立體幾何中有關(guān)交線問(wèn)題的解決方式

舒鋮蓓

（浙江金華第八中學(xué) 浙江金華 321000）

空間問(wèn)題平面化是解決立體幾何問(wèn)題的一種重要的思想方法，而截面是重要的載體，所以立體幾何中尋找和構(gòu)造截面是常見(jiàn)的問(wèn)題，實(shí)則是畫出截面與幾何體的表平面的交線。對(duì)于此種問(wèn)題，本文給出兩種解決方式。

一、理論依據(jù)

解決立體幾何問(wèn)題，主要用幾何法和代數(shù)法。

用幾何法解決平面與平面的交線問(wèn)題，要用到以下幾個(gè)定理：

1.基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

2.線面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行。

3.面面平行的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么這兩條交線平行。

4.線面垂直的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直。

用代數(shù)法解決平面與平面的交線問(wèn)題需要用到以下知識(shí)：

2.空間中兩平面交線的一般方程：已知Π1，Π2是空間中的兩個(gè)相交平面，Π1：A1x+B1y+C1z+D1=0，Π2：A2x+B2y+C2z+D2=0，則兩平面交線的一般方程為

二、實(shí)例展示

【例1】如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN，求證：MN//AA1B1B。

【解析】要證MN//AA1B1B，只要在平面AA1B1B內(nèi)找到一條直線與MN平行，難點(diǎn)在于：一方面在平面AA1B1B內(nèi)沒(méi)有明顯的直線與MN平行，需作輔助線；另一方面利用條件CM=DN證明平面AA1B1B內(nèi)的輔助線與MN平行。

【思路1】第一步，借助分析法，若MN//AA1B1B，則過(guò)MN構(gòu)造平面與平面AA1B1B相交，所得交線與MN平行，這也是在平面AA1B1B內(nèi)作出與MN平行的輔助線的方法。

第二步，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)N作NP//AD，過(guò)點(diǎn)M作MQ//BC，因?yàn)锳D//BC，所以NP//MQ，NP與MQ唯一確定平面MNPQ。連接P、Q，所以平面MNPQ與平面AA1B1B的交線為PQ。

圖2

第四步，由MN//PQ證出MN//AA1B1B。

【思路2】第一步同思路1。

第二步，如圖3所示，MN與B1C相交于點(diǎn)M可唯一確定平面CMN。延長(zhǎng)CM至CB1，連接C、N，延長(zhǎng)CN交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，所以平面CMN延展至平面CB1H。連接B1、H，所以平面CMN與平面AA1B1B的交線為B1H。

圖3

第四步，同思路1。

點(diǎn)評(píng)：思路1利用兩條平行線構(gòu)造平面，思路2利用兩條交線構(gòu)造平面。兩種思路都用到基本事實(shí)3畫出交線，思路2需要延展平面再畫出交線。

【例2】（2018課標(biāo)1卷理12）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）

【解析】條件“每條棱所在直線與平面α所成角都相等”包括三個(gè)幾何對(duì)象：棱、面、線面角。對(duì)這三個(gè)對(duì)象的處理如下：“每條棱”轉(zhuǎn)化為從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，平面α需要尋找和構(gòu)造，線面角可用幾何法或者代數(shù)法求得。

【思路1】如圖4所示，第一步：每條棱所在直線與平面α所成角相等化歸為以D為公共頂點(diǎn)的三條棱DC、DA、DD1所在直線與平面α所成角相等。

圖4

第二步：因?yàn)镈-ACD1是正三棱錐，所以三條棱DC、DA、DD1所在直線與平面ACD1所成角相等。

第三步：平面α是平面ACD1或者與平面ACD1平行的截面，例如平面A1BC1。下面介紹如何畫出與平面ACD1平行的其它截面。

若動(dòng)態(tài)平移平面ACD1，借助直觀想象可得如圖5和圖6兩種不同的截面形狀。畫截面實(shí)則畫出截面與正方體的表平面的交線，因?yàn)榻孛媾c平面ACD1平行，又因?yàn)閮蓚€(gè)平行平面與第三個(gè)平面相交所得的交線平行，所以圖5中在DD1上任取一點(diǎn)M依次畫平行線得到截面MNP，圖6中在A1D1上任取一點(diǎn)E依次畫平行線得到截面EFGHIJ。

圖5

圖6

因?yàn)榻孛鍹NP的面積小于截面ACD1的面積，所以要求α截此正方體所得截面面積的最大值，只要分析截面EFGHIJ的面積何時(shí)最大。先畫出截面EFGHIJ的平面圖形（如圖7所示），再設(shè)A1F=a，可求得截面EFGHIJ的面積為當(dāng)截面面積的最大值為

