疫情影響下貴金屬市場的波動性
——基于厚尾SV模型的實(shí)證研究

高博文， 喬克林

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

貴金屬的產(chǎn)品主要有黃金、白銀、鉑金等，其中黃金和白銀最為出名，且貴金屬的保值、收藏、投資受到了廣大貴金屬愛好者的青睞. 貴金屬的投資在國內(nèi)起步較晚，然而卻依然引來了全國廣大投資者的喜愛，為投資者多了一個投資渠道，并且使全國的金融大市場得到了有效的完善. 當(dāng)出現(xiàn)金融危機(jī)、政局動亂以及疫情影響，貴金屬的經(jīng)濟(jì)價值就會體現(xiàn)出來，具有非常好的抗壓、保值能力，因此，研究貴金屬的收益波動是非常有意義的一件事情.

在SV模型的研究方面，從剛開始的標(biāo)準(zhǔn)SV模型到SV-T模型、杠桿SV模型、跳躍的SV模型等，其目的都是為了更好地刻畫波動率特征. 在研究SV 模型的同時又深入地研究了參數(shù)估計中的一些方法，主要有MM估計法、GMM估計法、QML估計法和MCMC參數(shù)估計等方法. MM估計法也稱矩估計法，最早是由Taylor提出來的，也是最為簡便的一種方法；GMM估計法也稱廣義矩估計法，是由Hansen提出來的，其思想是依照矩條件在弱假設(shè)下進(jìn)行估計，因此它可以說是矩估計法的一個推廣；Melino 等［1］最先將GMM估計法應(yīng)用在SV模型的參數(shù)估計上；QML估計法也稱偽極大似然估計法，最早是由Harvey等［2］提出來的；MCMC參數(shù)估計法也稱馬爾科夫鏈蒙特卡洛算法，最早是由Sandmann等提出來的；Jacquier等［3］是第一個將SV模型中引入了貝葉斯分析，并且運(yùn)用MCMC方法來進(jìn)行參數(shù)估計.

自1986年隨機(jī)波動模型被首次提出至今，研究者不斷地對其進(jìn)行拓展研究，其金融時間波動模型的SV模型族也在我國研究范圍甚廣，其中包括李峰［4］在對我國股市的研究中利用標(biāo)準(zhǔn)SV模型和SV-T模型、SV-GED模型、SV-MN模型、SV-MT模型進(jìn)行了對比分析，最后得出尖峰厚尾現(xiàn)象也是普遍并且明顯地存在于我國的股市市場，而且SV-T模型在對我國股市的收益率模擬中效果最優(yōu)；朱慧明等［5］在描述金融時間序列的尖峰厚尾性中采用了SV-T模型，結(jié)果表示SV-T模型可以更好地反映出金融市場尖峰厚尾的特性；于冉春［6］同樣使用標(biāo)準(zhǔn)SV模型和SV-T模型對普爾500股票指數(shù)的收益率進(jìn)行對比研究，最后得到SV-T模型具有更好的擬合效果. 趙行為［7］運(yùn)用了標(biāo)準(zhǔn)SV模型以及SV-T模型對中國銀行和交通銀行的收益序列進(jìn)行了模型的對比分析，最后得出SV-T模型對兩家銀行收益的波動率以及擬合結(jié)果更準(zhǔn)確于標(biāo)準(zhǔn)SV模型；張艷慧等［8］利用SV-N模型和SV-T模型實(shí)證分析了中國股市高頻數(shù)據(jù)收益率的波動性具有尖峰厚尾、聚集性等特征；楊超等［9］構(gòu)建SV-N模型和SV-T模型，并利用MCMC方法求解模型參數(shù)并對比了模型的擬合效果，最后發(fā)現(xiàn)在刻畫波動率的波動特征效果上，SV-T模型要優(yōu)于SV-N模型. 郭建峰和白瑜瑜［10］通過對科技創(chuàng)板指數(shù)進(jìn)行實(shí)證研究，采用SV-N 模型和SV-T 模型來研究科技創(chuàng)板的波動性，結(jié)果表明，科創(chuàng)板指數(shù)收益率波動較大且持續(xù)時間較長，且SV-T模型的擬合效果明顯優(yōu)于SV-N模型.

