從2022年高考試題再看函數(shù)圖像的雙對稱問題

孫丕訓(xùn)(特級教師) 王麗君

(北京陳經(jīng)綸中學(xué))

函數(shù)的性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容.函數(shù)的對稱性是函數(shù)的重要性質(zhì),也是高考的考查熱點(diǎn).從歷年高考試題來看,對函數(shù)對稱性的考查,題目越來越新穎,對思維能力的要求也越來越高.在2022年新高考Ⅰ卷和全國乙卷中,選擇題的最后一題都是函數(shù)對稱性問題,而這兩道題都可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像的雙對稱問題(即函數(shù)圖像關(guān)于兩條直線對稱,或關(guān)于兩個點(diǎn)對稱,或關(guān)于一條直線及一個點(diǎn)對稱).

首先,關(guān)于函數(shù)圖像的對稱性,有性質(zhì)1、性質(zhì)2.

性質(zhì)1如果對于函數(shù)f(x)在定義域R 內(nèi)的任意一個x,都有f(a＋x)＝f(a－x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱;反之,若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱,則有f(a＋x)＝f(a－x)(如圖1).

圖1

特別地,當(dāng)a＝0時,函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

性質(zhì)2如果對于函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)的任意一個x,都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱;反之,若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱,則有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(如圖2).

圖2

特別地,當(dāng)a＝0,b＝0時,函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

函數(shù)圖像的雙對稱問題,往往隱含著周期性,如性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)5.

性質(zhì)3如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且函數(shù)f(x)的圖像既關(guān)于直線x＝a對稱,又關(guān)于直線x＝b對稱(a≠b),那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),其中一個周期為

證明因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱,所以f(a＋x)＝f(a－x),即

又因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于直線x＝b對稱,所以f(b＋x)＝f(b－x),即

由①和②得f(2a－x)＝f(2b－x),將x換為2bx,則f(x＋2a－2b)＝f(x),所以f(x)為周期函數(shù),其中一個周期為T＝2(a－b).

性質(zhì)4如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且函數(shù)f(x)的圖像既關(guān)于點(diǎn)(a,t)對稱,又關(guān)于點(diǎn)(b,t)對稱(a≠b),那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),其中一個周期為T＝2(a－b).

證明過程與性質(zhì)3類似,在此不再贅述.

性質(zhì)5如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且函數(shù)f(x)的圖像既關(guān)于直線x＝a對稱,又關(guān)于點(diǎn)(b,t)(a≠b)對稱,那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),其中一個周期為T＝4(a－b).

證明因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱,所以f(a＋x)＝f(a－x),即

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b,t)(a≠b)對稱,所以f(b＋x)＋f(b－x)＝2t,即

由④和⑤得f(x)＝f(4a－4b＋x),所以函數(shù)f(x)為周期函數(shù),其中一個周期為T＝4(a－b).

下面我們應(yīng)用以上性質(zhì)解決2022年高考中選擇題的壓軸題.

例1(2022年新高考Ⅰ卷12,多選題)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域?yàn)镽,記g(x)＝f′(x).若,g(2＋x)均為偶函數(shù),則( ).

由g(2＋x)為偶函數(shù)得g(2＋x)＝g(2－x),所以g(x)關(guān)于直線x＝2對稱.

由性質(zhì)5,可知函數(shù)g(x)的一個周期為

由g(2＋x)為偶函數(shù),則g(2＋x)＝g(2－x),所以f′(2＋x)＝f′(2－x),即(f(2＋x)＋f(2－x))′＝0,所以f(2＋x)＋f(2－x)＝t(t為常數(shù)),所以f(x)關(guān)于點(diǎn)對稱.同理可得,函數(shù)f(x)的一個周期為

綜上,函數(shù)f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù),所以,常數(shù)t可取任意實(shí)數(shù),A不正確.另外,對于選項(xiàng)A 的排除,也可根據(jù)已知條件知:若函數(shù)f(x)滿足已知條件,則函數(shù)f(x)＋C(C為常數(shù))也滿足條件,所以無法確定f(0),故A 不正確.

綜上,故選BC.

