容單元為例。學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)初步識別長方體、正方體，認(rèn)識了周長、面積等圖形核心概念，并已經(jīng)探究學(xué)習(xí)了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形這些平面圖形面積的測量計算，積累了研究平面圖形一維長度、二維面積度量學(xué)習(xí)的基本方法和活動經(jīng)驗。 在本冊第二單元， 學(xué)生已經(jīng)直觀地認(rèn)識了長方體、正方體的特點(diǎn)以及展開圖，學(xué)習(xí)了長方體、正方體的結(jié)構(gòu)特征和表面積的含義及計算。 本單元是在上述學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。主要內(nèi)容包括：認(rèn)識體積和容積，體積、容積單位的實際意義及換算，長方體、正方體的體積、容積的測量計算方法，探索不規(guī)則物體體積的測量方法。依據(jù)本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容， 將單元學(xué)習(xí)主題重新確定為“漫步空間 體積測量”。

依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材對比分析，追問本單元的教育價值，具體化之后可以得到本單元教學(xué)的具體觀念：測量體積的基本方法是用統(tǒng)一體積單位不斷累加，體積單位的小正方體是體積測量的基本工具；公式度量源于工具度量的抽象；度量的原始本質(zhì)是一維度量，圖形體積的度量都可以利用長度而得到；通過體積單位的小正方體的拼擺累積表示已知立體圖形，發(fā)現(xiàn)立體圖形三維空間大小與一維長度之間的對應(yīng)關(guān)系可以幫助我們獲得基本立體圖形長方體的體積公式；從圖形運(yùn)動的視角，尋找圖形要素之間的關(guān)系、圖形之間的類比遷移等可以幫助獲得常見圖形的體積公式，這提供了運(yùn)用推理產(chǎn)生新的圖形體積公式的角度。 以上學(xué)習(xí)過程幫助學(xué)生在基于多種操作與空間想象思維活動的基礎(chǔ)上積累了研究立體圖形體積度量的經(jīng)驗與方法，發(fā)展了度量意識、推理能力和直觀想象，培養(yǎng)了空間觀念以及問題解決和自主學(xué)習(xí)的能力。

二、基于學(xué)情調(diào)研診斷學(xué)生先期學(xué)習(xí)經(jīng)驗

為了解學(xué)生的單元學(xué)習(xí)起點(diǎn)、思維結(jié)點(diǎn)、學(xué)習(xí)困難及生長需求，需要基于學(xué)情調(diào)研對學(xué)生的先期學(xué)習(xí)經(jīng)驗作評估和預(yù)判。

比如，對于“體積測量”單元，可以設(shè)計有關(guān)“體積”和“容積”認(rèn)識的題目。如你認(rèn)為什么是體積？ 什么是容積？考查學(xué)生對核心概念（測量對象）的理解。可以給出一個由體積單位（比如1 立方厘米）的小正方體累積而成的物體，啟發(fā)學(xué)生獲得它的體積，考查學(xué)生已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。還可以給出一個長方體，鼓勵學(xué)生想辦法得到它的體積， 以評判學(xué)生先期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、學(xué)習(xí)困難和數(shù)學(xué)生長需求。

通過對學(xué)生的先期前測調(diào)研發(fā)現(xiàn)，造成學(xué)生真正認(rèn)識體積含義的障礙有兩個。一是感受什么是“空間”，這比體積本身更難理解；二是表面積（或占地面積）和質(zhì)量對體積含義認(rèn)識的干擾，有近20%的學(xué)生明確表示“體積就是表面積（或占地面積）”，同時有34%的學(xué)生認(rèn)為“質(zhì)量大的物體體積就大”。 可以說“表面積”和“質(zhì)量”是干擾學(xué)生正確建立體積概念最重要的兩個因素，教學(xué)中不能回避，需層層剝繭。而對于容積，70%的學(xué)生舉例說明什么是容積時，只舉出“杯子裝水”的例子，對于生活中形形色色的容器認(rèn)識不全面；15%的學(xué)生認(rèn)為“容積就是容量”(香港版教材稱容積為容量)，30%的學(xué)生認(rèn)為“容積就是一個物體里面所能容納多少東西”，但對于“東西”的理解又很片面，只理解為液體，而對于固體和看不見摸不著的氣體占不占空間認(rèn)識模糊；10%的學(xué)生對“所能容納”只理解為“裝有”而不是“裝滿”，或者認(rèn)為“超出容器內(nèi)部空間的部分”也是容積。 此外，“體積”和“容積”這兩個概念有很多相似之處，容易混淆， 學(xué)生對兩者的區(qū)別和聯(lián)系的認(rèn)識和體會是理解上的另一重困難。