考慮到厚尾性在金融時間序列中的普遍存在及其表現(xiàn)形式，該文使用厚尾SV模型來研究貝葉斯參數(shù)估計，并對疫情前和疫情期間我國貴金屬的收益波動性進(jìn)行實(shí)證分析.

1 厚尾隨機(jī)波動模型

在解釋金融時間收益序列波動模型的自回歸行為時，在標(biāo)準(zhǔn)SV模型的基礎(chǔ)上提出了厚尾SV模型，其數(shù)學(xué)解析式如下：

其中：yt表示t時刻資產(chǎn)對數(shù)收益率；εt為擾動項(xiàng)且是服從自由度為ω的t分布，并且是服從方差為σ2，均值為0的正態(tài)分布；βt代表對數(shù)波動率；μ表示平均波動水平；ηt可以衡量波動的擾動水平，且εt與ηt互不相關(guān)；φ為持續(xù)性參數(shù)，反映目前的波動狀態(tài)對未來波動狀態(tài)的影響.

厚尾SV模型中為了方便記τ=1/σ2，其反映收益波動的擾動水平；記y=(y1,y2,y3,…,yn)，β=(β1,β2,β3,…,βn)，未知參數(shù)θ=(μ,φ,ω,τ) .

厚尾模型中，εt服從t分布，ηt服從正態(tài)分布. 則假設(shè)βt-1和θ一定的情況下βt服從以下分布：

則ηt關(guān)于(βt-1，θ)的概率密度函數(shù)為：

εt的概率密度函數(shù)為：

對數(shù)收益率yt的概率密度函數(shù)為：

2 厚尾SV模型的后驗(yàn)分布及Gibbs抽樣

2.1 SV-T模型的后驗(yàn)分布

貝葉斯推斷中，參數(shù)先驗(yàn)分布的設(shè)定是必須的.μ、φ、ω、τ 和波動率β是標(biāo)準(zhǔn)SV模型中的未知參數(shù)，且參數(shù)φ的取值范圍已經(jīng)是限定的，所以設(shè)φ=2φ1-1. 根據(jù)Kim等［11］的觀點(diǎn)我們得知參數(shù)μ、φ、τ 和β0的先驗(yàn)分布為：

再根據(jù)Meyer和Ju［12］設(shè)定好的未知參數(shù)ω的先驗(yàn)分布：

以下是厚尾SV模型各個參數(shù)的后驗(yàn)條件分布密度函數(shù).

1）厚尾SV模型中參數(shù)μ的后驗(yàn)條件分布：

2）厚尾SV模型中參數(shù)φ的后驗(yàn)條件分布：

3）厚尾SV模型中參數(shù)τ 的后驗(yàn)條件分布：

4）厚尾SV模型中參數(shù)ω的后驗(yàn)條件分布：

5）厚尾SV模型中參數(shù)βt的后驗(yàn)條件分布：

2.2 Gibbs抽樣

MCMC 方法中最常用的是Gibbs 抽樣法［13］，在厚尾SV模型中記未知參數(shù)θ0=(μ,φ,ω,τ,βt），則初始值為

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理與數(shù)據(jù)特征

自2019年12月31日湖北省武漢市衛(wèi)健委首次公開通報新型冠狀病毒肺炎病例以來，疫情一直持續(xù)至今. 基于此，本文選取2018年1月1日至2019年12月31日共計487個日收益率以及2020年1月1日至2022年1月5日共計488個日收益率來研究在疫情前和疫情期間我國貴金屬的收益波動情況，并作為我們的建模樣本. 在本文SV模型中采用的收益率為去均值化后的收益率，且定義公式Rt=ln(Ft)-ln(Ft-1)，則

其中：yt代表收益率；Ft代表黃金收盤價第t日的交易價格；n代表樣本數(shù).