不可否認(rèn)，傳統(tǒng)報紙?jiān)谧x者的心中權(quán)威性很高，得到大家的一致認(rèn)可，現(xiàn)在雖然我們利用網(wǎng)絡(luò)能夠獲得各種各樣的新聞，但是網(wǎng)上新聞的質(zhì)量參差不齊，有好有壞，碎片化的現(xiàn)象非常明顯。而且，有時候?yàn)榱瞬┑萌藗冄矍?，會散布虛假信息。報紙可以和互?lián)網(wǎng)結(jié)合起來，找到切入點(diǎn)，尋找適合報紙刊登的新聞選題，不斷挖掘新聞的價值，利用報紙媒體優(yōu)勢圍繞選題進(jìn)行全方位的報道，利用報紙媒體的影響力優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)上的熱門話題，不斷擴(kuò)展報紙媒體的空間，讓報紙媒體和互聯(lián)網(wǎng)共贏。

點(diǎn)評求解本題的關(guān)鍵是通過g(x)＝f′(x)的關(guān)系,對關(guān)于f(x)的等式兩邊求導(dǎo)、對g(x)的等式積分(導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算),得到f(x)與g(x)的另一組體現(xiàn)對稱性的關(guān)系式,進(jìn)而得出函數(shù)的周期性,從而解決問題.

本題為多選題,正確的選項(xiàng)需推理得到,錯誤的選項(xiàng)可用排除法.在得到g(－1)＋g(2)＝0時,并不能排除選項(xiàng)D,這是因?yàn)楫?dāng)g(－1)＝g(2)＝0時,D仍可能正確,要排除D,需說明g(－1)不一定為0,根據(jù)函數(shù)f(x)的對稱性,不難舉出滿足條件的一個函數(shù)f(x)＝sinπx,此時,g(－1)≠g(2),故排除選項(xiàng)D.另外,f(x)＝sinπx＋C(C為常數(shù))均符合條件,可迅速排除A 和D.

例2(2022年全國乙卷理12)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)＋g(2－x)＝5,g(x)－f(x－4)＝7,若y＝g(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱,g(2)＝4,則

解析因?yàn)間(x)關(guān)于直線x＝2對稱,所以g(2＋x)＝g(2－x).因?yàn)?/p>

將①中的x換成－x,得

①－②,得f(x)＝f(－x),即f(x)為偶函數(shù),f(x)關(guān)于直線x＝0對稱;在g(x)－f(x－4)＝7中,將x換成x＋2,得

②－③,得f(－x)＋f(x－2)＝－2,即f(x)關(guān)于點(diǎn)(－1,－1)對稱,應(yīng)用性質(zhì)5,f(x)的一個周期為4.

在式①中,令x＝0,得f(0)＋g(2)＝5,又因?yàn)間(2)＝4,所以f(0)＝1,在f(－x)＋f(x－2)＝－2中,令x＝1,則f(－1)＝－1,再由f(x)＝f(－x),可得f(1)＝f(－1)＝－1,因?yàn)閒(x)的周期為4,所以f(2)＝f(－2)＝－2－f(0)＝－3,f(3)＝f(－1)＝－1,f(4)＝f(0)＝1,所以

點(diǎn)評求解本題的關(guān)鍵是利用方程的思想,由g(2＋x)＝g(2－x)這個關(guān)系式,結(jié)合已知條件中的兩個等式,運(yùn)用消元法得到f(x)的對稱軸和對稱中心,進(jìn)而得出函數(shù)的周期,問題得以解決.

函數(shù)圖像的雙對稱性質(zhì)能得出函數(shù)的周期性,把握這個本質(zhì)在解決問題過程中能起到事半功倍的作用.最后,給出4個練習(xí),均選自近幾年高考真題,都是抽象函數(shù)的雙對稱問題,題干簡潔,內(nèi)容豐富,讀者可以利用以上性質(zhì)試一試.

鏈接練習(xí)

1.(2021年新高考Ⅱ卷8)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x＋2)為偶函數(shù),f(2x＋1)為奇函數(shù),則( ).

2.(2021 年全國甲卷理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x＋1)為奇函數(shù),f(x＋2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)＝ax2＋b,若f(0)＋f(3)＝6,則

3.(2021年全國甲卷文12)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽 的奇函數(shù),且f(1＋x)＝f(－x).若

4.(2018年全國Ⅱ卷理11)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞,＋∞)的奇函數(shù),滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2,則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( ).

鏈接練習(xí)參考答案

1.B. 2.D. 3.C. 4.C.

(完)