另外，100%的學(xué)生都能正確計數(shù)獲得由體積單位（比如1 立方厘米）的小正方體累積而成的物體的體積。 但面對長方體的體積時，89.2%的學(xué)生知道長方體的體積計算公式，10.8%的學(xué)生不知道怎么計算。追訪知道公式的學(xué)生：為什么長方體的體積是長乘寬乘高？ 83.3%的學(xué)生說不清楚， 就學(xué)過公式；16.7%的學(xué)生認(rèn)為長乘寬是底面積，乘高就是有多少個底面積?？梢姡?0%的學(xué)生知道長方體的體積公式，但是幾乎沒有學(xué)生能正確解釋。

由此可見，學(xué)生的度量意識比較弱，雖然有過一維長度和二維面積度量的經(jīng)驗，但是不太容易在新的體積度量學(xué)習(xí)中遷移。 如何幫助學(xué)生自覺運(yùn)用體積單位去度量一個長方體的體積，叩問度量本質(zhì)，發(fā)展度量意識，這一點(diǎn)很重要。 雖然有近90%的學(xué)生知道長方體的體積計算公式，且公式也很容易記憶，但是對公式的理解仍然是單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。所以， 探索發(fā)現(xiàn)或驗證長方體的體積計算公式的形成過程，溝通圖形體積與圖形要素之間的聯(lián)系，在單元學(xué)習(xí)中更是尤為關(guān)鍵。

三、確定單元核心學(xué)習(xí)目標(biāo)及成果表現(xiàn)

“‘觀念統(tǒng)領(lǐng)’ 單元教學(xué)的核心目標(biāo)是意義理解和自主遷移， 包含TUK 三個不同層次的學(xué)習(xí)目標(biāo)：需要掌握的知識和技能（知識技能目標(biāo)， 簡稱為K目標(biāo)），依據(jù)具體觀念設(shè)定的意義理解目標(biāo)（U 目標(biāo)）和遷移目標(biāo)（T 目標(biāo)）。 ”[1]由此，我們制訂了“體積測量”的TUK 目標(biāo)（如表1）。

表1

需要說明的是，TUK 學(xué)習(xí)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)只是重點(diǎn)幫助理解本單元將實現(xiàn)什么樣的知識意義的深度理解與自主遷移，是幫助學(xué)生核心素養(yǎng)落地的重要途徑之一。結(jié)合本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，還需要制訂基于標(biāo)準(zhǔn)、教材分析、學(xué)情評估，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向的更具體的學(xué)習(xí)目標(biāo)。比如結(jié)合實際問題情境與設(shè)計實驗活動，形成體積、容積概念的表象，理解體積、容積的意義；認(rèn)識體積、容積的計量單位（米3、分米3、厘米3、升、毫升），會進(jìn)行單位之間的換算，感受1 米3、1 分米3、1厘米3以及1 升、1 毫升的實際意義，發(fā)展量感；在問題解決的過程中通過設(shè)計實驗方案，探索某些不規(guī)則物體體積測量的方法，積累轉(zhuǎn)化度量的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗， 在多樣化的策略中發(fā)展解決問題能力及創(chuàng)新意識，等等。