用SPSS軟件［15］對疫情前和疫情期黃金的收益率進(jìn)行統(tǒng)計分析得出黃金收益序列的正態(tài)Q-Q圖以及正態(tài)概率無趨勢圖，如圖1、圖2所示.

由圖1中黃金收益序列的正態(tài)Q-Q圖可以看出疫情前和疫情期黃金的收益率分布偏離了直線，所以可以說呈現(xiàn)出明顯的厚尾狀態(tài). 從圖2正態(tài)概率分布圖中我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)與正態(tài)的偏差是顯而易見的.

圖1 黃金收益序列的正態(tài)Q-Q圖Fig.1 Normal Q-Q diagrams of gold return series

圖2 黃金收益序列的正態(tài)概率無趨勢圖Fig.2 No trend charts of normal probabilities of gold return series

最后我們依然使用SPSS 軟件對疫情前和疫情期黃金收益率的基本指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計分析，分析結(jié)果如表1所示.

表1 統(tǒng)計結(jié)果表Tab.1 Statistical results

由表1我們可以發(fā)現(xiàn)疫情前黃金的平均值較小可忽略不計，所以表示為0.00. 中位數(shù)為-0.000 86，方差同樣較小可忽略不計，表示為0.00. 標(biāo)準(zhǔn)差為0.062 68，偏度為-0.529，峰度為5.504，其中峰度5.504大于正態(tài)分布的峰度（=3），可以看出疫情前黃金的收益率具有明顯的峰度，比正態(tài)分布的峰度大2.504，所以呈現(xiàn)出來了很強(qiáng)的厚尾性.

同樣由表1 我們可以發(fā)現(xiàn)疫情期黃金收益率的平均值較小，依然表示為0.00. 中位數(shù)為-0.000 35，方差也較小，表示為0.00. 標(biāo)準(zhǔn)差為0.095 93，偏度為0.630，峰度為5.756，其中峰度5.756 大于正態(tài)分布的峰度（=3），因此可以看出疫情期黃金的收益率也具有非常明顯的峰度，比正態(tài)分布的峰度大2.756，所以依然呈現(xiàn)出來了很強(qiáng)的厚尾性.

3.2 SV-T模型的參數(shù)估計

我們使用WinBUGS軟件以及運(yùn)用基于MCMC方法的貝葉斯方法進(jìn)行參數(shù)估計，其中的抽樣方法我們選擇Gibbs抽樣，為了使參數(shù)穩(wěn)定以及收斂，我們首先對參數(shù)進(jìn)行了10 000次的迭代，然后進(jìn)行退火，再對參數(shù)進(jìn)行第二次迭代，第二次的迭代次數(shù)為30 000次，最后得到了參數(shù)μ、φ、τ、ω的參數(shù)估計結(jié)果.

3.2.1 疫情前SV-T模型的參數(shù)估計

表2是疫情前SV-T模型各參數(shù)的估計結(jié)果.

表2 參數(shù)估計結(jié)果表Tab.2 Parameter estimation results

通過表2的參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果，我們可以得到以下結(jié)論.

1）參數(shù)μ的均值為-11.13，相當(dāng)于參數(shù)μ的貝葉斯估計值為-11.13，因此可以看出我國黃金市場的風(fēng)險較低，有利于投資者的進(jìn)一步投資，且可以看出參數(shù)μ的標(biāo)準(zhǔn)差為0.397 9. MC誤差為0.016 51，MC誤差越接近0表示參數(shù)估計的值越精確. 2.5%分位數(shù)為-12.01，97.5%分位數(shù)為-10.42，因此參數(shù)μ的置信區(qū)間為（-12.01，-10.42）.