圖7

【思路2】第一步，與思路1相同。

第二步，用向量的坐標(biāo)代數(shù)法求線面角。

代入用向量坐標(biāo)表示的線面角公式可得

圖8

第三步，用向量的坐標(biāo)法尋找截面α。由截面α的法向量可知棱DD1所在直線與截面α有交點(diǎn)，例如交點(diǎn)為點(diǎn)D1=（0,0,1），設(shè)截面α上任一點(diǎn)M（x,y,z），由求得截面α對(duì)應(yīng)的方程為x+y+z=1。由聯(lián)立得y+z=1，由數(shù)到形，畫出截面α與平面yoz的交線CD1。同理求出截面α與正方體的表平面的其它交線從而找到截面ACD1。若棱DD1所在直線與截面α的交點(diǎn)分別取在線段DD1或者線段DD1的延長(zhǎng)線上，同第三步中的方法可畫出截面α如圖5、圖6。

【點(diǎn)評(píng)】思路1的巧妙之處在于利用正三棱錐模型發(fā)現(xiàn)截面α的特殊情形，再用面面平行的性質(zhì)定理構(gòu)造出其它截面類型。思路2的難點(diǎn)在于截面α以及截面α與正方體的表平面的交線的坐標(biāo)表示，學(xué)生在高中階段并不熟悉該種表示，需要先鋪墊再介紹該方法。

【例3】在方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，P、Q是正方體表面上相異兩點(diǎn)，滿足BP⊥A1E，BQ⊥A1E。若P、Q均在平面A1B1C1D1內(nèi)，則PQ與BD的位置關(guān)系 。

【解析】我們可以從兩方面解讀條件“BP⊥A1E，BQ⊥A1E”：一方面空間中兩條直線垂直可以是異面垂直，也可以是共面垂直；另一方面滿足該條件的點(diǎn)P（點(diǎn)Q）不唯一，該題目難點(diǎn)在于求出滿足條件的點(diǎn)P（點(diǎn)Q）的集合，下面介紹兩種方法。

【思路1】如圖9所示，第一步，借助空間想象，點(diǎn)P（點(diǎn)Q）在過(guò)點(diǎn)B且與A1E垂直的平面上。第二步，在正方體中畫出過(guò)點(diǎn)B且與A1E垂直的截面，實(shí)則畫出截面與正方體的表平面的交線與A1E垂直。第三步，在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B畫直線與A1E垂直。這是已知結(jié)論探索條件的問(wèn)題，借助分析法，A1E是平面ABCD的斜線，在平面ABCD內(nèi)畫直線與A1E垂直可以轉(zhuǎn)化為在平面ABCD內(nèi)畫直線與A1E在平面ABCD內(nèi)的射影垂直，所以過(guò)點(diǎn)B畫直線與AC垂直，即為BD。同理畫出交線BN，最終畫出截面BDHN。

圖9

滿足條件“BP⊥A1E，BQ⊥A1E”的點(diǎn)P（點(diǎn)Q）的集合構(gòu)成平面BDHN，同時(shí)P、Q均在平面A1B1C1D1內(nèi)，所以點(diǎn)P（點(diǎn)Q）在兩平面的交線HN上，且問(wèn)題中兩直線PQ與BD平行。

【思路2】如圖10所示，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)B與A1E垂直的平面上任取一點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M（x，y，z），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1。由A1E⊥BM，求出過(guò)點(diǎn)B與A1E垂直的平面對(duì)應(yīng)的方程為。由聯(lián)立求得x-y=0，由數(shù)到形，畫出截面與平面xoy的交線BD；同理畫出截面與正方體表平面的其它交線從而找到截面BDHN。

圖10

【點(diǎn)評(píng)】思路1需要較好的空間想象能力，以及能靈活轉(zhuǎn)化線線垂直與線面垂直的位置關(guān)系，思路2相比之下，步驟明確，簡(jiǎn)單方便。

對(duì)于畫交線問(wèn)題，解決方式主要幾何法和代數(shù)法。幾何法是借助直觀想象，結(jié)合立體幾何中的基本事實(shí)和定理進(jìn)行邏輯推理，要注重畫交線背后的思路分析。代數(shù)法需要數(shù)形轉(zhuǎn)化，綜合解析幾何的知識(shí)解決問(wèn)題。畫交線問(wèn)題培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象、邏輯推理、運(yùn)算求解等核心素養(yǎng)，教師在教學(xué)中值得重視，也是命題的好素材。