確定了單元核心學(xué)習(xí)目標(biāo)之后，接下來需要著重思考的問題是：學(xué)生出現(xiàn)什么樣的預(yù)期表現(xiàn)或者學(xué)習(xí)成果可以說明學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)成了學(xué)習(xí)目標(biāo)？ 這就需要教師設(shè)計表現(xiàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)來進(jìn)行評判。 比如“表1”中的T 目標(biāo)，不妨給學(xué)生一個三棱柱或圓柱，觀察學(xué)生是否能主動尋找立體圖形要素間的關(guān)系進(jìn)行類比，或嘗試將此圖形轉(zhuǎn)化為長方體來獲得體積的計算。

四、設(shè)計單元學(xué)習(xí)思考的核心關(guān)鍵問題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界是問題引領(lǐng)下的自主探究學(xué)習(xí)，觀念指向下的單元整體教學(xué)就是要引領(lǐng)學(xué)生對重要的核心內(nèi)容進(jìn)行深度探究。因此，形成單元學(xué)習(xí)思考的核心關(guān)鍵問題十分重要，它可以聚焦單元具體觀念，幫助學(xué)生關(guān)聯(lián)先期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗而對問題進(jìn)行深度探究，以強(qiáng)化對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度理解與自主遷移，指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，并促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展。 “表2”是體積測量單元的核心關(guān)鍵問題。

表2 “體積測量”單元學(xué)習(xí)思考的核心關(guān)鍵問題

需要指出的是， 第三個核心關(guān)鍵問題的設(shè)計意在指向數(shù)學(xué)研究方法的理解與遷移。實際學(xué)習(xí)中，學(xué)生在經(jīng)歷得到長方體的體積的過程中積累了體積度量與問題思考的數(shù)學(xué)方法與活動經(jīng)驗，通過持續(xù)反思與遷移這樣的方法與經(jīng)驗，可以自主獲得更多立體圖形（如其他棱柱體、圓柱）的體積。

五、分解核心關(guān)鍵問題的子問題，形成有意義的單元學(xué)習(xí)任務(wù)序列

在設(shè)計了單元學(xué)習(xí)思考的核心關(guān)鍵問題之后，需要進(jìn)一步將關(guān)鍵問題分解為系列子問題，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計具有挑戰(zhàn)性、充滿智慧、有價值、有意義的單元學(xué)習(xí)任務(wù)序列。 以具體觀念為指向統(tǒng)領(lǐng)單元整體教學(xué)建構(gòu)，在學(xué)習(xí)子問題基礎(chǔ)上設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)序列時，需要教師深度鉆研教材、挖掘教材、審視教材又超越教材，深度理解教材的編排意圖，同時又能在基于學(xué)情前測調(diào)研、基于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)合理的創(chuàng)造設(shè)計。

基于上述思考，我們設(shè)計了體積測量單元的學(xué)習(xí)任務(wù)序列（如表3）。

表3 “體積測量”單元學(xué)習(xí)任務(wù)序列設(shè)計

上述表2、表3 只呈現(xiàn)了一種單元學(xué)習(xí)思考的關(guān)鍵問題、學(xué)習(xí)任務(wù)序列，同時還需要增加其他核心課時的學(xué)習(xí)活動任務(wù)。 圖2 即是在上述觀念指向下以單元典型核心課為例增加設(shè)計的單元整體教學(xué)結(jié)構(gòu)圖。

總之，觀念指向的單元整體教學(xué)建構(gòu)是在數(shù)學(xué)大觀念的具化引領(lǐng)下注重結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)的力量，幫助學(xué)生在對測量對象核心概念本質(zhì)意義深度理解的基礎(chǔ)上，形成體積測量的數(shù)學(xué)思想方法，并遷移應(yīng)用到新的問題情境中促進(jìn)對知識意義的深度理解與自主遷移，以培育學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)；基于學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，幫助學(xué)生從單元之形到素養(yǎng)之魂，最終達(dá)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。本文以體積測量單元為例，具體闡述了單元整體教學(xué)分析、設(shè)計、研發(fā)的過程，并根據(jù)教學(xué)實踐的反饋進(jìn)一步反思和調(diào)整，使觀念指向的單元整體教學(xué)更加有意義、有價值，以最終指向?qū)W生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。