2）參數(shù)φ的均值為0.990 4，即參數(shù)φ的貝葉斯估計值為0.990 4，且參數(shù)φ的標(biāo)準(zhǔn)差為0.006 67. MC誤差為3.393×10-4. 2.5%分位數(shù)為0.972 8，97.5%分位數(shù)為0.998 7，因此置信區(qū)間為（0.972 8，0.998 7）. 由于參數(shù)φ代表模型的波動持續(xù)參數(shù)，所以可以看出我國黃金市場展現(xiàn)出了強(qiáng)的波動持續(xù)性.

3）參數(shù)τ 的均值為47.81，即參數(shù)τ 的貝葉斯估計值為47.81，且參數(shù)τ 的標(biāo)準(zhǔn)差為29.47. MC 誤差為1.955，2.5%分位數(shù)為12.36，97.5%分位數(shù)為121.7，因此置信區(qū)間為（12.36，121.7）. 由前面的假設(shè)值知τ=1/σ2，所以看出參數(shù)τ 與σ2成反比，且隨著σ2的變化而變化.

4）參數(shù)ω的均值為7.655，即參數(shù)ω的貝葉斯估計值為7.655，且參數(shù)ω的標(biāo)準(zhǔn)差為2.385，MC 誤差為0.118 2，2.5%分位數(shù)為4.378，97.5%分位數(shù)為13.59，所以置信區(qū)間為（4.378，13.59），因此更可以看出我國黃金市場波動率尖峰厚尾的特點(diǎn).

綜上所述，可以確定SV-T模型為：

然后我們繼續(xù)用WinBUGS軟件對參數(shù)進(jìn)行分析，得到了厚尾SV模型的后驗(yàn)分布仿真圖、參數(shù)的迭代軌跡圖和參數(shù)的迭代歷史圖，其中omega=ω，phi=φ，mu=μ，itau=τ . 如圖3～5所示.

圖3 參數(shù)后驗(yàn)分布仿真圖Fig.3 Simulation diagrams of posterior distributions of parameters

圖4 參數(shù)迭代軌跡圖Fig.4 Parameter iteration trajectory diagrams

圖5 參數(shù)迭代歷史圖Fig.5 Parameter iteration history diagrams

3.2.2 疫情期SV-T模型的參數(shù)估計

表3是疫情期SV-T模型各參數(shù)的估計結(jié)果.

表3 參數(shù)估計結(jié)果表Tab.3 Parameter estimation results

通過表3的參數(shù)統(tǒng)計結(jié)果，我們可以得到以下結(jié)論.

1）參數(shù)μ的均值為-9.872，相當(dāng)于參數(shù)μ的貝葉斯估計值為-9.872，因此可以看出我國黃金市場的風(fēng)險較低，有利于投資者的進(jìn)一步投資，且可以看出參數(shù)μ的標(biāo)準(zhǔn)差為0.216 5. MC 誤差為0.007 782，MC 誤差越接近0 表示參數(shù)估計的值越精確. 2.5%分位數(shù)為-10.34，97.5%分位數(shù)為-9.48，因此參數(shù)μ的置信區(qū)間為（-10.34，-9.48）.

2）參數(shù)φ的均值為0.973 1，即參數(shù)φ的貝葉斯估計值為0.973 1，且參數(shù)φ的標(biāo)準(zhǔn)差為0.017 64. MC誤差為0.001 033，置信區(qū)間為（0.928 5，0.995 5）. 因?yàn)閰?shù)φ代表模型的波動持續(xù)參數(shù)，所以可以看出我國黃金市場展現(xiàn)出了強(qiáng)的波動持續(xù)性.

3）參數(shù)τ 的均值為40.87，即參數(shù)τ 的貝葉斯估計值為40.87，且參數(shù)τ 的標(biāo)準(zhǔn)差為26.47. MC 誤差為1.75，置信區(qū)間為（7.671，105.9）. 由前面的假設(shè)值知τ=1/σ2，所以看出參數(shù)τ 與σ2成反比，且隨著σ2的變化而變化.

4）參數(shù)ω的均值為7.506，即參數(shù)ω的貝葉斯估計值為7.506，且參數(shù)ω的標(biāo)準(zhǔn)差為2.537. MC 誤差為0.134 2，置信區(qū)間為（4.212，13.99），因此更可以看出我國黃金市場波動率尖峰厚尾的特點(diǎn).

綜上所述，可以確定SV-T模型為：

然后我們繼續(xù)用WinBUGS軟件對參數(shù)進(jìn)行分析，得到了厚尾SV模型的后驗(yàn)分布仿真圖，參數(shù)的迭代軌跡圖和參數(shù)的迭代歷史圖，其中omega=ω，phi=φ，mu=μ，itau=τ . 如圖6～8所示.

圖6 參數(shù)后驗(yàn)分布仿真圖Fig.6 Simulation diagrams of posterior distributions of parameters

3.3 疫情前和疫情期參數(shù)模擬結(jié)果對比分析

通過疫情前和疫情期兩個不同時間段對SV-T模型各參數(shù)的估計，我們進(jìn)行了對比，結(jié)果如表4.

對表4進(jìn)行對比分析得到以下結(jié)論.

表4 參數(shù)估計結(jié)果對比Ta.4 Comparison of parameter estimation results

1）疫情前參數(shù)μ的值為-11.13，疫情期參數(shù)μ的值為-9.872，即疫情前參數(shù)的貝葉斯估計值小于疫情期的貝葉斯估計值. 參數(shù)μ的絕對值越小則體現(xiàn)出黃金市場的風(fēng)險越低，因此我們看出在疫情前投資貴金屬的風(fēng)險性是要高于疫情期的，所以我們可以看出，疫情對貴金屬投資愛好者來說是有一定的影響的，也體現(xiàn)了投資貴金屬市場的不確定性.

圖7 參數(shù)迭代軌跡圖Fig.7 Parameter iteration trajectory diagrams

圖8 參數(shù)迭代歷史圖Fig.8 Parameter iteration history diagrams

2）疫情前參數(shù)φ的值為0.990 4，疫情期參數(shù)φ的值為0.973 1，二者均小于1，因此比較平穩(wěn).φ代表了模型的波動持續(xù)參數(shù)，不難看出我國貴金屬市場具有強(qiáng)的波動持續(xù)性，而且可以看出在疫情前的波動性要強(qiáng)于疫情期間的波動性.

3）疫情前參數(shù)τ 的值為47.81，疫情期參數(shù)τ 的值為40.87，參數(shù)τ 可以衡量黃金收益率波動的擾動水平，因?yàn)棣?1/σ2且參數(shù)σ代表波動的擾動水平，即參數(shù)τ 的值越小則參數(shù)σ的擾動水平越強(qiáng)，所以可以得到疫情期黃金收益的波動擾動水平要強(qiáng)于疫情前黃金收益的波動擾動水平.

4）疫情前參數(shù)ω的值為7.655，疫情期參數(shù)ω的值為7.506，參數(shù)ω代表了自由度，因?yàn)橐咔榍昂鸵咔槠诘淖杂啥染∮?，因此可以體現(xiàn)出貴金屬市場尖峰厚尾的特性. 又因?yàn)?.755＞7.506，所以在疫情前的尖峰厚尾性要略強(qiáng)于疫情期，疫情前所呈現(xiàn)的尖峰厚尾性更加明顯.

4 結(jié)論

本文主要研究了基于厚尾SV模型的貝葉斯參數(shù)估計，研究對象為我國貴金屬市場里黃金的收益率，并挑選疫情前和疫情期的時間序列來進(jìn)行對比研究. 實(shí)證分析中，對模型的參數(shù)估計使用的是MCMC 方法，并結(jié)合了貝葉斯估計法，然后使用的抽樣方法為Gibbs抽樣方法，利用WinBUGS軟件進(jìn)行了詳細(xì)的分析，最終又將疫情前和疫情期參數(shù)模擬結(jié)果進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明SV-T模型在疫情前和疫情期對我國貴金屬收益的波動性都具有準(zhǔn)確并且較好的擬合效果.